Green teoremi, gösteri, uygulamalar ve çözülmüş alıştırmalar

Green teoremi, çizgi integrallerini çift alanlı veya yüzey integralleri ile ilişkilendirmek için kullanılan bir hesaplama yöntemidir. İlgili fonksiyonlar vektör alanları olarak gösterilmeli ve C yörüngesi içerisinde tanımlanmalıdır.

Örneğin, bir çizgi integrali ifadesi çözmek için çok karmaşık olabilir; Bununla birlikte, Green teoremini uygulayarak, çift katlı integraller oldukça basit hale gelir. Yörüngenin pozitif yönüne saygı göstermek her zaman önemlidir, bu saat yönünün tersine yönü ifade eder.

Green teoremi, vektör fonksiyonunun projeksiyonunun xy düzleminde gerçekleştirildiği Stokes teoreminin özel bir halidir.

tanım

Yeşil Teoreminin ifadesi şöyledir:

Birinci terimde, skaler ürünün "C" vektörü "F" vektörü ile "r" vektörünün arasında "C" yolu ile tanımlanan çizgi gözlenir.

C: Vektör fonksiyonunun o düzlem için tanımlandığı sürece yansıtılacağı tanımlı yoldur.

F: Bileşenlerinin her birinin böyle bir işlevle tanımlandığı vektör işlevi (f, g).

C: İntegralin tanımlandığı R bölgesine bir teğet vektördür. Bu durumda, bu vektörün bir diferansiyeliyle çalışırız.

İkinci terimde, Green'in teoreminin geliştiğini görüyoruz, burada R bölgesinde tanımlanmış çift katlı integrali gözlemlediğimizde sırasıyla gyf'nin kısmi türevlerinin ax ve y'ye göre olduğunu görüyoruz. İki boyutlu diferansiyellerin ürününden daha fazla olmayan bir alan farkı için (dx.dy).

Bu teorem, uzay ve yüzey integralleri için mükemmel bir şekilde uygulanabilir.

gösteri

Green teoremini basit bir şekilde göstermek için bu görev 2 bölüme ayrılacak. Öncelikle, F vektör fonksiyonunun sadece Verso i'de tanımı olduğunu varsayacağız . Bununla birlikte, j'ye karşılık gelen "g" işlevi sıfıra eşit olacaktır.

F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0

r = x i + y j

dr = dx i + dy j

Öncelikle, yörüngenin ilk önce a'dan b'ye ve sonra b'den a'ya giden 2 bölümde sektörize edildiği C yörüngesi üzerindeki integralleri geliştirdik.

Tanımlanmış bir integral için hesaplamanın temel teoreminin tanımı uygulanır.

İfade tek bir integralde yeniden sıralanır, negatif için ortak bir faktör haline gelir ve faktörlerin sırası tersine çevrilir.

Bu ifadeyi ayrıntılı olarak gözlemlerken, ilkel işlev kriterlerini uygularken, birinin f'ye ait türev ifadesinin y'ye göre bir entegrali varlığında olduğu ortaya çıkar. Parametrelerde değerlendirildi

Şimdi, F vektör fonksiyonunun sadece g (x, y) j için tanımlanmış olduğunu varsaymak yeterlidir. Önceki davaya benzer bir şekilde nerede çalışacaksınız:

Bitirmek için, 2 gösterimi yapın ve vektör fonksiyonunun her iki versör için de değerleri aldığı durumlarda katılın. Bu şekilde tek boyutlu bir yörünge olarak tanımlandıktan ve düşünüldükten sonra çizgi integrali olarak gösterilir, düzlem ve mekan için tamamen geliştirilebilir.

F = f (x, y) i + g (x, y) j

Bu şekilde, Green teoremi kanıtlanmıştır.

uygulamaları

Green teoreminin uygulamaları, fizik ve matematik dallarında yaygındır. Bunlar, hat entegrasyonuna verilebilecek herhangi bir uygulamayı veya kullanımı kapsar.

Bir F kuvveti ile bir C yörüngesi üzerinden yapılan mekanik iş, Green teoremi ile bir alanın çifte integrali olarak ifade edilen bir çizgi integrali ile geliştirilebilir.

Farklı uygulama noktalarında dış kuvvetlere maruz kalan birçok cismin atalet momentleri, Green teoremi ile geliştirilebilecek hat integrallerine de cevap verir.

Bunun, kullanılan malzemelerin direnç çalışmalarında birçok işlevi vardır. Dış elemanların çeşitli unsurların geliştirilmesinden önce ölçülebildiği ve dikkate alınabileceği durumlarda.

Genel olarak, Green teoremi, bir yörüngeye göre bir bölgeye göre vektör fonksiyonlarının tanımlandığı alanların anlaşılmasını ve tanımlanmasını kolaylaştırır.

tarih

1828'de İngiliz matematikçi George Green tarafından yazılmış elektrik ve manyetizma teorilerine matematiksel analiz çalışması yapıldı. Analizin fizikteki potansiyel fonksiyonlar kavramı, Green'in fonksiyonları ve kendi kendine başlık teoreminin uygulamaları gibi fizikteki uygulamalarında oldukça belirleyici bölümleri araştırıyor.

George Green, öğrenci kariyerine 40 yaşında resmileşti ve şu ana kadar kendi kendini yetiştiren bir matematikçi olarak görev yaptı. Cambridge Üniversitesi'nde okuduktan sonra araştırmasına devam ederek, bugün hala yürürlükte olan akustik, optik ve hidrodinamik alanlarında katkılar yapmaktadır.

Diğer teoremlerle ilişki

Green teoremi özel bir durumdur ve hesaplama dalındaki diğer iki önemli teoremden doğar. Bunlar Kelvin-Stokes teoremi ve ayrışma veya Gauss Ostrogradski teoremidir.

Bu teoremlerin herhangi birinden başlayarak Green teoremine ulaşılabilir. Bu tür gösterileri geliştirmek için bazı tanımlar ve öneriler gereklidir.

eğitim

- Aşağıdaki alıştırmada, bir bölge integralini bir bölge R'ye göre çift katlı bir entegrale nasıl dönüştürebilirsiniz.

Orijinal ifade şudur:

İlgili işlevlerin afyg alındığı yerlerde

f (x, y) = x3 g (x, y) = yx

df / dy = 0 dg / dx = y

Green teoremini uygularken entegrasyon sınırlarını tanımlamanın eşsiz bir yolu yoktur. Ancak tanımlandıktan sonra integrallerin daha kolay olabileceği yollar vardır. Entegrasyon sınırlarının optimizasyonunun dikkat çekici olmasını sağlayacak şekilde.

İntegralleri nerede çözeceğiz?

Bu değer kübik birimlerde vektör fonksiyonunun altındaki bölgeye ve C ile tanımlanan üçgen bölgeye karşılık gelir.

Green yöntemini gerçekleştirmeden çizgi integrali durumunda, bölgenin her bir bölümündeki işlevleri parametreleştirmek gerekecekti. Yani, çözünürlük için 3 parametreli integral gerçekleştirin. Bu, Robert Green'in teoremiyle birlikte hesabına getirdiği etkinliğin kanıtıdır.