Ne Tür İntegraller Var?

Hesaplamada bulduğumuz integral türleri : Belirsiz İntegraller ve Tanımlanmış İntegraller. Kesin integrallerin belirsiz integrallerden çok daha fazla uygulaması olmasına rağmen, ilk önce belirsiz integralleri çözmeyi öğrenmek gerekir.

Belirli integrallerin en çekici uygulamalarından biri, bir devrimin sağlam hacminin hesaplanmasıdır.

Her iki integral türü aynı doğrusallık özelliklerine sahiptir ve ayrıca entegrasyon teknikleri, integral tipine bağlı değildir.

Ancak çok benzer olmasına rağmen, temel bir fark var; Birinci integral tipinde sonuç bir fonksiyondur (spesifik değildir), ikinci tipte ise sonuç bir sayıdır.

İki Temel İntegral Türü

İntegral dünyası çok geniştir, ancak bunun içinde günlük yaşamda büyük bir uygulanabilirliği olan iki temel integral türünü ayırt edebiliriz.

1- Belirsiz İntegraller

Eğer f alanındaki (x) tüm x'ler için F '(x) = f (x) ise, F (x)' in bir antiderivatif, ilkel veya f (x) 'in bir integrali olduğunu söyleriz.

Öte yandan, (F (x) + C) '= F' (x) = f (x) 'in (bir fonksiyonun integralinin benzersiz olmadığını ima ettiğini) gözlemleyin, çünkü C sabitine farklı değerler veririz; Eğer Antitürev'in.

Bu nedenle F (x) + C'ye f (x) 'in Belirsiz İntegrali, C'ye ise entegrasyon sabiti denir ve aşağıdaki şekilde yazıyoruz

Gördüğümüz gibi, f (x) fonksiyonunun belirsiz integrali bir fonksiyonlar ailesidir.

Örneğin, f (x) = 3x² fonksiyonunun belirsiz integralini hesaplamak istiyorsanız, önce f (x) 'nin bir antiderivatifini bulmalısınız.

F (x) = x³'nın bir antidevatif olduğunu fark etmek kolaydır, çünkü F '(x) = 3x²'dir. Bu nedenle, bu sonucuna varılabilir.

∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C

2- Tanımlanmış İntegraller

Y = f (x) fiili bir fonksiyon olsun, kapalı bir aralıkta [a, b] aralıklı ve F (x) f (x) 'in bir antiderivatif olsun. A ve b limitleri ile F (b) -F (a) sayısı arasındaki f (x) 'in belirli integrali denir ve aşağıdaki gibi gösterilir

Yukarıda gösterilen formül "Analizin Temel Teoremi" olarak bilinir. Burada "a" alt sınır, "b" üst sınır olarak adlandırılır. Görebileceğiniz gibi, bir işlevin kesin integrali bir sayıdır.

Bu durumda, f (x) = 3x²'nin kesin integrali [0, 3] aralığında hesaplanırsa, bir sayı elde edilecektir.

Bu sayıyı belirlemek için f (x) = 3x²'nin antiderivatif olarak F (x) = x³ seçiyoruz. Daha sonra, F (3) -F (0) 'ı hesaplayarak sonucu 27-0 = 27 olarak hesapladık. Sonuç olarak, f (x) 'ın [0.3] aralığında kesin integrali 27'dir.

G (x) = x³ + 3 seçiliyse, G (x) 'in F (x) dışında bir f (x) antiderivatif olduğu vurgulanabilir, ancak bu G (3) -G (den beri) sonucu etkilemez. 0) = (27 + 3) - (3) = 27 Bu nedenle, tanımlanan integrallerde entegrasyon sabiti görünmez.

Bu integral tipinin sahip olduğu en kullanışlı uygulamalardan biri, uygun fonksiyonlar ve entegrasyon limitleri (ve bir dönme ekseni) oluşturarak, düz bir figürün alanını (hacmini) hesaplamaya izin vermesidir.

Tanımlanmış integraller içinde bunun gibi çeşitli uzantıları bulabiliriz; örneğin, çizgi integralleri, yüzey integralleri, uygun olmayan integraller, çoklu integraller, diğerleri arasında, hepsi bilim ve mühendislikte çok faydalı uygulamalara sahip.