İzometrik Dönüşümler: Kompozisyon, Çeşitleri ve Örnekleri

İzometrik dönüşümler, şeklini veya boyutunu değiştirmeyen belirli bir şeklin konum veya oryantasyonundaki değişikliklerdir. Bu dönüşümler üç türe ayrılır: çeviri, döndürme ve yansıtma (izometri). Genel olarak, geometrik dönüşümler verilen başka birinden yeni bir figür oluşturmanıza izin verir.

Geometrik bir şekle dönüşme, bir şekilde bir değişime maruz kaldığı anlamına gelir; yani, değiştirildi. Orijinalin algısına ve düzlemdeki benzerine göre geometrik dönüşümler üç tipe ayrılabilir: izometrik, izomorfik ve anamorfik.

özellikleri

İzometrik dönüşümler, bölümlerin büyüklükleri ve orijinal ile dönüştürülen şekil arasındaki açılar korunduğunda meydana gelir.

Bu dönüşüm türünde, ne şekil ne de şekil büyüklüğü değişmez (uyuşurlar), bu sadece oryantasyondaki veya yöndeki şeklin konum değişikliğidir. Bu şekilde, ilk ve son rakamlar benzer ve geometrik olarak uyumlu olacaktır.

İzometri eşitliği ifade eder; Başka bir deyişle, geometrik şekiller aynı şekil ve büyüklükte ise izometrik olacaktır.

İzometrik dönüşümlerde gözlemlenebilecek tek şey, düzlemdeki konum değişikliğidir, şeklin başlangıç ​​pozisyonundan bitiş pozisyonuna geçtiği için sağlam bir hareket oluşur. Bu rakam orijinaline homolog (benzer) olarak adlandırılır.

İzometrik bir dönüşümü sınıflandıran üç tür hareket vardır: çeviri, dönüş ve yansıma veya simetri.

tip

Çeviriye göre

Düzlemsel bir çizgide uçağın tüm noktalarını belli bir yöne ve mesafeye hareket ettirmeye izin veren izometrelerdir.

Bir şekil çeviri ile dönüştürüldüğünde, ilk pozisyona göre yönünü değiştirmez, iç ölçülerini, açılarının ve taraflarının ölçülerini kaybetmez. Bu yer değiştirme türü üç parametre ile tanımlanır:

- Yatay, dikey veya eğik olabilen bir yön.

- Sola, sağa, yukarı veya aşağı olabilir.

- Başlangıç ​​pozisyonundan hareket eden herhangi bir noktanın sonuna kadar olan uzunluk ya da büyüklük.

Tercümeyle gerçekleşen izometrik dönüşümün gerçekleştirilmesi için aşağıdaki koşulları sağlamalıdır:

- Şekil daima boyutlarını hem doğrusal hem de köşeli olarak tutmalıdır.

- Şekil yatay eksene göre konumunu değiştirmez; yani, açısı asla değişmez.

- Yapılan çevirilerin sayısı ne olursa olsun, çeviriler daima bir arada özetlenecektir.

Merkezin O noktası olduğu bir düzlemde, (0, 0) koordinatlarıyla, çeviri, başlangıç ​​noktasının yer değiştirmesini gösteren bir vektör T (a, b) ile tanımlanır. Bu:

P (x, y) + T (a, b) = P '(x + a, y + b)

Örneğin, P (8, -2) koordinat noktasına bir T (-4, 7) çevirisi uygulanırsa, şunu elde ederiz:

P (8, -2) + T (-4, 7) = P '[(8 + (-4)), ((-2) + 7)] = P' (4, 5)

Aşağıdaki resimde (solda), C noktasının D noktasıyla nasıl çakıştığı görülebilir, dikey yönde, yön yukarı doğru ve mesafe veya büyüklük CD'si 8 metre idi. Sağ resimde, üçgenin çevirisi gözlenmiştir:

Dönerek

Onlar, figürün bir düzlemin tüm noktalarını döndürmesini sağlayan izometrelerdir. Her nokta, sabit bir açıya ve sabit bir noktaya (dönüş merkezi) sahip olan bir yayın ardından döner.

Diğer bir deyişle, tüm döndürme, dönme merkezi ve dönme açısı ile tanımlanacaktır. Bir rakam döndürülerek dönüştürüldüğünde, açılarının ve yanlarının ölçüsünü tutar.

Dönüş belirli bir yönde gerçekleşir, dönüş saat yönünün tersine döndüğünde (saatin elinin tersine döndüğünün aksine) pozitif, dönüş saat yönünündeyken negatiftir.

Eğer bir nokta (x, y) orijine göre döndürülürse - yani, dönme merkezi (0, 0) -, 90o - 360o arasında bir açı ile noktaların koordinatları şöyle olacaktır:

Rotasyonun orijin merkezinde merkez olmaması durumunda, orijinli olan merkezi merkeze döndüren rakamı döndürebilmek için koordinat sisteminin orijini verilen orijine aktarılmalıdır.

Örneğin, P (-5.2) noktasına orijin etrafında ve pozitif yönde 90 derece dönme verilirse, yeni koordinatları (-2.5) olacaktır.

Yansıma veya simetriyle

Onlar uçağın noktalarını ve rakamlarını ters çeviren dönüşümlerdir. Bu yatırım bir noktaya göre olabilir veya bir çizgi için de olabilir.

Başka bir deyişle, bu dönüşüm türünde, orijinal şeklin her noktası, homolog şeklin bir başka noktası (görüntüsü) ile ilişkilidir, öyle ki, nokta ve görüntüsü, simetri ekseni adı verilen bir çizgiyle aynı mesafede olacak şekildedir. .

Böylece, şeklin sol kısmı, şeklini veya boyutlarını değiştirmeden sağ kısmın bir yansıması olacaktır. Simetri, aşağıdaki resimde görüldüğü gibi, ters yönde de olsa bir figürü diğerine dönüştürür:

Simetri, bazı bitkilerde (ayçiçeği), hayvanlarda (tavus kuşu) ve doğal olaylarda (kar taneleri) olduğu gibi birçok yönden mevcuttur. İnsan onu bir güzellik faktörü olarak kabul edilen yüzüne yansıtır. Yansıma veya simetri iki tipte olabilir:

Merkez simetrisi

Bu, şeklin yönelimini değiştirebileceği bir noktaya göre gerçekleşen dönüşümdür. Orijinal şeklin ve görüntünün her noktası, simetri merkezi olarak adlandırılan O noktasından aynı uzaklıkta. Simetri şu durumlarda merkezidir:

- Hem nokta hem de görüntü ve merkez aynı çizgiye aittir.

- Merkezin 180 ° döndürülmesiyle, orijinaline eşit bir rakam elde edilir.

- İlk şeklin vuruşları oluşturulan şeklin vuruşlarıyla paraleldir.

- Şeklin algısı değişmez, daima saat yönünde olacaktır.

Bu dönüşüm, ilk şeklin her bir noktasının görüntünün başka bir noktası ile ilişkili olduğu ve bunlar simetri ekseninden aynı mesafede olduğu simetri eksenine göre gerçekleşir. Simetri şu durumlarda ekseneldir:

- Görüntüyle bir noktaya bağlanan parça, simetri eksenine diktir.

- Rakamlar dönüş yönünde veya saat yönünde yön değiştirir.

- Figürü merkezi bir çizgiyle (simetri ekseni) bölerken, elde edilen yarıyalardan biri yarıya diğerlerinden tamamen farklı olur.

bileşim

İzometrik dönüşümlerin bir bileşimi, aynı şekilde izometrik dönüşümlerin art arda uygulanmasını belirtir.

Bir çevirinin bileşimi

İki çevirinin bileşimi başka bir çeviriyle sonuçlanır. Düzlemde yapıldığında, yatay eksende (x) sadece o eksenin koordinatları değişir, dikey eksenin (y) koordinatları aynı kalır ve bunun tersi de geçerlidir.

Bir rotasyonun bileşimi

Aynı merkeze sahip iki dönüşün bileşimi, aynı merkeze sahip ve genliği iki dönüşün genliğinin toplamı olacak olan başka bir dönüşle sonuçlanır.

Merkezlerin dönüşleri farklı merkezlere sahipse, benzer noktaların iki bölümünün bisector kesimi dönüş merkezi olacaktır.

Bir simetri bileşimi

Bu durumda, kompozisyon nasıl uygulandığına bağlı olacaktır:

- Aynı simetri iki kez uygulanırsa, sonuç bir kimlik olacaktır.

- İki paralel eksene göre iki simetri uygulanırsa, sonuç bir çeviri olacaktır ve yer değiştirmesi bu eksenlerin iki katıdır:

- O noktasında kesilmiş iki eksene göre iki simetri uygulanırsa, O noktasında merkeze sahip bir dönüş elde edilir ve açısı eksenlerin oluşturduğu açının iki katı olur: