Homothety: Özellikleri, Tipleri ve Örnekleri

Homothety, merkez (O) adı verilen sabit bir noktadan, mesafelerin ortak bir faktörle çarpıldığı düzlemde geometrik bir değişimdir. Bu şekilde, her P noktası, dönüşümün bir başka P noktası olan 'ürününe karşılık gelir ve bunlar, O noktası ile hizalanır.

Daha sonra, homothety, dönüştürülen noktaların homotik olarak adlandırıldığı ve geometrik bir nokta ile birbirine paralel bölümlerle hizalandığı, iki geometrik şekil arasındaki bir yazışmadır.

homotecia

Homothety, uyumlu bir görüntüye sahip olmayan bir dönüşümdür, çünkü bir rakamdan orijinal rakamdan daha büyük veya daha küçük boyutta bir veya daha fazla rakam elde edilecektir; Başka bir deyişle, homothety bir çokgeni başka bir benzerine dönüştürür.

Homotitenin yerine getirilmesi için, noktadan noktaya ve düzden düze karşılık gelmeleri gerekir; böylece homolog nokta çiftleri, eşcinselliğin merkezi olan üçüncü bir sabit nokta ile hizalanır.

Aynı şekilde, onları birleştiren çizgi çiftleri paralel olmalıdır. Bu tür bölümler arasındaki ilişki, homothety oranı (k); Homothety'nin şu şekilde tanımlanabileceği bir şekilde:

Bu tür bir dönüşümü yapmak için, homoselliğin merkezi olacak keyfi bir nokta seçerek başlıyoruz.

Bu noktadan itibaren, dönüştürülecek olan her bir köşe noktası için çizgi parçaları çizilir. Yeni figürün çoğaltıldığı ölçek, homothety (k) oranı ile verilmektedir.

özellikleri

Homothety'nin temel özelliklerinden biri, homothety (k) nedeniyle, tüm homothetic şekillerin benzer olmasıdır. Diğer üstün özellikler arasında şunlar yer almaktadır:

- Homothety'nin (O) merkezi tek çifte noktadır ve bu kendi başına gelir; yani, değişmez.

- Merkezden geçen çizgiler kendilerini dönüştürürler (çiftler), ama onu oluşturan noktalar çift değildir.

- Merkezden geçmeyen çizgiler paralel çizgilere dönüşür; Bu şekilde, homothety'nin açıları aynı kalır.

- Bir segmentin merkez O ve k oranı homothety ile görüntüsü, ona paralel bir segmenttir ve k katının uzunluğuna sahiptir. Örneğin, aşağıdaki resimde görüldüğü gibi, homotetik bir AB segmenti bir başka A'B segmenti ile sonuçlanacaktır, böylece AB A'B '' ye paralel olacak ve k şöyle olacaktır:

- Homotetik açılar uyumludur; yani, aynı ölçüme sahipler. Bu nedenle, bir açının görüntüsü aynı genliğe sahip bir açıdır.

Öte yandan, homothety, oranının (k) değerine bağlı olarak değişmektedir ve aşağıdaki durumlar ortaya çıkabilir:

- k = 1 sabiti varsa, tüm noktalar sabittir, çünkü kendilerini dönüştürürler. Böylece, homotetik figür orijinalle çakışır ve dönüşüme kimlik işlevi denir.

- Eğer k ≠ 1 ise, tek sabit nokta evliliğin merkezi olacaktır (O).

- Eğer k = -1 ise, homothi merkezi bir simetri haline gelir (C); yani, C'nin etrafında bir dönüş 180o'luk bir açıyla gerçekleşir.

- k> 1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu orijinalin boyutundan büyük olacaktır.

- 0 <k <1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu orijinalin boyutundan daha küçük olacaktır.

- -1 <k <0 ise, dönüştürülen şeklin boyutu daha küçük olacak ve orijinaline göre döndürülecektir.

- Eğer k <-1 ise, dönüştürülen şeklin boyutu daha büyük olacak ve orijinaline göre döndürülecektir.

tip

Homothety, oranının (k) değerine bağlı olarak iki türe ayrılabilir:

Doğrudan homothety

Eğer k> 0 sabiti varsa olur; yani, homotetik noktalar merkeze göre aynı tarafta:

Doğrudan homothetic rakamlar arasındaki orantılılık veya benzerlik oranı faktörü her zaman pozitif olacaktır.

Ters homotetik

Eğer k <0 sabitse olur; Başka bir deyişle, ilk noktalar ve onların homotik noktaları, eşcinselliğin merkezine göre ters uçlarda bulunur, ancak ona göredir. Merkez iki rakam arasında olacak:

Homotetik ters rakamlar arasındaki orantılılık veya benzerlik oranı faktörü her zaman negatif olacaktır.

bileşim

Orijinaline eşit bir rakam elde edilinceye kadar art arda birkaç hareket yapıldığında, hareketlerin bir bileşimi oluşur. Birkaç hareketin bileşimi de bir harekettir.

İki homothecias arasındaki kompozisyon yeni bir homothecia ile sonuçlanır; yani, merkezin iki orijinal dönüşümün merkezi ile aynı hizada olacağı ve (k) oranı iki nedenin ürünü olduğu homotetik bir ürünümüz var.

Böylece, H1 (O1, k1) ve H2 (O2, k2) iki homotifinin bileşiminde, oranlarının çarpımı: k1 x k2 = 1, k3 = bir homothety ile sonuçlanacaktır. k 1 x k 2 Bu yeni evliliğin merkezi (O 3 ) O 1 O 2 hattında yer alacaktır.

Homothety, düz ve geri dönüşü olmayan bir değişime karşılık gelir; aynı merkez ve orana sahip fakat farklı bir işaret ile iki ana evre uygulanırsa, orijinal şekil elde edilecektir.

Örnekler

İlk örnek

A noktasından 5 cm uzakta bulunan ve oranı k = 0.7 olan verilen merkez poligona (O) bir homothety uygulayın.

çözüm

Herhangi bir nokta, Homothety'nin merkezi olarak seçilir ve bu ışıntan, şeklin köşeleriyle çizilir:

Merkezden (O) A noktasına uzaklık OA = 5'tir; Bununla, k = 0.7 olduğunu bilerek homotetik noktalardan birinin (OA ') mesafesini belirleyebilirsiniz:

OA '= kx OA.

OA '= 0.7 x 5 = 3.5.

İşlem her köşe için yapılabilir veya iki poligonun paralel tarafları olduğunu hatırlatarak homotik poligonu da çizebilirsiniz:

Son olarak, dönüşüm şöyle görünür:

İkinci örnek

Verilen merkez poligonuna (O), C noktasından 8, 5 cm uzakta bulunan ve y oranı k = -2 olana bir homothety uygulayın.

çözüm

Merkezden (O) C noktasına uzaklık OC = 8.5'tir; Bu verilerle, k = -2 olduğunu bilerek, homotetik noktalardan birinin (OC ') mesafesini belirlemek mümkündür:

OC '= kx OC.

OC '= -2 x 8.5 = -17

Dönüştürülen poligonun köşelerinin parçalarını çizdikten sonra, başlangıç ​​noktalarının ve bunların homotetiklerinin merkeze göre zıt uçlarda konumlandırıldığını belirledik: