Doğrusal İnterpolasyon: Yöntem, Çözülmüş Alıştırmalar

Doğrusal enterpolasyon, Newton'un genel enterpolasyonundan kaynaklanan ve yaklaşık olarak verilen iki sayı arasında bilinmeyen bir değerin belirlenmesini sağlayan bir yöntemdir; yani, bir ara değer var. Ayrıca, f (a) ve f (b) değerlerinin bilindiği ve f (x) nin ara maddesini bilmek istediğimiz yaklaşık fonksiyonlara da uygulanır.

Doğrusal, ikinci dereceden, kübik ve daha yüksek dereceler gibi farklı enterpolasyon türleri vardır, en basiti doğrusal yaklaşımdır. Doğrusal enterpolasyon ile ödenmesi gereken fiyat, sonucun yüksek dereceli fonksiyonlarla yaklaşık olarak doğru olamayacağıdır.

tanım

Doğrusal enterpolasyon, bir tabloda veya doğrusal bir grafikte olabilen, iyi tanımlanmış iki değer arasında bir değer belirlemenizi sağlayan bir işlemdir.

Örneğin, 3 litre sütün 4 dolar değerinde olduğunu ve 5 litrenin 7 dolar değerinde olduğunu biliyorsanız, ancak 4 litre sütün değerinin ne olduğunu bilmek istiyorsanız, bu ara değeri belirlemek için enterpolasyon yapın.

yöntem

Bir fonksiyonun bir ara değerini tahmin etmek için, f (x) fonksiyonuna r (x) satırı yaklaşır, bu fonksiyonun "x = a" ve "x = uzaması için" x "ile doğrusal olarak değiştiği anlamına gelir. b »; yani, (x 0, x 1 ) y (y 0, y 1 ) aralığında "x" değeri için, "y" değeri, noktalar arasındaki çizgi tarafından verilir ve aşağıdaki ilişkiyle ifade edilir:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

Bir enterpolasyonun lineer olması için, interpolasyon polinomunun derece bir (n = 1) olması gerekir, böylece x 0 ve x 1 değerlerine ayarlanır .

Doğrusal enterpolasyon, üçgenlerin benzerliğine dayanır, böylece önceki ifadeden geometrik olarak türeterek, "x" için bilinmeyen değeri temsil eden "y" değerini elde edebiliriz.

Bu şekilde yapmanız gerekenler:

a = tan Ɵ = (karşı taraf 1 ÷ bitişik taraf 1 ) = (karşı taraf 2 ÷ bitişik taraf 2 )

Başka bir şekilde ifade edilirse:

(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )

İfadelerin "ve" ifadelerini temizleyerek:

(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )

(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

Böylece lineer enterpolasyon için genel denklemi elde ediyoruz:

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

Genel olarak, doğrusal enterpolasyon, gerçek işlevin gerçek değeri üzerinde küçük bir hata verir, bununla birlikte, bulmak istediğiniz birine yakın bir sayıyı sezgisel olarak seçip seçmemeniz ile karşılaştırıldığında minimumdur.

Bu hata, bir eğrinin değerini düz bir çizgiyle yakınlaştırmaya çalıştığınızda oluşur; Bu durumlar için yaklaşımı daha kesin hale getirmek için aralığın büyüklüğü azaltılmalıdır.

Yaklaşımla ilgili daha iyi sonuçlar için, enterpolasyonu gerçekleştirmek için 2., 3. ve hatta daha yüksek dereceli fonksiyonların kullanılması önerilir. Bu durumlar için Taylor teoremi çok faydalı bir araçtır.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

Aşağıdaki tabloda, bir saat boyunca inkübasyonda bulunan birim hacim başına bakteri sayısı aşağıdaki tabloda sunulmaktadır. 3, 5 saat boyunca bakteri hacminin ne olduğunu bilmek istiyorsunuz.

çözüm

Referans tablo 3.5 saatlik bir süre için bakteri miktarını belirten bir değer oluşturmaz, ancak sırasıyla 3 ve 4 saatlik bir süreye karşılık gelen daha yüksek ve daha düşük değerlere sahiptir. Bu şekilde:

x 0 = 3 ve 0 = 91

x = 3, 5 y =?

x 1 = 4 ve 1 = 135

Şimdi, matematiksel denklem, enterpolasyonlu değeri bulmak için uygulanır;

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )].

Sonra karşılık gelen değerler değiştirilir:

y = 91 + (135 - 91) * [(3, 5 - 3) ÷ (4 - 3)]

y = 91 + (44) * [(0.5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0, 5

y = 113

Böylece, 3.5 saatlik bir süre için bakteri miktarının 113 olduğu ve 3 ila 4 saatlik zamanlarda var olan bakteri hacmi arasındaki ara seviyeyi temsil ettiği elde edildi.

Egzersiz 2

Luis'in bir dondurma fabrikası var ve Ağustos'ta yaptığı geliri belirlemek için yapılan harcamalardan belirlemek için bir çalışma yapmak istiyor. Şirketin yöneticisi bu ilişkiyi ifade eden bir grafik yapar, ancak Luis bilmek ister:

55.000 ABD Doları tutarında bir harcama yapıldıysa Ağustos ayı geliri nedir?

çözüm

Gelir ve gider değerleri içeren bir grafik verilmiştir. Fabrika 55.000 dolar giderse, Luis Ağustos gelirinin ne olduğunu bilmek istiyor. Bu değer doğrudan grafiğe yansıtılmamaktadır, ancak bundan daha yüksek ve daha düşük değerler mevcuttur.

İlk önce, değerleri kolaylıkla ilişkilendirmek için bir tablo hazırlandı:

Şimdi, enterpolasyon formülü y'nin değerini belirlemek için kullanılır

y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * [(x - x 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )]

Sonra karşılık gelen değerler değiştirilir:

y = 56.000 + (78.000 - 56.000) * [(55.000 - 45.000) ÷ (62.000 - 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56, 000 + (22, 000) * (0, 588)

y = 56, 000 + 12, 936

y = 68, 936.

Ağustos ayında 55.000 dolar tutarında bir harcama yapılmışsa, gelir 68.936 dolardı.