Varignon Teoremi: Örnekler ve Çözülmüş Alıştırmalar
Varignon teoremi, herhangi bir dörtlü halinde, tarafların orta noktalarının sürekli birleştirildiğini, bir paralelkenar üretildiğini belirtir. Bu teorem Pierre Varignon tarafından formüle edildi ve 1731'de Matematik Elementleri kitabında yayınlandı. ”
Kitabın basımı ölümünden yıllar sonra gerçekleşti. Bu teoremi sunan kişi Varignon olduğu için, paralelkenarın ismi ona aittir. Teorem Öklid geometrisine dayanır ve dörtgenlerin geometrik ilişkilerini sunar.
Varignon teoremi nedir?
Varignon, bir quadrilateralin orta noktalarıyla tanımlanan bir figürün her zaman bir paralelkenarla sonuçlanacağını ve bunun alanının düz ve dışbükey olması durumunda her zaman dörtgen alanının yarısı olacağını iddia etti. Örneğin:
Şekilde, tarafların orta noktalarının E, F, G ve H ile temsil edildiği ve bir araya geldiklerinde bir paralelkenar oluşturduğu X alanlı bir dörtgen görebiliyoruz. Quadrilateral alanı, oluşan üçgen alanlarının toplamı olacaktır ve bunun yarısı paralelkenarın alanına karşılık gelir.
Paralelkenarın alanı dörtgen alanın yarısı kadar olduğundan, bu paralelkenarın çevresi belirlenebilir.
Böylece, çevre dörtgen köşegenlerin uzunluklarının toplamına eşittir; Bunun nedeni, dörtgen yanlıların medyanlarının paralelkenarın köşegenleri olmasıdır.
Öte yandan, dörtgenlerin köşegenlerinin uzunlukları tamamen aynıysa, paralelkenar pırlanta olacaktır. Örneğin:
Şekilden, dört kenarın orta noktalarına katılarak bir eşkenar dörtgeninin elde edildiği görülebilir. Öte yandan, dörtgenlerin köşegenleri dik ise, paralelkenar dikdörtgen olacaktır.
Ayrıca, paralelkenar dörtgen aynı uzunlukta köşegenlere sahipken ve aynı zamanda dik durduğunda kare olacaktır.
Teorem sadece düz dörtgenlerde yerine getirilmez, aynı zamanda uzaysal geometride veya büyük boyutlarda uygulanır; yani, dışbükey olmayan dörtgenlerde. Bunun bir örneği, orta noktaların her bir yüzün centroidleri olduğu ve bir paralel yüz oluşturduğu bir oktahedron olabilir.
Bu şekilde, farklı şekillerin orta noktalarına katılarak, paralelkenarlar elde edilebilir. Bunun gerçekten doğru olup olmadığını doğrulamanın basit bir yolu, karşı tarafların uzadıklarında paralel olmaları gerektiğidir.
Örnekler
İlk örnek
Bunun bir paralelkenar olduğunu göstermek için karşı tarafın uzatılması:
İkinci örnek
Bir pırlantanın orta noktalarına katılarak bir dikdörtgen elde ederiz:
Teorem, dörtgen kenarların ortasında yer alan noktaların birleşiminde kullanılır ve ayrıca bir üçlü, penta-bölüm ve hatta sonsuz sayıda bölüm gibi diğer türler için de kullanılabilir ( nth), herhangi bir dörtgen tarafın taraflarını orantılı olan bölümlere ayırmak için.
Çözülmüş egzersizler
Egzersiz 1
Şekilde, bu tarafların orta noktalarının PQSR olduğu Z alanının dörtgen bir ABCD'sine sahibiz. Bir Varignon paralelkenarının oluştuğunu kontrol edin.
çözüm
PQSR puanlarına katılırken Varignon'un bir paralelkenarının oluştuğu, kesin olarak ifade edildiğinde dörtlü bir tarafın orta noktaları verildiği doğrulanabilir.
Bunu göstermek için, PQSR orta noktaları birleştirilmiştir, bu nedenle başka bir dörtgen oluştuğu görülebilir. Paralelkenar olduğunu göstermek için, sadece C noktasından A noktasına düz bir çizgi çizmemiz gerekir, böylece CA'nın PQ ve RS'ye paralel olduğunu görebiliriz.
Benzer şekilde, PQRS taraflarını genişleterek, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi PQ ve RS'nin paralel olduğu not edilebilir:
Egzersiz 2
Tüm kenarlarının uzunluklarının eşit olacağı bir dikdörtgene sahiptir. Bu tarafların orta noktalarına katılırken, dikdörtgenin kenarlarının ölçümleriyle çakışan iki çapraz AC = 7 cm ve BD = 10 cm şeklinde bölünmüş bir eşkenar dörtgen ABCD oluşur. Elmas ve dikdörtgen alanlarını belirleyin.
çözüm
Ortaya çıkan paralelkenarın alanının dörtgenin yarısı olduğunu hatırlayarak, bu köşegenlerin ölçüsünün dikdörtgenin kenarlarıyla çakıştığını bilerek alanını belirleyebilirsiniz. Yani yapmak zorundasın:
AB = D
CD = d
Bir dikdörtgen = (AB * CD) = (10 cm x 7 cm) = 70 cm2
Bir elmas = Bir dikdörtgen / 2
Bir eşkenar dörtgen = 70 cm2 / 2 = 35 cm2
Egzersiz 3
Şekilde EFGH puanlarının birliği olan bir dörtgen var, bölümlerin uzunlukları verilmiştir. EFGH'nin bağlanmasının bir paralelkenar olup olmadığını belirleyin.
AB = 2.4 CG = 3.06
EB = 1.75 GD = 2.24
BF = 2.88 DH = 2.02
FC = 3.94 HA = 2.77
çözüm
Segmentlerin uzunlukları göz önüne alındığında, segmentler arasında orantılılık olup olmadığını doğrulamak mümkündür; Diğer bir deyişle, dörtgenin bölümlerini şu şekilde ilişkilendirerek bunların paralel olup olmadığını biliyoruz:
- AE / EB = 2, 4 / 1, 75 = 1, 37
- AH / HD = 2.77 / 2.02 = 1.37
- CF / FB = 3.94 / 2.88 = 1.37
- CG / GD = 3.06 / 2.24 = 1.37
Daha sonra orantılılık kontrol edilir, çünkü:
AE / EB = AH / HD = CF / FB = CG / GD
Benzer şekilde, B noktasından D noktasına bir çizgi çizerken, BD'nin FG'ye paralel olduğu gibi EH'nin BD'ye paralel olduğunu görebiliriz. Öte yandan, EF, GH'ye paraleldir.
Bu şekilde, EFGH'nin bir paralelkenar olduğu tespit edilebilir, çünkü karşı tarafların paralel olması.
