Öklid Geometrisi: Tarihçe, Temel Kavramlar ve Örnekler
Öklid geometrisi, Öklid aksiyomlarının sağlandığı geometrik uzayların özelliklerinin çalışılmasına karşılık gelir. Bu terim bazen benzer özelliklere sahip üstün boyutlara sahip geometrileri kapsayacak şekilde kullanılsa da, genellikle klasik geometri veya düz geometri ile eşanlamlıdır.
Üçüncü yüzyılda a. C. Euclides ve öğrencileri, bir mantıksal çıkarım yapısına sahip olan zamanın matematiksel bilgisini kapsayan bir çalışma olan Elementleri yazdı. O zamandan beri, geometri, başlangıçta klasik problemleri çözmek için bir bilim haline geldi ve mantıklı bir bilime dönüşmüştür.
tarih
Öklid geometrisi tarihi ile başlamak için İskenderiye ve Elementlerin Öklid'i ile başlamak esastır.
Mısır Ptolemy'nin elindeyken, Büyük İskender'in ölümünden sonra, projesine İskenderiye'deki bir okulda başladı.
Okulda ders veren bilgeler arasında Euclid vardı. Doğumunun yaklaşık 325 a olduğu tahmin edilmektedir. C. ve 265 a ölümü. C. Platon'un okuluna gittiğini kesin olarak biliyoruz.
Otuz yıldan fazla bir süredir Euclid İskenderiye'de öğretti ve ünlü unsurlarını inşa etti: zamanının matematiğinin ayrıntılı bir tanımını yazmaya başladı. Öklid öğretileri, Arşimed ve Perga Apollonius gibi mükemmel öğrenciler üretti.
Öklid, Elementlerde klasik Yunanlıların farklı keşiflerini yapılandırmaktan sorumluydu, ancak öncekilerden farklı olarak, bir teoremin doğru olduğunu onaylamakla yetinmiyor; Euclid bir gösteri sunuyor.
Öğeler on üç kitabın özetidir. İncil'den sonra, binden fazla basımı ile en çok yayınlanan kitaptır.
Elements, Euclid'in geometri alanındaki şaheseridir ve iki boyutlu geometri (düzlem) ve üç boyutlu (boşluk) geometrinin kesin bir şekilde işlenmesini sağlar, bu, şu anda Öklid geometrisi olarak bildiğimiz şeyin kökenidir. .
Temel kavramlar
Elemanlar tanımları, ortak kavramlar ve varsayımlar (veya aksiyomlar) ardından teoremler, yapılar ve gösteriler ile uyumludur.
- Mesele şu ki, parçası olmayan şey.
- Bir çizgi, genişliği olmayan bir uzunluktur.
- Düz bir çizgi, içinde bulunan noktalarla eşit olarak eşit duran çizgidir.
- İki çizgi kesildiğinde, bitişik açıların eşit olması için, açılara düz ve çizgiler dik olarak adlandırılır.
- Paralel çizgiler, aynı düzlemde olan, asla kesilmeyen çizgilerdir.
Bu ve diğer tanımlardan sonra, Euclid beş varsayım ve beş kavramın bir listesini sunar.
Ortak kavramlar
- Üçte birine eşit iki şey birbirine eşit.
- Eşit şeyler aynı şeylere eklenirse, sonuçlar aynıdır.
- Eşit şeyler eşit şeyler çıkarılırsa, sonuçlar aynıdır.
- Birbiriyle çakışan şeyler birbirine eşittir.
- Toplam bir parçadan büyük.
Postülatlar veya aksiyomlar
- İki farklı nokta için bir ve sadece bir satır geçer.
- Düz çizgiler süresiz uzayabilir.
- Herhangi bir merkez ve yarıçapı olan bir daire çizebilirsiniz.
- Bütün dik açılar aynı.
- Düz bir çizgi iki düz çizgiyi geçerse, aynı tarafın iç açıları iki dik açıdan daha az eklerse, o zaman iki düz çizgi o tarafta kesişir.
Bu son varsayım, paralelliklerin varsayımı olarak bilinir ve şöyle sıralanır: "Çizginin dışındaki bir nokta için, verilen çizgiye tek bir paralel çizebiliriz".
Örnekler
Daha sonra, Elementlerin bazı teoremleri, Öklid'deki beş önermenin yerine getirildiği geometrik mekanların özelliklerini göstermeye hizmet edecektir; Ek olarak, bu matematikçi tarafından kullanılan mantıksal-çıkarımsal mantığı göstereceklerdir.
İlk örnek
Teklif 1.4. (LAL)
İki üçgen iki tarafa sahipse ve aralarındaki açı eşitse, diğer taraflar ve diğer açılar eşittir.
gösteri
ABC ve A'B'C 'in AB = A'B', AC = A'C 've BAC ve B'A'C' açılarına eşit iki üçgen olmasına izin verin. A'B 'C' üçgenine geçin, böylece A'B 'AB ile çakışır ve bu B'A'C açısı BAC açısıyla çakışır.
Daha sonra, A 'C' satırı AC çizgisiyle çakışır, böylece C 'C ile çakışır. O zaman, 1'e göre, BC çizgisi B'C' çizgisiyle çakışmalıdır. Dolayısıyla iki üçgen çakışıyor ve sonuç olarak açıları ve yanları eşit.
İkinci örnek
Teklif 1.5. ( Pons Asinorum )
Bir üçgenin iki eşit kenarı varsa, o tarafların karşısındaki açılar eşittir.
gösteri
ABC üçgeninin AB ve AC ile eşit taraflara sahip olduğunu varsayalım.
Daha sonra ABD ve ACD üçgenleri iki eşit tarafa sahip ve aralarındaki açı eşit. Dolayısıyla, 1.4 önerisi ile ABD ve ACD açıları eşittir.
Üçüncü örnek
Teklif 1.31
Belirli bir nokta tarafından verilen çizgiye paralel bir çizgi oluşturabilirsiniz.
inşaat
Bir L çizgisi ve bir P noktası göz önüne alındığında, P'den geçen ve L'yi kesen düz bir çizgi M çizilir. Sonra L'ye kesen P ile düz bir çizgi çizilir. Şimdi, M'yi kesen bir çizgi N, P ile izlenir, L'nin M ile oluşturduğu şeye eşit bir açı oluşturmak
doğrulama
N, L'ye paraleldir.
gösteri
L ve N'nin paralel olmadığını ve A noktasında kesişmediğini varsayalım. B B'nin L'nin ötesinde bir nokta olmasına izin verin. B ve P'nin içinden geçen O çizgisini düşünün. O zaman O, M'den daha az ekleyen M oluşturma açılarını keser. iki düz.
Daha sonra, 1.5'e kadar, O hattı M'nin diğer tarafındaki L çizgisine kesmeli, bu nedenle L ve O iki noktada kesişir, bu durum 1 ile çelişir. Bu nedenle, L ve N paralel olmalıdır.
