Bayes Teoremi: açıklama, uygulamalar, alıştırmalar

Bayes Teoremi, B verilen rastgele olay A'nın koşullu olasılığını, A olayının olasılık dağılımı ve sadece A'nın olasılık dağılımı açısından ifade etmemizi sağlayan bir prosedürdür.

Bu teorem çok kullanışlıdır, çünkü sayesinde A olayının B olasılığını, tam tersi olma olasılığını, yani B'nin verildiğini bilerek meydana getirme ihtimalini ilişkilendirebiliriz.

Bayes teoremi, on sekizinci yüzyıl İngiliz teolojisi olan ve aynı zamanda matematikçi olan Rahip Thomas Bayes'in gümüş bir önerisiydi. Teolojide çeşitli çalışmaların yazarıydı, ancak şu anda yukarıda bahsedilen Bayes Teoreminin ana sonuç olarak öne çıktığı birkaç matematiksel tezle tanınıyor.

Bayes, bu teoremi, 1763'te yayınlanan ve olasılık doktrininde bir problemi çözmek için büyük çalışmalar geliştirilen "Şans Doktrinde Bir Sorunu Çözmeye Doğru Bir Deneme" başlıklı bir makalede ele alındı. Farklı bilgi alanlarındaki uygulamalarla çalışmalar.

açıklama

İlk olarak, bu teoremi daha fazla anlamak için bazı temel olasılık teorisi kavramları, özellikle şartlı olasılık için çarpım teoremi gereklidir.

E ve A için örnek bir uzayın rastgele olayları için

Ve eğer bize bir S uzayının örnek olaylarından A ₁, A ₂, ..., A _n olaylarına sahip olursak, bunların A'nın karşılıklı olarak münhasır ve sendikaları ise S'nin bir bölümünü oluşturacağını söyleyen bölümlerin tanımı.

Buna sahip, B başka bir olay olsun. O zaman B'yi görebiliriz.

A'nın B ile kesiştiği yerde karşılıklı olarak özel olaylar vardır.

Ve sonuç olarak,

Ardından çarpım teoremini uygulama

Öte yandan, Ai'nin B'ye verilen koşullu olasılığı;

Yeterince ikame etmek istediklerimiz için

Bayes Teoremi Uygulamaları

Bu sonuç sayesinde, araştırma grupları ve çeşitli şirketler bilgiye dayalı sistemleri geliştirmeyi başardılar.

Örneğin, hastalıkların çalışmasında, Bayes teoremi hastalığın küresel oranlarını ve belirtilen özelliklerin baskınlığını veri olarak alarak, belirli bir özelliği olan bir grup insanda bir hastalığın bulunma olasılığını ayırt etmeye yardımcı olabilir. insanlar hem sağlıklı hem de hasta.

Öte yandan, yüksek teknolojiler dünyasında, bu sonuç sayesinde "Bilgiye Dayalı" yazılımını geliştiren büyük şirketleri etkiledi.

Günlük bir örnek olarak Microsoft Office asistanımız var. Bayes teoremi, yazılımın kullanıcının sunduğu sorunları değerlendirmesine ve hangi tavsiyelerin sağlanacağına karar vermesine yardımcı olur ve böylece kullanıcının alışkanlıklarına göre daha iyi bir hizmet sunabilir.

Bu formülün son zamanlara kadar göz ardı edildiği unutulmamalıdır, bunun nedeni, bu sonuç 200 yıl önce geliştirildiğinde, onlar için pratikte az kullanım olduğudur. Bununla birlikte, zamanımızda, büyük teknolojik gelişmeler sayesinde, bilim adamları bu sonucu uygulamaya koymak için yollar elde etmişlerdir.

Çözülmüş Egzersizler

Egzersiz 1

Bir hücresel şirketin iki makine A ve B'si vardır. Üretilen cep telefonlarının% 54'ü makine A ve geri kalanı makine B tarafından yapılmıştır. Üretilen tüm cep telefonları iyi durumda değildir.

A ile yapılan hatalı cep telefonlarının oranı 0.2, B ise 0.5'tir. Bahsedilen fabrikanın cep telefonunun arızalı olma olasılığı nedir? Bir cep telefonunun arızalı olduğunu bilerek A makinesinden gelme ihtimali nedir?

çözüm

Burada iki bölümden oluşan bir deneyiniz var; ilk bölümde olaylar meydana gelir:

A: makine A. tarafından yapılan cep telefonu

B: makine B tarafından yapılan cep telefonu

A makinesi cep telefonlarının% 54'ünü ürettiğinden ve geri kalanı B makinesi tarafından üretildiğinden, B makinesi, cep telefonlarının% 46'sını üretir. Bu olayların olasılıkları verilmiştir:

P (A) = 0.54.

P (B) = 0.46.

Deneyin ikinci bölümünün olayları:

D: arızalı cep telefonu

E: arızalı olmayan cep telefonu.

Açıklamada belirtildiği gibi, bu olayların olasılığı ilk bölümde elde edilen sonuca bağlıdır:

P (D | A) = 0.2.

P (D | B) = 0.5

Bu değerleri kullanarak, bu olayların tamamlayıcılarının olasılıklarını da belirleyebilirsiniz:

P (E | A) = 1 - P (D | A)

= 1 - 0, 2

= 0, 8

p (E | B) = 1 - P (D | B)

= 1 - 0, 5

= 0.5.

Şimdi, D olayı aşağıdaki gibi yazılabilir:

Çarpım teoremini koşullu olasılık için kullanmak, şöyle sonuçlanır:

İlk soruya cevap verilmiştir.

Şimdi sadece Bayes Teoreminin uygulandığı P (A | D) 'yi hesaplamamız gerekiyor:

Bayes Teoremi sayesinde, cep telefonunun arızalı olduğunu bilerek cep telefonunun A makinesi tarafından üretilme ihtimalinin 0.319 olduğu söylenebilir.

Egzersiz 2

Üç kutu beyaz ve siyah toplar içerir. Bunlardan her birinin bileşimi aşağıdaki gibidir: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.

Kutulardan biri rastgele seçilir ve rastgele bir top çıkarılır, bu beyaz olur. Hangi kutunun seçilmesi daha muhtemeldir?

çözüm

U1, U2 ve U3 sayesinde, seçilen kutuyu da temsil edeceğiz.

Bu olaylar S'nin bir bölümünü oluşturur ve kutunun seçimi rastgele olduğundan P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3 olduğu doğrulanır.

B = {çıkarılan top beyaz ise}, P (B | U1) = 3/4, P (B | U2) = 2/4, P (B | U3) = 1/4 olur.

Elde etmek istediğimiz, topun beyaz olduğunu, yani P (Ui | B) olduğunu bilerek topun Ui'den kutudan çıkarılma olasılığı olduğunu ve bu üç değerden hangisinin hangisinin en yüksek olduğunu bilmesidir. kutu beyaz topun çıkarılması daha muhtemel olmuştur.

Bayes teoremini kutuların ilkine uygulamak: