Trigonometrik Sınırlar nedir? (Çözülmüş Egzersizler ile)

Trigonometrik sınırlar, bu fonksiyonların trigonometrik fonksiyonlar tarafından oluşturulacağı şekilde fonksiyonların sınırlarıdır.

Trigonometrik limit hesaplamasının nasıl yapıldığını anlamak için bilinmesi gereken iki tanım vardır.

Bu tanımlar:

- “x”, “b” ye eğilimindeyken “f” fonksiyonunun sınırı: f (x) 'in “x” e yaklaştığı değeri, “b” ye ulaşmadan, “b” ye yaklaştığı değerin hesaplanmasından oluşur. ".

- Trigonometrik fonksiyonlar: trigonometrik fonksiyonlar, sırasıyla sin (x), cos (x) ve tan (x) ile gösterilen sinüs, kosinüs ve teğet fonksiyonlardır.

Diğer trigonometrik fonksiyonlar yukarıda belirtilen üç fonksiyondan elde edilir.

İşlevlerin sınırları

Bir fonksiyonun limit kavramını netleştirmek için basit fonksiyonlarla bazı örnekler göstermeye devam edeceğiz.

- “x”, “8” e baktığında f (x) = 3 sınırı, fonksiyon her zaman sabit olduğundan, “3” e eşittir. Ne kadar "x" değeri olursa olsun, f (x) 'in değeri her zaman "3" olacaktır.

- «x» «6» 'ya eğilimi gösterdiğinde f (x) = x-2 sınırı. «X» «6» ya yaklaştığında «x-2» «6-2 = 4» değerine yaklaştı.

- "x", "3" e yaklaştığında, g (x) = x² değeri, 9'a eşittir, çünkü "x", "3" e yaklaşırken, "x²", "3² = 9" a yaklaşır. .

Önceki örneklerde görülebileceği gibi, bir limitin hesaplanması, "x" in işleve meyilli olduğu değerin değerlendirilmesinden ibarettir ve sonuç, sadece sürekli işlevler için geçerli olmasına rağmen, limitin değeri olacaktır.

Daha karmaşık sınırlar var mı?

Cevap evet. Yukarıdaki örnekler en basit limit örnekleridir. Hesaplama kitaplarında, ana limit alıştırmaları, 0/0, ∞ / ∞, ∞-∞, 0 * ∞, (1) ^ ∞, (0) ^ 0 ve (∞) tiplerinde bir belirsizlik oluşturan egzersizlerdir. ^ 0.

Bu ifadelere belirsizlik denir, çünkü bunlar matematiksel olarak anlamı olmayan ifadelerdir.

Buna ek olarak, orijinal sınırda yer alan işlevlere bağlı olarak, belirsizliklerin çözülmesinde elde edilen sonuç her durumda farklı olabilir.

Basit trigonometrik limit örnekleri

Sınırları çözmek için, ilgili fonksiyonların grafiklerini bilmek her zaman çok yararlıdır. Sinüs, kosinüs ve tanjant fonksiyonlarının grafikleri aşağıda gösterilmiştir.

Basit trigonometrik limitlerin bazı örnekleri:

- “x” “0” olduğunda eğilimin (x) sınırını hesaplayın.

Grafiği gördüğünüzde, eğer «x» «0» e yaklaşıyorsa (hem solda hem de sağda), o zaman sinüs grafiğinin de «0» 'a yaklaştığını görebilirsiniz. Bu nedenle, "x", "0" derken günah (x) sınırı “0” dır.

- "x", "0" olduğunda, cos (x) sınırını hesaplayın.

Kosinüs grafiğini inceleyerek, "x" "0" 'a yakın olduğunda, kosinüs grafiğinin "1"' e yakın olduğu görülebilir. Bu, "x", "0" olduğunda, cos (x) sınırının, "1" e eşit olduğu anlamına gelir.

Önceki örneklerde olduğu gibi bir sınır olabilir (sayı olabilir), ancak aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi olmadığı da olabilir.

- Soldaki “» / 2 ”ye“ x ”geçtiğinde tan (x) limiti grafikte görüldüğü gibi« + ∞ »'e eşittir. Öte yandan, “x” sağda “-Π / 2” ye eğilimde olduğu zaman tan (x) sınırı “-∞” a eşittir.

Trigonometrik Sınırların Kimlikleri

Trigonometrik limitleri hesaplarken iki çok yararlı kimlik:

- “x”, “0” 'a eğilim gösterdiğinde “sin (x) / x” sınırı, “1” e eşittir.

- «x», «0» 'e eğilim gösterdiğinde «(1-cos (x)) / x» sınırı, "0"' a eşittir.

Bu kimlikler bir tür belirsizlik olduğunda çok sık kullanılır.

Çözülmüş egzersizler

Yukarıda açıklanan kimlikleri kullanarak aşağıdaki limitleri çözün.

- “x”, “0” olduğunda, “f (x) = sin (3x) / x” sınırını hesaplayın.

«F» işlevi «0» ile değerlendirilirse, 0/0 tipi bir belirleme elde edilir. Bu nedenle, bu belirsizliği açıklanan kimlikleri kullanarak çözmeye çalışmalıyız.

Bu sınır ile kimlik arasındaki tek fark, sinüs fonksiyonu içinde görünen 3 sayısıdır. Kimliği uygulamak için, «f (x)» işlevi «3 * (sin (3x) / 3x)» şeklinde yeniden yazılmalıdır. Şimdi, hem sinüs argümanı hem de payda aynıdır.

Bu yüzden, "x", "0" 'a yöneldiğinde, "3 * 1 = 3" kimlik sonuçlarını kullanarak. Bu nedenle, "x", "0" düştüğünde, f (x) sınırı, "3" e eşittir.

- "x", "0" olduğunda, "g (x) = 1 / x - cos (x) / x" sınırını hesaplayın.

"X = 0" g (x) ile ikame edildiğinde, ∞-∞ tipinde bir belirsizlik elde edilir. Bunu çözmek için, fraksiyonlar çıkarılır ve bu da «(1-cos (x)) / x» sonucunu verir.

Şimdi, ikinci trigonometrik kimliği uygularken, "x" 0'a eşit olduğunda, g (x) sınırına sahibiz.

- "x", "0" olduğunda, "h (x) = 4tan (5x) / 5x" sınırını hesaplayın.

Yine, eğer h (x) "0" da değerlendirilirse, 0/0 tipi bir belirleme elde edilir.

Tan (5x) 'i sin (5x) / cos (5x) olarak yeniden yazmak, h (x) = (sin (5x) / 5x) * (4 / cos (x)) ile sonuçlanır.

«X», «0» 'e eğilim gösterdiğinde 4 / cos (x) sınırını kullanmak, "4/1 = 4" e eşittir ve ilk trigonometrik kimlik, "x" eğilimi gösterdiğinde h (x) sınırını elde ederiz. bir «0» «1 * 4 = 4» 'e eşittir.