Binom Teoremi: Gösteri ve Örnekler

Binom teoremi, bazı doğal sayılar için n (a + b) n formunun bir ifadesini nasıl geliştireceğimizi söyleyen bir denklemdir. Bir binom, (a + b) gibi iki elementin toplamından fazla değildir. Ayrıca, akbn-k tarafından verilen bir terim için kendisine eşlik eden katsayının ne olduğunu bilmemize izin verir.

Bu teorem genellikle İngiliz mucit, fizikçi ve matematikçi Sir Isaac Newton'a atfedilir; Bununla birlikte, Orta Doğu'da varlığının 1000 yıl boyunca biliniyor olduğunu gösteren birçok kayıt bulundu.

Kombinatoryal sayılar

Binom teoremi bize matematiksel olarak şunları söyler:

Bu ifadede a ve b, gerçek sayılardır ve n, doğal bir sayıdır.

Gösteriyi vermeden önce, gerekli olan bazı temel kavramları görelim.

Kombinatoryal sayı veya k'deki n kombinasyonları aşağıdaki gibi ifade edilir:

Bu form, bir n elemanı kümesinden k elemanı ile kaç tane alt kümenin seçilebileceğini ifade eder. Cebirsel ifadesi şöyle verilir:

Bir örnek görelim: Farz edelim ki, ikisi kırmızı, gerisi mavi olan yedi toptan oluşan bir grubumuz var.

Onları arka arkaya kaç şekilde sıralayabileceğimizi bilmek istiyoruz. Bir yol, iki kırmızıyı birinci ve ikinci konumlara ve topların geri kalanını kalan konumlara yerleştirmek olabilir.

Önceki duruma benzer şekilde, kırmızı toplara sırasıyla ilk ve son pozisyonları verebilir ve diğerlerini mavi toplarla meşgul edebilirdik.

Şimdi, topları arka arkaya ne kadar sipariş edebileceğimizi saymanın etkili bir yolu birleşimsel sayıları kullanıyor. Her konumu aşağıdaki kümenin bir öğesi olarak görebiliriz:

Daha sonra, sadece bu elementlerin her birinin kırmızı topların işgal edeceği pozisyonu temsil ettiği iki elementin alt kümesini seçmek gerekir. Bu seçimi aşağıdakiler tarafından verilen ilişkiye göre yapabiliriz:

Bu şekilde, bu topları sıralamanın 21 yolu vardır.

Bu örneğin genel fikri, binom teoreminin gösterilmesinde çok faydalı olacaktır. Belirli bir duruma bakalım: eğer n = 4 ise, (a + b) 4'e sahip olursak, ki bu, aşağıdakilerden fazla değildir:

Bu ürünü geliştirdiğimizde, dört faktörün (a + b) her birinin bir öğesini çarparak elde edilen terimlerin toplamına sahibiz. Böylece, formda olacak terimlerimiz olacaktır:

A4 formunun terimini elde etmek istiyorsak, aşağıdaki şekilde çarpmanız yeterlidir:

Bu öğeyi elde etmenin sadece bir yolu olduğuna dikkat edin; Ancak, şimdi a2b2 formunun terimini ararsak ne olur? "A" ve "b" gerçek sayılar olduğundan ve dolayısıyla değişmeli yasa geçerli olduğundan, bu terimi elde etmenin bir yolunu bulmalıyız, oklarla gösterildiği gibi üyelerle çarpmaktır.

Tüm bu işlemleri yapmak genellikle biraz sıkıcıdır, ancak "a" terimini, dört faktörden oluşan iki "a" yöntemini kaç şekilde seçebileceğimizi bilmek istediğimiz bir kombinasyon olarak görürsek, önceki örnek fikrini kullanabiliriz. Yani, aşağıdakilere sahibiz:

Böylece, (a + b) 4 ifadesinin son gelişiminde tam olarak 6a2b2'ye sahip olacağımızı biliyoruz. Diğer unsurlar için aynı fikri kullanarak şunları yapmanız gerekir:

Sonra daha önce elde edilen ifadeleri ekleriz ve şunları yapmalıyız:

“N” nin herhangi bir doğal sayı olduğu genel durum için resmi bir gösteridir.

gösteri

Gelişirken (a + b) n'nin terimlerinin akbn-k biçiminde olduğuna dikkat edin, burada k = 0, 1, ..., n. Önceki örnek fikrini kullanarak, «n» faktörlerinden «k» değişkenlerini «a» seçmenin bir yolu var:

Bu şekilde seçerek, otomatik olarak nk değişkenlerini «b» seçiyoruz. Bundan itibaren şöyle:

Örnekler

(A + b) 5 göz önüne alındığında, bunun gelişimi nasıl olurdu?

Binom teoremi ile yapmamız gereken:

Binom teoremi, tam gelişmeyi gerçekleştirmeden belirli bir terimin katsayısının ne olduğunu bilmek istediğimiz bir ifademiz varsa çok faydalıdır. Örnek olarak şu gizli bilgileri alabiliriz: (x + y) 16'nın geliştirilmesinde x7y9 katsayısı nedir?

Binom teoremi sayesinde, katsayı şu şekildedir:

Başka bir örnek şöyle olabilir: (3x-7y) 13'ün gelişiminde x5y8 katsayısı nedir?

İlk önce ifadeyi uygun bir şekilde yeniden yazarız; bu:

Sonra, binom teoremini kullanarak, istenen katsayının k = 5 olduğunda

Bu teoremin kullanımlarına bir başka örnek, aşağıda belirtilenler gibi bazı ortak kimliklerin gösterilmesidir.

Kimlik 1

"N" doğal bir sayıysa, şunları yapmalıyız:

Gösteri için, hem "a" hem de "b" nin 1 değerini aldığı binom teoremini kullanıyoruz. Sonra:

Bu şekilde ilk kimliği kanıtladık.

Kimlik 2

"N" doğal bir sayıysa, o zaman

Binom teoremi ile yapmamız gereken:

Başka bir gösteri

"N" ve "k" nin n using k ile uyumlu pozitif tamsayılar olduğunu söyleyen endüktif yöntemi ve pascal kimliğini kullanarak binom teoremi için farklı bir kanıt yapabiliriz.