Kesikli Olasılık Dağılımları: Özellikleri ve Egzersizleri

Kesikli olasılık dağılımları, X'in belirli bir rasgele değişken ve S'nin kendi örneklem alanı olduğu X (S) = {x1, x2, ..., xi, ...} 'nin her bir elemanına atanan bir fonksiyondur. söz konusu olay meydana gelir. F (xi) = P (X = xi) olarak tanımlanan X (S) 'nin bu işlevi bazen olasılık kütle işlevi olarak adlandırılır.

Bu olasılık kütlesi genellikle bir tablo olarak temsil edilir. X, ayrık rastgele bir değişken olduğundan, X (S) sınırlı sayıda olaya veya sayılabilir bir sonsuzluğa sahiptir. En yaygın kesikli olasılık dağılımları arasında düzgün dağılım, binom dağılım ve Poisson dağılımına sahibiz.

özellikleri

Olasılık dağılım fonksiyonu aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

Ayrıca, eğer X yalnızca sınırlı sayıda değer alırsa (örneğin, x1, x2, ..., xn), öyleyse p (xi) = 0 ise, bu nedenle, sonsuz koşul b serisi bir olur. sonlu seriler.

Bu işlev ayrıca aşağıdaki özellikleri de yerine getirir:

B, rastgele X değişkeni ile ilişkili bir olay olsun. Bu, B'nin X (S) 'de bulunduğu anlamına gelir. Özellikle, B = {xi1, xi2, ...} olduğunu varsayalım. Bu nedenle:

Başka bir deyişle, bir B olayının olasılığı, B ile ilişkili bireysel sonuçların olasılıklarının toplamına eşittir.

Bundan, eğer bir <b, olayların (X ≤ a) ve (a <X ≤ b) karşılıklı olarak münhasır olduğu ve ek olarak, onların birliğinin olay olduğu (X ≤ b) olduğu sonucuna varabiliriz:

tip

N noktaları üzerinde homojen dağılım

Her bir değere aynı olasılık atanmışsa, rastgele bir X değişkeninin n noktalarında tekdüze olmasıyla karakterize edilen bir dağılım izlediği söylenir. Olasılık kütle fonksiyonu:

İki olası sonucu olan bir denememiz olduğunu varsayalım; bunun olası sonuçları yüz veya damga olan bir madalyonun atılması veya sonucu çift sayı veya tek sayı olabilen bir sayının seçimi olabilir; Bu tür deney Bernoulli'nin testleri olarak bilinir.

Genel olarak, iki olası sonuç başarı ve başarısızlık olarak adlandırılır, burada p başarı olasılığı ve 1-p başarısızlıktır. Birbirinden bağımsız olan n Bernoulli testlerinde aşağıdaki başarı ile x başarı ihtimalini belirleyebiliriz.

Binom dağılımı

Başarı olasılığı p olan bağımsız Bernoulli testlerinde x başarı kazanma olasılığını temsil eden işlev budur. Olasılık kütle fonksiyonu:

Aşağıdaki grafik, binom dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle işlevini göstermektedir.

Aşağıdaki dağıtım adını, binom dağılımının sınırı olarak alan Fransız matematikçi Simeon Poisson'a (1781-1840) borçludur.

Poisson dağılımı

R1 değişkeninin şu olasılıkla 0, 1, 2, 3, ... pozitif tamsayı değerlerini alabildiği zaman λ parametresinin Poisson dağılımına sahip olduğu söylenir:

Bu ifadede λ, her bir zaman birimi için olayın oluşumuna karşılık gelen ortalama sayıdır ve x, olayın gerçekleştiği sayıdır.

Olasılık kütle fonksiyonu:

Daha sonra, Poisson dağılımının parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle işlevini temsil eden bir grafik.

Başarı sayısının düşük olduğu ve binom dağılımında yapılan test sayısının yüksek olduğu sürece, Poisson dağılımının binom dağılımının sınırı olduğu için bu dağılımları her zaman hesaplayabileceğimizi unutmayın.

Bu iki dağılım arasındaki temel fark, binomun iki parametreye bağlı olmasına rağmen, n ve p-Poisson'un sadece λ olduğuna bağlıdır ki bu, dağılımın yoğunluğu olarak adlandırılır.

Şimdiye kadar, farklı deneylerin birbirinden bağımsız olduğu durumlar için yalnızca olasılık dağılımlarından söz ettik; yani, birinin sonucu başka bir sonuçtan etkilenmediğinde.

Bağımsız olmayan deneylerin olması durumunda, hipergeometrik dağılım çok yararlıdır.

Hipergeometrik dağılım

N, bunlardan bir tanesini ak olarak tanımlayabildiğimiz sonlu bir kümenin toplam nesne sayısı olsun, böylece tamamlayıcı kalan Nk elemanları tarafından oluşturulan bir alt K grubu oluşturur.

Rastgele n nesnesini seçersek, bu seçimde K'ye ait nesne sayısını temsil eden rastgele X değişkeni, N, n ve k parametrelerinin hipergeometrik dağılımına sahiptir. Olasılık kütle fonksiyonu:

Aşağıdaki grafik, hipergeometrik dağılım parametrelerinin farklı değerleri için olasılık kütle fonksiyonunu göstermektedir.

Çözülmüş egzersizler

İlk egzersiz

Bir radyo tüpünün (belirli bir ekipman tipine yerleştirilmiş) 500 saatten fazla çalışabilme ihtimalinin 0, 2 olduğunu varsayalım. Eğer 20 tüp test edilirse, bunların tam olarak k'sinin 500 saatten fazla çalışabilme olasılığı nedir, k = 0, 1.2, ..., 20?

çözüm

X, 500 saatten fazla çalışan tüp sayısı ise, X'in binom dağılımına sahip olduğunu varsayacağız. sonra

Ve böylece:

K≥11 için olasılıklar 0, 001'den az

Böylece, bu k'nin 500 saatten daha fazla çalışma olasılığının, maksimum değerine (k = 4 ile) ulaşana ve ardından azalmaya başlayana kadar nasıl arttığını görebiliriz.