Bolzano Teoremi: Açıklama, Uygulamalar ve Çözülmüş Çalışmalar

Bolzano teoremi, bir fonksiyonun kapalı bir aralığın [a, b] tüm noktalarında sürekli olması durumunda ve "a" ve "b" (fonksiyonun altında) görüntüsünün zıt işaretlere sahip olduğu konusunda tatmin edici olduğunu belirtir. Açık aralıkta (a, b) en az bir noktaya "c", "c" de değerlendirilen fonksiyon 0'a eşit olacak şekilde.

Bu teorem, 1850'de filozof, teolog ve matematikçi Bernard Bolzano tarafından duyuruldu. Günümüz Çek Cumhuriyeti'nde doğan bu bilim adamı, tarihte sürekli fonksiyonların özelliklerini resmi olarak gösteren ilk matematikçilerden biriydi.

açıklama

Bolzano teoremi, gerçek bir değişkenin belirli gerçek fonksiyonlarının belirli sıfırlarının, özellikle sıfırlarının belirlenmesinde yardımcı olan ara değerler teoremi olarak da bilinir.

Belirli bir fonksiyonda f (x) devam eder, yani f (a) ve f (b), bir eğri ile bağlanır, burada f (a), x ekseninin (negatif) altındadır ve f (b), x ekseninin üstünde (pozitif) veya tersi, grafiksel olarak, x ekseni üzerinde, "a" ve "b" arasındaki "c" ve "f" c "değeri arasında olacak bir ara değeri" c "temsil edecek bir kesme noktası olacaktır. 0'a eşit olacak

Bolzano teoremini grafiksel olarak analiz ederek, f (a) _* f (b) 'nin 0'dan küçük olduğu f [a, b] aralığında sürekli tanımlanmış her fonksiyon için, en az bir kök «c olacağının farkındayız. »Bu fonksiyonun aralığında (a, b).

Bu teorem, bu açık aralıkta var olan noktaların sayısını belirlemez, sadece en az 1 nokta olduğunu belirtir.

gösteri

Bolzano teoremini ispatlamak için f (a) 0; Bu şekilde, "a" ve "b" arasında f (x) = 0 olan birçok değer olabilir, ancak sadece birinin mevcut olması gerekir.

F orta noktasında (a + b) / 2 değerlendirerek başlayın. Eğer f ((a + b) / 2) = 0 ise test burada sona ermektedir; Aksi takdirde, f ((a + b) / 2) pozitif veya negatifdir.

[A, b] aralığının yarısından biri, uçlarda değerlendirilen fonksiyonun işaretlerinin farklı olacağı şekilde seçilir. Bu yeni aralık [a1, b1] olacaktır.

Şimdi, [a1, b1] 'in orta noktasında değerlendirilen f sıfır değilse, o zaman öncekiyle aynı işlem gerçekleştirilir; yani, işaretlerin durumunu karşılayan bu aralığın yarısı seçilir. Bu yeni aralık [a2, b2] olsun.

Bu sürece devam edilirse, iki sıralı {an} ve {bn} alınacaktır, şöyle ki:

{an} artıyor ve {bn} azalıyor:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ bir ≤ .... ≤ ... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Her aralığın uzunluğunu hesaplarsanız [ai, bi], yapmanız gerekenler:

b1-a1 = (ba) / 2.

b2-a2 = (ba) / 2².

....

bn-an = (ba) / 2 ^ n.

Bu nedenle, n (bn-an) 'nın sonsuzluğuna eğilim gösterme sınırı, 0'a eşittir.

Bunun kullanılması {an} arttığını ve sınırladığını ve {bn} azaldığını ve sınırlandığını kullanarak, şöyle bir "c" değeri vardır:

a ≤ a1 ≤ a2 ≤ ... ≤ bir ≤ ... .≤ c ≤ .... ≤ bn ≤ ... ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.

Bir limiti "c" ve {bn} limiti de "c" dir. Bu nedenle, herhangi bir δ> 0 verildiğinde, her zaman bir aralıkta [a, bn] aralığı (c-δ, c + that) içerecek şekilde bir "n" vardır.

Şimdi, f (c) = 0 olduğu gösterilmelidir.

Eğer f (c)> 0 ise, f sürekli olduğu için interval> 0 vardır, öyle ki f aralık boyunca pozitif olur (c-ε, c + ε). Bununla birlikte, yukarıda belirtildiği gibi, f [an, bn] 'daki işareti değiştirecek ve ek olarak [an, bn]' nin (c-ε, c + ε) içinde yer alacağı şekilde bir "n" değeri vardır, bu bir çelişkidir.

F (c) 0, f aralığı boyunca negatif olacak şekilde (c-ε, c + ε); ancak f [an, bn] 'de işaretini değiştirecek şekilde "n" değeri vardır. [An, bn] 'nin de (c-ε, c + ε) içinde olduğu ve aynı zamanda bir çelişki olduğu ortaya çıktı.

Bu nedenle, f (c) = 0 ve göstermek istediğimiz budur.

Ne için?

Bolzano teoremi, grafiksel yorumundan, sürekli bir fonksiyonda kökleri veya sıfırları bulmak için, aralıkları her zaman aralıkları 2'ye bölen artımlı bir arama yöntemi olan biseksiyon (yaklaşık) üzerinden kullanır.

Ardından, işaret değişikliğinin meydana geldiği bir aralık [a, c] veya [c, b] alın ve istediğiniz değere yaklaşmak için aralık daha küçük ve daha küçük olana kadar işlemi tekrarlayın; yani, fonksiyonun yaptığı 0.

Özetle, Bolzano teoremini uygulamak ve böylece kökleri bulmak, bir fonksiyonun sıfırlarını sınırlamak veya bir denkleme çözüm vermek için aşağıdaki adımlar uygulanır:

- f [a, b] aralığında sürekli bir fonksiyon olup olmadığını kontrol edin.

- Aralık verilmezse, fonksiyonun sürekli olduğu yer bulunmalıdır.

- Aralığın uç noktalarının f olarak değerlendirildiğinde zıt işaretler verdiğini doğrulayın.

- Karşılıklı işaretler alınmazsa, ara nokta orta nokta kullanılarak iki alt aralığa bölünmelidir.

- Fonksiyonu orta noktadan değerlendirin ve f (a) _* f (b) <0 olan Bolzano hipotezinin karşılandığını doğrulayın.

- Bulunan değerin işaretine (pozitif veya negatif) bağlı olarak, yukarıda belirtilen hipotez yerine getirilinceye kadar süreç yeni bir alt interval ile tekrarlanır.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

F (x) = x2 - 2 fonksiyonunun [1, 2] aralığında en az bir gerçek çözüme sahip olup olmadığını belirleyin.

çözüm

F (x) = x2 - 2 fonksiyonuna sahibiz. Polinom olduğundan, herhangi bir aralıkta sürekli olduğu anlamına gelir.

[1, 2] aralığında gerçek bir çözümün olup olmadığını belirlemeniz istenir, bu nedenle şimdi bunların işaretini bilmek ve farklı olmanın koşullarını yerine getirip getirmediklerini bilmek için işlevdeki aralığın uçlarını değiştirmeniz yeterlidir:

f (x) = x2 - 2

f (1) = 12 - 2 = -1 (negatif)

f (2) = 22-22 = 2 (pozitif)

Bu nedenle, f (1) işareti sign (f) işareti.

Bu, f (c) = 0 olan [1, 2] aralığına ait en az bir nokta "c" olmasını sağlar.

Bu durumda, "c" değeri aşağıdaki gibi kolayca hesaplanabilir:

x2 - 2 = 0

x = ± ± 2.

Böylece, √2 ≈ 1.4 [1, 2] aralığına aittir ve f (√2) = 0 olmasını sağlar.

Egzersiz 2

X5 + x + 1 = 0 denkleminin en az bir gerçek çözüme sahip olduğunu gösterin.

çözüm

İlk olarak, f (x) = x5 + x + 1'in bir polinom işlevi olduğunu ve tüm gerçek sayılarda sürekli olduğu anlamına gelir.

Bu durumda herhangi bir aralık verilmez, bu nedenle fonksiyonu değerlendirmek ve işaret değişikliklerini bulmak için değerler sezgisel olarak, tercihen 0'a yakın seçilmelidir:

[0, 1] aralığını kullanırsanız yapmanız gereken:

f (x) = x5 + x + 1.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

f (1) = 15 + 1 + 1 = 3> 0.

İşaret değişikliği olmadığından işlem başka bir aralıkla tekrarlanır.

[-1, 0] aralığını kullanırsanız yapmanız gereken:

f (x) = x5 + x + 1.

f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.

f (0) = 05 + 0 + 1 = 1> 0.

Bu aralıkta bir işaret değişikliği vardır: f (-1) ≠ işaretinin f (0) işareti, yani f (x) = x5 + x + 1 işlevinde en az bir gerçek kök "c" olduğu anlamına gelir. [-1, 0] aralığı, f (c) = 0 olacak şekildedir. Diğer bir deyişle, x5 + x + 1 = 0 değerinin [-1, 0] aralığında gerçek bir çözüme sahip olduğu doğrudur.