Matematiksel mantık: köken, hangi çalışmalar, türleri

Matematiksel mantık veya sembolik mantık, matematiksel akıl yürütmenin doğrulanabileceği veya reddedilebileceği gerekli araçları içeren bir matematik dilidir.

Matematikte belirsizliklerin olmadığı bilinmektedir. Matematiksel bir argüman verildiğinde, bu geçerlidir ya da sadece değildir. Aynı anda yanlış ve doğru olamaz.

Matematiğin belirli bir yönü, bir muhakemenin geçerliliğinin belirlenebileceği biçimsel ve titiz bir dile sahip olmasıdır. Belli bir akıl yürütmeyi veya herhangi bir matematiksel kanıtı reddedilemez kılan şey nedir? Matematiksel mantığın konusu budur.

Dolayısıyla, mantık, matematiksel akıl yürütme ve gösterileri incelemekle yükümlü olan ve önceki ifadelerden veya önermelerden doğru bir sonuç çıkartabilmek için araçlar sağlayan bir disiplindir.

Bunu yapmak için, daha sonra geliştirilecek olan aksiyomları ve diğer matematiksel yönleri kullanır.

Köken ve tarih

Matematiksel mantığın birçok yönüyle ilgili kesin tarihler kesin değildir. Bununla birlikte, konuyla ilgili olan kaynakçaların çoğu bunun kökenini antik Yunanistan'a kadar izlemektedir.

Aristo

Mantığın titizlikle muamelesinin başlangıcı, kısmen Orta Çağ'a kadar farklı filozoflar ve bilim adamları tarafından toplanan ve geliştirilen bir dizi mantık eseri yazan Aristoteles'e atfedilir. Bu "eski mantık" olarak düşünülebilir.

Daha sonra, Çağdaş Çağ olarak bilinen şeye rağmen, Leibniz, matematiksel olarak evrensel bir dil kurma arzusu ve Gottlob Frege ve Giuseppe Peano gibi diğer matematikçiler tarafından harekete geçirilmiş, büyük katkılarla matematiksel mantığın gelişimini büyük ölçüde etkiledi. Bunların arasında, doğal sayıların vazgeçilmez özelliklerini formüle eden Peano Aksiyomları.

Matematikçiler George Boole ve Georg Cantor da şu anda büyük etkiye sahipti; ayrıca, set teorisi ve doğruluk tablolarına önemli katkılar sağladı, diğer yönlerin yanı sıra Boole Cebirini (George Boole) ve Seçim Aksiyomunu vurguladı. (George Cantor tarafından)

Ayrıca, teklifleri reddetme, bağlanma, ayrılma ve koşullara dayanan, Sembolik Mantık'ın geliştirilmesinin anahtarları ve Venn'in ünlü diyagramlarıyla John Venn'i düşünen Morgan'ın iyi bilinen yasalarına sahip Augustus De Morgan da vardır.

Yirminci yüzyılda, kabaca 1910 ve 1913 arasında, Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead'i vurgulayarak, bir dizi aksiyom ve mantık sonucunu toplayan, geliştiren ve öneren bir kitap dizisi olan Principia matematikselini yayınlıyor.

Matematiksel mantık ne işe yarar?

önermeler

Matematiksel mantık önermelerin çalışılmasıyla başlar. Bir teklif, herhangi bir belirsizlik olmadan, doğru olup olmadığının söylenebileceğinin bir kanıtıdır. Aşağıdaki önerme örnekleridir:

2 + 4 = 6
52 = 35
1930 yılında Avrupa'da bir deprem oldu.

Birincisi gerçek bir öneri, ikincisi ise sahte bir öneri. Üçüncüsü, okunan kişinin doğru mu yoksa hemen mı olduğunu bilmemesi mümkün olsa da, gerçekten olup olmadığının doğrulanıp tespit edilebileceği bir ifadedir.

Aşağıdakiler, teklif olmayan ifadelere örneklerdir:

O sarışın.
2x = 6
Hadi oynayalım!
Filmleri sever misin?

İlk önermede, "o" kim olduğu belirtilmez, bu nedenle hiçbir şey onaylanamaz. İkinci önermede, "x" ile temsil edilenler belirtilmemiştir. Bunun yerine, bazı doğal sayılar x için 2x = 6 olduğu söylenirse, bu durumda bir önermeye karşılık geleceği, aslında doğru, çünkü x = 3 için yerine getirilmiş.

Son iki ifade bir önerme uymuyor çünkü bunları reddetmenin veya onaylamanın bir yolu yok.

Bilinen konektörler (veya konektörler) kullanılarak iki veya daha fazla teklif birleştirilebilir (veya bağlanabilir). Bunlar:

İnkar: "Yağmur değil."
Ayrılma: "Luisa beyaz veya gri bir çanta aldı".
Bağlaç: "42 = 16 ve 2 × 5 = 10".
Şartlı: "Yağmur yağarsa, o zaman öğleden sonra spor salonuna gitmiyorum."
İki şartlı: "Bu öğleden sonra spor salonuna gidiyorum ve eğer yağmur yağmazsa ben gidiyorum".

Önceki bağlayıcının hiçbirine sahip olmayan bir önerme basit önerme (veya atomik) olarak adlandırılır. Örneğin, "2, 4'ten küçüktür", basit bir tekliftir. Bazı bağları olan önermelere, örneğin "1 + 3 = 4 ve 4 çift sayılar" gibi bileşik önerileri denir.

Öneriler aracılığıyla yapılan açıklamalar genellikle uzundur, bu yüzden onları her zaman gördüğümüz gibi yazmak çok zordur. Bu nedenle sembolik bir dil kullanılmıştır. Öneriler genellikle P, Q, R, S vb. Gibi büyük harflerle gösterilir. Ve sembolik bağlaç şöyle:

Öyle ki

Koşullu önerme karşıtı

teklif mi

Ve bir önermenin zıt (ya da zıt)

teklif mi

Doğruluk tabloları

Mantıktaki bir başka önemli kavram ise doğruluk tablolarıdır. Bir önermenin gerçek değerleri, bir teklif için sahip olduğumuz iki olasılıktır: doğru (V tarafından gösterilecek ve bunun gerçek değerinin V olduğunu söyleyeceğiz) veya yanlış (F ile gösterilecektir) ve değerinin bu gerçekten F).

Bir bileşik önermenin gerçek değeri, yalnızca içinde görünen basit önermelerin gerçeğe uygun değerlerine bağlıdır.

Daha genel olarak çalışmak için, belirli önerileri dikkate almayacağız, ancak herhangi bir teklifi temsil edecek önerme değişkenleri p, q, r, s, vb.

Bu değişkenler ve mantıksal bağlaçlarla, iyi bilinen önermeli formüller tıpkı bileşik önermeleri yapıldıkça oluşturulur.

Bir önermeli formülde görünen değişkenlerin her biri bir teklif ile değiştirilirse, bir kompozit teklif elde edilir.

Mantıksal bağlaçlar için doğruluk tabloları aşağıdadır:

Doğruluk tablosunda sadece V değerini alan, yani doğruluk tablosunun son sütununda yalnızca V değerini alan bir önerme formülü vardır. Bu tür formüller tatolojiler olarak bilinir. Örneğin:

Aşağıdaki formülün doğruluk tablosu

Α formülünün, her zaman β doğruysa α doğruysa başka bir another formülünü ima ettiği söylenir. Yani, α ve truth doğruluk tablosunda, α'nın V, β da olduğu sıralar da V'dir. Yalnızca α'nın V değerine sahip olduğu satırlar, mantıksal ima için gösterim aşağıdaki gibidir. :

Aşağıdaki tabloda, mantıksal uygulamanın özellikleri özetlenmiştir:

Gerçeği tabloları aynıysa, iki önerme formülünün mantıksal olarak eşdeğer olduğu söylenir. Aşağıdaki gösterim, mantıksal denkliği ifade etmek için kullanılır:

Aşağıdaki tablolar, mantıksal eşdeğerliğin özelliklerini özetlemektedir:

Matematiksel mantık türleri

Özellikle, diğer alanların yanı sıra felsefeye işaret eden pragmatik ya da gayri resmi mantığı dikkate alırsa, farklı mantık türleri vardır.

Matematiğe gelince, mantık türleri şöyle özetlenebilir:

Biçimsel veya Aristoteles mantığı (eski mantık).
Önerme mantığı: biçimsel ve sembolik bir dil kullanarak tartışmaların ve önermelerin geçerliliği ile ilgili her şeyin araştırılmasından sorumludur.
Sembolik mantık: kümelerin ve özelliklerinin, aynı zamanda biçimsel ve sembolik bir dille çalışılmasına odaklanmış ve önerme mantığı ile derinden bağlantılıdır.
Kombinatoryal mantık: en son geliştirilenlerden biri, algoritmalar tarafından geliştirilebilecek sonuçları içerir.
Mantıksal programlama: çeşitli paketlerde ve programlama dillerinde kullanılır.

alanlar

Muhakeme ve argümanlarının geliştirilmesinde matematiksel mantıktan vazgeçilmez bir şekilde yararlanan alanlar arasında felsefe, küme teorisi, sayı teorisi, yapıcı cebirsel matematik ve programlama dilleri vurgulanır.