Üstatların Yasası (Çözülen Örnekler ve Alıştırmalar ile)

Üslerin kanunları, bir baz sayının kendisiyle kaç kez çarpılması gerektiğini belirten bu sayı için geçerli olanlardır. Üsler aynı zamanda güçler olarak da bilinir. Potansiyelleştirme, işlemin sonucu olan bir taban (a), üs (m) ve güçten (b) oluşan matematiksel bir işlemdir.

Üserler genellikle çok büyük miktarlarda kullanıldığında kullanılır, çünkü bunlar sadece aynı sayıdaki çarpımı belirli sayıda defa yapan kısaltmalardır. Üstler hem olumlu hem de olumsuz olabilir.

Üstat kanunlarının açıklanması

Önceden belirtildiği gibi, üsteller üslerin yalnızca soldaki sayılarla ilgili olduğu sayıların kendileri ile çarpımını temsil eden kısaltılmış bir formdur. Örneğin:

23 = 2 * 2 * 2 = 8

Bu durumda, 2 sayısı üs ile gösterilen 3 kat ile çarpılacak olan tabanın sağ üst köşesinde bulunan gücün tabanıdır. İfadeyi okumanın farklı yolları vardır: 2, 3'e yükseltilmiş veya 2, küpe yükseltilmiş.

Üstatlar ayrıca bölünebileceklerinin sayısını belirtir ve bu işlemi çarpmadan ayırmak için üs, üssü önünde (-) eksi işaretini (negatif) taşır, yani üs, üssünün paydasındadır. fraksiyonu. Örneğin:

2-4 = 1/2 * 2 * 2 * 2 = 1/16

Tabanın negatif olduğu durumla karıştırılmamalıdır, çünkü gücün pozitif mi yoksa negatif mi olacağını belirlemek için üssünün eşit mi yoksa tek mi olduğuna bağlı olacaktır. Yani yapmak zorundasın:

- Üsse eşitse, güç pozitif olacaktır. Örneğin:

(-7) 2 = -7 _* -7 = 49.

- Eğer üs tekse, güç negatif olacaktır. Örneğin:

( - 2) 5 = (-2) * (-2) * (-2) * (-2) * (-2) = - 32.

Üssü 0'a eşitse, gücün 1'e eşit olduğu özel bir durum vardır. Tabanın 0 olması; Bu durumda, maruz kalmaya bağlı olarak, güç belirsiz olacak ya da olmayacak.

Üstlerle matematiksel işlemler yapmak için, bu işlemlerin çözümünü bulmayı kolaylaştıran birkaç kural veya kurala uymak gerekir.

İlk yasa: üstel gücü 1'e eşit

Üs 1 olduğunda, sonuç taban ile aynı olur: a1 = a.

Örnekler

91 = 9.

221 = 22.

8951 = 895.

İkinci kanun: üstel gücü 0'a eşit

Üs, 0 olduğunda, taban sıfır değilse, sonuç şöyle olacaktır :, a0 = 1.

Örnekler

10 = 1

3230 = 1.

10950 = 1.

Üçüncü yasa: olumsuz üs

Exponte negatif olduğu için, sonuç gücün payda olacağı bir kesir olacaktır. Örneğin, eğer m pozitifse, o zaman am = 1 / am.

Örnekler

- 3-1 = 1/3.

- 6-2 = 1/62 = 1/36.

- 8-3 = 1/83 = 1/512.

Dördüncü kanun: eşit tabanla güçlerin çarpımı

Bazların 0'dan farklı ve eşit olduğu güçleri çoğaltmak için baz tutulur ve üsler eklenir: am _* an = am + n.

Örnekler

- 44 _* 43 = 44 + 3 = 47

- 81 _* 84 = 81 + 4 = 85

- 22 _* 29 = 22 + 9 = 211

Beşinci kanun: eşit tabanla güçlerin dağılımı

Bazların eşit ve 0'dan farklı olduğu güçleri bölmek için, baz korunur ve üstler aşağıdaki gibi çıkarılır: am / an = am-n.

Örnekler

- 92/91 = 9 (2-11) = 91.

- 615/610 = 6 (15 - 10) = 65.

- 4912/496 = 49 (12 - 6) = 496.

Altıncı kanun: farklı bir üs ile güçlerin çarpımı

Bu yasada dördüncü olarak ifade edilenlerin tam tersi var; yani, farklı tabanlara sahipsek fakat eşit üslere sahipse, tabanlar çarpılır ve üs korunur: am _* bm = (a _* b) m.

Örnekler

- 102 _x 202 = (10 _x 20) 2 = 2002.

- 4511 _* 911 = (45x9) 11 = 40511.

Bu kanunu temsil etmenin başka bir yolu da bir çarpımın bir güce yükseltilmesidir. Böylece, üs, terimlerin her birine ait olacaktır: (a _* b) m = am _* bm.

Örnekler

- (5x8) 4 = 54 _* 84 = 404.

- (23x7) 6 = 236x76 = 1616.

Yedinci kanun: farklı bir temelde güçlerin bölünmesi

Farklı bazlar varsa ancak eşit üslere sahipse, bazlar bölünür ve üs korunur: am / bm = (a / b) m.

Örnekler

- 303/23 = (30/2) 3 = 153.

- 4404/804 = (440/80) 4 = 5.54.

Aynı şekilde, bir bölünme bir güce yükseltildiğinde, üs, terimlerin her birine ait olacaktır: (a / b) m = am / bm.

Örnekler

- (8/4) 8 = 88/48 = 28

- (25/5) 2 = 252/52 = 52.

Üsünün negatif olduğu bir durum var. Böylece, pozitif olmak için, payın değeri paydaşınkiyle ters çevrilir:

- (a / b) -n = (b / a) n = bn / an.

- (4/5) -9 = (5/4) 9 = 59/44.

Sekizinci yasa: bir gücün gücü

Başka bir güce yükseltilmiş bir güce sahip olduğunuzda, bu, aynı anda iki üste gelir - üs korunur ve üstler çoğalır: (am) n = am * n.

Örnekler

- (83) 2 = 8 (3x2) = 86.

- (139) 3 = 13 (9x3) = 1327.

- (23810) 12 = 238 (10x126) = 238120.

Dokuzuncu kanun: kesirli üs

Eğer gücün üs olarak bir kesri varsa, payın üs olarak kaldığı ve paydanın kök dizinini temsil ettiği bir ns köküne dönüştürülmesiyle çözülür.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

Farklı üslere sahip güçler arasındaki işlemleri hesaplayın:

24 _* 44/82.

çözüm

Üstlerin kurallarını uygulayarak, payda bazlar çarpılır ve üs de şu şekilde tutulur:

24 _* 44/82 = (2 _* 4) 4/82 = 84/82

Şimdi, aynı üslere sahip olduğumuz için ancak farklı üslerle, üs tutulur ve üsler çıkarılır:

84/82 = 8 (4 - 2) = 82

Egzersiz 2

Yüksek güçler arasındaki işlemleri başka bir güçle hesaplayın:

(32) 3 _* (2 _* 65) -2 _* (22) 3

çözüm

Yasaları uygulayarak şunları yapmanız gerekir:

(32) 3 _* (2 _* 65) -2 _* (22) 3

= 36 _* 2-2 _* 2-10 _* 26

= 36 _* 2 (-2) + (- 10) _* 26

= 36 _* 2-12 _* 26

= 36 _* 2 (-12) + (6)

= 36 _* 26

= (3 _* 2) 6

= 66

= 46, 656