Sentetik Bölünme: Yöntem ve Çözülmüş Alıştırmalar

Sentetik bölünme, bir polinom P (x) 'i d (x) = x - c formlarından birine ayırmanın basit bir yoludur. Polinomları bölmemize izin vermenin yanı sıra, herhangi bir c sayısında bir polinom P (x) değerlendirmemize de izin veriyor, bu sayede polinomun sıfır olup olmadığını kesin olarak söylüyor.

Bölünme algoritması sayesinde, iki sabit polinomumuz P (x) ve d (x) varsa, benzersiz polinomların q (x) ve r (x) olduğunu biliyoruz, öyle ki P (x) = q (x) ) d (x) + r (x), ki burada r (x) sıfırdır veya q (x) 'den küçüktür. Bu polinomlar sırasıyla bölüm ve kalıntı veya geri kalanlar olarak bilinir.

Polinomun d (x) x-c biçiminde olduğu durumlarda, sentetik bölünme bize q (x) ve r (x) 'nin kim olduğunu bulmamız için kısa bir yol sunar.

Sentetik bölme yöntemi

P (x) = a _n xn + a _n-1 xn-1 + ... + a ₁ x + a ₀ bölmek istediğimiz polinomu yd (x) = xc bölücü olsun. Sentetik bölünme yöntemiyle bölmek için şu şekilde devam ediyoruz:

1- P (x) katsayılarını ilk sıraya yazarız. Herhangi bir X gücü görünmezse, katsayısı olarak sıfırı koyarız.

2- İkinci satırda _n'nin soluna c yerleştiririz ve aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi bölme çizgileri çizeriz:

3- Öncü katsayısı üçüncü sıraya indiririz.

Bu ifadede b _n-1 = a _n

4- c'yi çarpımın _bn-1 katsayısı ile çarpıyoruz ve sonuç ikinci satırda yazılıyor, ancak sağa doğru bir sütun.

5- Önceki sonucu yazdığımız sütunu ve bu toplamın altına koyduğumuz sonucu ekleriz; yani, aynı sütunda, üçüncü satır.

Eklerken, _n-1 + c * b _n-1 sonucunu veriyoruz, bu kolaylık için b _n-2 adını vereceğiz

6- c ile önceki sonucu çarparak sonucu ikinci satırda sağına yazarız.

7- 5. kattaki adımı ₀ olana kadar tekrar ediyoruz.

8- cevabı yaz; yani bölüm ve kalıntı. Derece 1 dereceli bir polinomun derece 1 dereceli bir polinom arasında bölünmesini yaparken, ciddi derece derece -1 olan bir bölümümüz var.

Bölüm polinomunun katsayıları, kalan polinom veya bölümün geri kalanı olacak olan sonuncusu dışındaki üçüncü sıranın sayısı olacaktır.

Çözülmüş egzersizler

Örnek 1

Sentetik bölünme yöntemiyle aşağıdaki bölümü yapın:

(x5 + 3x4-7x3 + 2x2-8x + 1): (x + 1).

çözüm

Önce temettü katsayılarını şöyle yazıyoruz:

Daha sonra, ikinci satırda, bölme çizgileri ile birlikte sol tarafa c yazarız. Bu örnekte c = -1.

Ana katsayıyı düşürdük (bu durumda b _n-1 = 1) ve -1 ile çarptık.

Sonuçlarınızı, aşağıda gösterildiği gibi, ikinci satırdaki sağa yazarız:

İkinci sütuna sayıları ekledik:

2'yi -1 ile çarpıyoruz ve sonucu üçüncü sütuna, ikinci satıra yazıyoruz:

Üçüncü sütuna ekledik:

Son sütuna ulaşana kadar benzer şekilde ilerleriz:

Böylece, elde edilen son sayının bölümün geri kalanı olduğunu ve kalan sayının bölüm polinomunun katsayıları olduğunu belirledik. Bu şöyle yazılmıştır:

Sonuçların doğru olduğunu doğrulamak istiyorsak, aşağıdaki denklemin yerine getirildiğini doğrulamak yeterlidir:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Bu şekilde elde edilen sonucun doğru olduğunu doğrulayabiliriz.

Örnek 2

Bir sonraki polinom bölümünü sentetik bölünme yöntemiyle yapın

(7x3-x + 2): (x + 2)

çözüm

Bu durumda, x2 terimi görünmüyor, bu yüzden onun katsayısı olarak 0 yazacağız. Böylece, polinom 7x3 + 0x2-x + 2 olarak kalacaktır.

Katsayılarını arka arkaya yazıyoruz, bu:

İkinci satırda C = -2 değerini sol tarafa yazıyoruz ve bölme çizgilerini çiziyoruz.

Öndeki katsayısı b _n-1 = 7 düşürür ve sonucu ikinci satırda sağa yazarak -2 ile çarparız.

Son terime ulaşana kadar, daha önce açıklandığı şekilde ekler ve devam ederiz:

Bu durumda, gerisi r (x) = - 52'dir ve elde edilen bölüm q (x) = 7x2-14x + 27'dir.

Örnek 3

Sentetik bölünmeyi kullanmanın başka bir yolu da şudur: Diyelim ki n derece bir Polinom P (x) derecemiz var ve bunu x = c olarak değerlendirirken neyin değerli olduğunu bilmek istiyoruz.

Bölünme algoritması ile P (x) polinomunu şu şekilde yazabiliriz:

Söz konusu ifadede q (x) ve r (x) sırasıyla bölüm ve geri kalanıdır. Şimdi, eğer d (x) = x- c ise, polinomdaki c değerini değerlendirirken aşağıdakileri buluruz:

Bu yüzden sadece ar (x) 'yi bulmak zorundayız ve bunu sentetik bölünme sayesinde yapabiliriz.

Örneğin, P (x) = x7-9x6 + 19x5 + 12x4-3x3 + 19x2-37x-37 polinomuna sahibiz ve bunu x = 5 olarak değerlendirirken değerinin ne olduğunu bilmek istiyoruz. Bunun için P (x) arasındaki bölünmeyi gerçekleştiriyoruz. yd (x) = sentetik bölme yöntemiyle x -5:

İşlemler tamamlandıktan sonra, P (x) 'i aşağıdaki şekilde yazabileceğimizi biliyoruz:

P (x) = (x6-4x5 -x4 + 7x3 + 32x2 + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Bu nedenle, değerlendirirken şunları yapmak zorundayız:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Gördüğümüz gibi, polinomun değerini bulmak için c'yi x ile değiştirmek yerine c olarak değerlendirirken bir polinomun değerini bulmak için sentetik bölünme kullanmak mümkündür.

P (5) 'i geleneksel şekilde değerlendirmeyi denersek, sıkıcı olma eğilimi gösteren bazı hesaplamalar yapmamız gerekir.

Örnek 4

Polinomlar için bölünme algoritması, karmaşık katsayılara sahip polinomlar için de yerine getirilmiştir ve sonuç olarak, sentetik bölünme yönteminin de söz konusu polinomlar için de çalıştığına sahibiz. Sonra bir örnek göreceğiz.

Sentetik bölme yöntemini z = 1 + 2i'nin polinomun sıfır olduğunu (P) (x) = x3 + (1 + i) x2 - (1 + 2i) x + (15 + 5i); yani, p (x) 'nin d (x) = x - z arasındaki bölümünün geri kalanı sıfıra eşittir.

Daha önce olduğu gibi ilerliyoruz: ilk satırda P (x) katsayılarını yazıyoruz, sonra ikinci sırada z yazıyoruz ve bölme çizgilerini çiziyoruz.