Moivre Teoremi: Neleri İçeriyor, Gösteri ve Alıştırmalar
Moivre teoremi, güçler ve karmaşık sayılardaki köklerin çıkarılması gibi temel cebir işlemlerini uygular. Teorem, karmaşık sayıları trigonometri ile ilişkilendiren ünlü Fransız matematikçi Abraham de Moivre (1730) tarafından duyuruldu.
Abraham Moivre bu ilişkiyi meme ve kosinüs ifadeleriyle yaptı. Bu matematikçi, güç n'in karmaşık bir sayısını, n'nin büyük veya eşit bir pozitif tamsayı olan 1 sayısını yükseltmenin mümkün olduğu bir tür formül üretti.
Moivre teoremi nedir?
Moivre teoremi aşağıdakileri belirtir:
Z = r Ɵ kutup biçiminde karmaşık bir sayıya sahipsek, burada r, z karmaşık sayısının modülüdür ve açı n, 0 calcu calcu ≤ 2π olan herhangi bir karmaşık sayının amplitüdü veya argümanı olarak adlandırılır. Bu güç, onu n defa çarparak gerekli olmayacak; yani, aşağıdaki ürünü yapmak gerekli değildir:
Zn = z * z * z * . . * z = r Ɵ * r Ɵ * r Ɵ *. . . * r-n kere.
Aksine, teorem, z'yi trigonometrik formunda yazarken, nt gücünü hesaplamak için şu şekilde ilerlediğimizi söylüyor:
Eğer z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) ise zn = rn (cos n * Ɵ + i * sin n * Ɵ).
Örneğin, eğer n = 2 ise, z2 = r2 [cos 2 (Ɵ) + i 2 (2)]. Eğer n = 3 varsa, z3 = z2 * z olur. Ek olarak:
z3 = r2 [cos 2 (Ɵ) + günah 2 (Ɵ)] * r [cos 2 (Ɵ) + günah 2 (Ɵ)] = r3 [cos 3 (Ɵ) + günah 3 (Ɵ)].
Bu şekilde, sinüs ve kosininin trigonometrik oranları, açının trigonometrik oranları bilindiği sürece bir açının katları için elde edilebilir.
Aynı şekilde, z sayısının zn = 1 olması için karmaşık bir sayının nt kökü için daha kesin ve daha az kafa karıştırıcı ifadeler bulmak için kullanılabilir.
Moivre teoremini göstermek için, matematiksel indüksiyon prensibi kullanılır: "a" tamsayısının "P" özelliğine sahip olması ve "P" özelliğine sahip "a" değerinden daha büyük bir sayı için "P" özelliğine sahip olması. n + 1'in ayrıca "P" özelliğine sahip olduğunu, bu nedenle "a" ya eşit veya daha büyük tüm tam sayıların "P" özelliğine sahip olduğunu sağlar.
gösteri
Bu şekilde, teorem ispatı aşağıdaki adımlarla yapılır:
Endüktif baz
İlk önce n = 1 olup olmadığını kontrol edin.
Z1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) 1 = r1 (cos Ɵ + i * sin Ɵ) 1 = r1 [cos (1 * Ɵ) + i * sin (1 * Ɵ)] n = 1 için teorem yerine getirildi.
Endüktif hipotez
Formülün bazı pozitif tamsayılar için doğru olduğu, yani n = k olduğu varsayılmaktadır.
zk = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k = rk (cos k Ɵ + i * sin k Ɵ).
test
N = k + 1 için doğru olduğu kanıtlandı.
Zk + 1 = zk * z olduğundan, zk + 1 = (r (cos Ɵ + i * sin Ɵ)) k + 1 = rk (cos kƟ + i * sin kƟ) * r (cos Ɵ + i * sinƟ) .
Ardından ifadeler çoğalır:
zk + 1 = rk + 1 ((cos kƟ) * (cosƟ) + (cos kƟ) * (i * sinƟ) + (i * sin kƟ) * (cosƟ) + (i * sinƟ) * (i * sinƟ) )).
Bir an için rk + 1 faktörü yoksayılır ve ortak faktör i çıkarılır:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) + i2 (sin kƟ) * (sinƟ).
İ2 = -1 olarak, ifadenin yerine kullanırız ve şunu alırız:
(cos kƟ) * (cosƟ) + i (cos kƟ) * (sinƟ) + i (sin kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ).
Şimdi gerçek ve hayali kısım sıralandı:
(cos kƟ) * (cosƟ) - (sin kƟ) * (sinƟ) + i [(sin kƟ) * (cosƟ) + (cos k cos) * (sinƟ)].
İfadeyi basitleştirmek için, kosinüs ve sinüs için açı toplamının trigonometrik kimlikleri uygulanır, bunlar:
cos (A + B) = cos A * cos B - sin A * sin B
günah (A + B) = günah A * çünkü B - cos A * cos B
Bu durumda değişkenler Ɵ ve kƟ açılarıdır. Trigonometrik kimlikleri kullanarak, biz var:
çünkü kƟ * cosƟ - sin kƟ * senƟ = cos (kƟ + Ɵ)
günah kƟ * cosƟ + cos kƟ * günah = günah (kƟ + Ɵ)
Bu şekilde, ifade kalır:
zk + 1 = rk + 1 (cos (kƟ + Ɵ) + i * günah (kƟ + Ɵ))
zk + 1 = rk + 1 (cos [(k + 1) Ɵ] + i * sin [(k +1) Ɵ]).
Böylece sonucun n = k + 1 için doğru olduğu gösterilebilir. Matematiksel indüksiyon prensibi ile, sonucun tüm pozitif tamsayılar için doğru olduğu sonucuna varılmıştır; yani, n ≥ 1.
Tamsayı negatif
Moivre teoremi n ≤ 0 olduğunda da uygulanır. «N» negatif bir tamsayı düşünün; o zaman "n", "m", yani n = -m olarak yazılabilir, burada "m" pozitif bir tamsayıdır. Bu nedenle:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = (cos Ɵ + i * sin Ɵ) -m
"M" üssünü pozitif olarak elde etmek için, ifade tersten yazılır:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos Ɵ + i * sin Ɵ) m
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = 1 ÷ (cos mƟ + i * sin mƟ)
Şimdi, eğer z = a + b * i karmaşık bir sayı ise, 1 1 z = ab * i kullanılır. Bu nedenle:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (mƟ) - i * sin (mƟ).
Cos (x) = cos (-x) ve o -sen (x) = sin (-x) kullanarak şunları yapmalıyız:
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = [cos (mƟ) - i * sin (mƟ)]
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (- mƟ) + i * sin (-m-)
(cos Ɵ + i * sin Ɵ) n = cos (nƟ) - i * sin (nƟ).
Bu şekilde, teoremin "n" nin tüm tamsayı değerlerine uygulanabileceği söylenebilir.
Çözülmüş egzersizler
Pozitif güçlerin hesaplanması
Kutup şeklinde karmaşık sayılarla yapılan işlemlerden biri, ikisi arasında çarpmadır; Bu durumda modüller çarpılır ve argümanlar eklenir.
İki karmaşık sayınız z 1 ve z 2'niz varsa ve (z 1 * z 2 ) 2'yi hesaplamak istiyorsanız, aşağıdaki adımları izleyin:
z 1 z 2 = [r 1 (cos Ɵ 1 + i * sin Ɵ 1 )] * [r 2 (cos Ɵ 2 + i * sin Ɵ 2 )]
Dağıtım özelliği uygulanır:
z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i * cos Ɵ 1 * i * sin Ɵ 2 + i * sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ) .
"İ" terimini ortak ifadeler faktörü olarak alarak gruplandırılmışlardır:
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (cos Ɵ 1 * sin Ɵ 2 + sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 ) + i2 * sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ]
İ2 = -1 olarak, ifadede değiştirilir:
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 + i (cos Ɵ 1 * sin Ɵ 2 + sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 ) - sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ]
Gerçek terimler, gerçek ve yeniden hayali ile yeniden birleşir:
z 1 z 2 = r 1 r 2 [(cos Ɵ 1 * cos Ɵ 2 - sin Ɵ 1 * sin Ɵ 2 ) + i (cos Ɵ 1 * sin Ɵ 2 + sin Ɵ 1 * cos Ɵ 2 )]
Son olarak, trigonometrik özellikler uygulanır:
z 1 z 2 = r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + i sin (Ɵ 1 + Ɵ 2 )].
Sonuç olarak:
(z 1 * z 2 ) 2 = (r 1 r 2 [cos (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + günah (Ɵ 1 + Ɵ 2 )]) 2
= r 1 2r 2 2 [cos 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 ) + ı sin 2 * (Ɵ 1 + Ɵ 2 )].
Egzersiz 1
Z = - 2 -2i ise karmaşık sayıyı kutupsal forma yazınız. Ardından, Moivre teoremini kullanarak z4'ü hesaplayın.
çözüm
Karmaşık sayı z = -2-2i z = a + bi dikdörtgen biçiminde ifade edilir, burada:
a = -2.
b = -2
Kutupsal formun z = r (cos Ɵ + i * sin Ɵ) olduğunu bilerek, «r» modülünün değerini ve «Ɵ» argümanının değerini belirlememiz gerekir. R = √ (a² + b²) olarak verilen değerler değiştirilir:
r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)
= √ (4 + 4)
= √ (8)
= √ (4 * 2)
= 2√2.
Daha sonra, «Ɵ» değerini belirlemek için, formül tarafından verilen, bunun dikdörtgen şekli uygulanır:
tan Ɵ = b ÷ a
tan Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.
Tan (Ɵ) = 1 olduğundan ve bunu <0 a yaptınız, sonra yapmanız gerekir:
Ɵ = arctan (1) + Π.
= Π / 4 + Π
= 5Π / 4.
"R" ve "Ɵ" değeri zaten elde edildiğinden, z = -2 -2i karmaşık sayısı, değerleri değiştirerek kutupsal formda ifade edilebilir:
z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)).
Şimdi Moivre teoremi z4'ü hesaplamak için kullanılır:
z4 = 2√2 (cos (5Π / 4) + i * sin (5Π / 4)) 4
= 32 (cos (5Π) + i * günah (5Π)).
Egzersiz 2
Karmaşık sayıların çarpımını kutupsal biçiminde ifade ederek bulun:
z1 = 4 (cos 50o + i * sin 50o)
z2 = 7 (cos 100o + i * sin 100o).
Ardından, (z1 * z2) ² değerini hesaplayın.
çözüm
İlk önce verilen sayıların ürünü oluşturulmuştur:
z 1 z 2 = [4 (cos 50o + i * sin 50o)] * [7 (cos 100o + i * sin 100o)]
Ardından modülleri birlikte çarpın ve argümanları ekleyin:
z 1 z 2 = (4 * 7) * [cos (50o + 100o) + i * sin (50o + 100o)]
İfade basitleştirildi:
z 1 z 2 = 28 * (cos 150o + (i * sin 150o).
Son olarak, Moivre teoremi uygulanır:
(z1 * z2) ² = (28 * (cos 150o + (i * sin 150o)) ² = 784 (cos 300o + (i * sin 300o)).
Negatif güçlerin hesaplanması
İki karmaşık sayıyı z1 ve z2 kutupsal biçimlerine bölmek için modül bölünür ve argümanlar çıkarılır. Böylece, bölüm z 1 ÷ z 2 ve şöyle ifade edilir:
z 1 ÷ z 2 = r1 / r2 ([cos (Ɵ 1 - Ɵ 2 ) + i sin (Ɵ 1 - Ɵ 2 )]).
Önceki durumda olduğu gibi, (z1 ÷ z2) ³ 'ı hesaplamak istiyorsanız, önce bölme yapılır, sonra da Moivre teoremi kullanılır.
Egzersiz 3
verilen:
z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)),
z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)),
hesapla (z1 ÷ z2).
çözüm
Yukarıda açıklanan adımların ardından, şu sonuçlara varılabilir:
(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * günah (3π / 4 - π / 4))) ³
= (3 (cos (π / 2) + i * günah (π / 2))) ³
= 27 (cos (3π / 2) + i * günah (3π / 2)).
