Çarpımcı İlke: Sayma Teknikleri ve Örnekler

Çarpımsal ilke, elemanlarını listelemek için gerekli olmadan çözümü bulmak için sayma problemlerini çözmek için kullanılan bir tekniktir. Kombinasyonel analizin temel prensibi olarak da bilinir; Bir olayın meydana gelme şeklini belirlemek için ardışık çarpma işlemine dayanır.

Bu ilke, eğer bir karar (d ₁ ) n bir şekilde alınabilirse ve başka bir karar (d ₂ ) m bir şekilde alınabilirse, kararların d1 ve d2 olabileceği toplam yol sayısının eşit olacağını belirtir n _* m'den çarpmak için. İlkeye göre, her karar birbiri ardına verilir: yol sayısı = N _{1 *} N ₂ ... _* N _x yol.

Örnekler

Örnek 1

Paula arkadaşları ile sinemaya gitmeyi ve giyeceği kıyafetleri seçmeyi 3 bluz ve 2 eteği ayırmayı planlıyor. Paula kaç kez giyinebilir?

çözüm

Bu durumda, Paula iki karar vermelidir:

d ₁ = 3 bluz arasında seçim yap = n

d ₂ = 2 etek arasından seçim yap = m

Bu şekilde Paula'nın giyinme kararları veya farklı giyinme kararları yoktur.

n _* m = 3 _* 2 = 6 karar.

Çarpma prensibi, her birinin sınırlı sayıda gerçekleşebilmesi için olası tüm sonuçları birleştiren bir diyagram olan ağaç şeması tekniğinden gelir.

Örnek 2

Mario çok susadı, bu yüzden bir meyve suyu almak için fırına gitti. Luis ona cevap verir ve iki büyüklüğüne sahip olduğunu söyler: büyük ve küçük; ve dört lezzet: elma, portakal, limon ve üzüm. Mario suyu kaç şekilde seçebilir?

çözüm

Diyagramda, Mario'nun suyu seçmek için 8 farklı yolu olduğu ve çarpımcı prensipte olduğu gibi, bu sonucun n _* m çarpımı ile elde edildiği görülebilir. Tek fark, bu şemada Mario'nun suyu nasıl seçtiğinin nasıl olduğunu bilmenizdir.

Öte yandan, olası sonuçların sayısı çok fazla olduğunda, çarpımsal prensibi kullanmak daha pratiktir.

Sayma teknikleri

Sayma teknikleri, doğrudan sayım yapmak için kullanılan yöntemlerdir ve bu nedenle belirli bir kümenin öğelerinin sahip olabileceği muhtemel düzenleme sayısını bilir. Bu teknikler birkaç ilkeye dayanmaktadır:

İlave prensibi

Bu ilke, eğer iki m ve n olayı aynı anda gerçekleşemezse, ilk veya ikinci olayın meydana gelebileceği yol sayısının m + n'in toplamı olacağını belirtir:

Form sayısı = m + n ... + x farklı form.

örnek

Antonio seyahate çıkmak istiyor ancak hangi varış noktasına karar vermiyor; Güney Turizm Acentası'nda size New York ya da Las Vegas'a seyahat etmeyi teşvik ederken, Doğu Turizm Acentesi Fransa, İtalya ya da İspanya'ya seyahat etmenizi tavsiye ediyor. Antonio size kaç farklı seyahat seçeneği sunuyor?

çözüm

Güney Turizm Ajansı ile Antonio'nun 2 alternatifi var (New York veya Las Vegas), Doğu Turizm Ajansı ile 3 seçeneği var (Fransa, İtalya veya İspanya). Farklı alternatiflerin sayısı:

Alternatiflerin sayısı = m + n = 2 + 3 = 5 alternatif.

Permütasyon prensibi

Bu, elemanlarla yapılabilecek tüm muhtemel düzenlemelerin sayımını kolaylaştırmak için, bir kümeyi oluşturan elemanların tümünü veya bir kısmını özellikle sipariş etmekle ilgilidir.

Aynı anda alınmış, farklı elemanların permütasyon sayısı şu şekildedir:

_n P _n = n!

örnek

Dört arkadaş bir fotoğraf çekmek ve kaç farklı form sipariş edilebileceğini bilmek istiyor.

çözüm

Fotoğraf çekmek için 4 kişinin yerleştirilebileceği olası tüm yolları bilmek istersiniz. Yani, yapmanız gereken:

₄ P ₄ = 4! = 4 _* 3 _* 2 _* 1 = 24 farklı form.

Mevcut n elementlerin permütasyon sayısı, r elementler tarafından oluşturulan bir setin kısımları tarafından alınırsa, aşağıdaki şekilde temsil edilir:

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

örnek

Bir sınıf odasında 10 pozisyon var. 4 öğrenci sınıfa katılırsa, öğrenciler pozisyonları kaç farklı şekilde işgal edebilir?

çözüm

Toplam sandalye seti sayısı 10'dur ve bunlardan sadece 4'ü kullanılacaktır, verilen formül permütasyon sayısını belirlemek için uygulanır:

_n P _r = n! ÷ (n - r)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ (10 - 4)!

₁₀ P ₄ = 10! ÷ 6!

₁₀ P ₄ = 10 _* 9 _* 8 _* 7 _* 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 - 6 _* 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 = Konumları doldurmanın 5040 yolu.

Bir setin mevcut elemanlarından bazılarının tekrarlandığı durumlar vardır (bunlar aynıdır). Tüm elemanları aynı anda alan düzenleme sayısını hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:

_n P _r = n! ₁ ! _* n ₂ ! ... n _r !

örnek

"Kurt" kelimesinden dört harften kaç kelime oluşabilir?

çözüm

Bu durumda, ikisi tam olarak aynı olan 4 elemente (harf) sahibiz. Verilen formülü uygulayarak kaç farklı kelimenin olduğunu biliyoruz:

_n P _r = n! ₁ ! _* n ₂ ! ... n _r !

₄ P _{2, 1, 1} = 4! ÷ 2! _* 1! _* 1!

₄ P _{2, 1, 1} = (4 _* 3 _* 2 _* 1) ÷ (2 _* 1) _* 1 _* 1

₄ P _{2, 1, 1} = 24 ± 2 = 12 farklı kelime.

Kombinasyon prensibi

Belirli bir düzen olmadan kümeyi oluşturan öğelerin tümünü veya bir kısmını düzeltmekle ilgilidir. Örneğin, bir XYZ diziniz varsa, diğerleri arasında ZXY, YZX, ZYX dizileriyle aynı olacaktır; Bunun nedeni, aynı sırada olmamasına rağmen, her düzenlemenin öğelerinin aynı olmasıdır.

Setin (n) bazı elementleri (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

_n C _{r =} n! ÷ (n - r)! R!

örnek

Bir mağazada 5 farklı çeşit çikolata satıyorlar. 4 farklı çikolata seçebilirsin?

çözüm

Bu durumda mağazada satılan 5 tipten 4 çikolata seçmek zorundasınız. Seçildikleri sıra önemli değil ve ayrıca bir çikolata türü ikiden fazla seçilebilir. Formülü uygulayarak şunları yapmanız gerekir:

_n C _r = n! ÷ (n - r)! R!

₅ C ₄ = 5! ÷ (5 - 4)! 4!

₅ C ₄ = 5! ÷ (1)! 4!

₅ C ₄ = 5 _* 4 _* 3 _* 2 _* 1 - 4 _* 3 _* 2 _* 1

₅ C ₄ = 120 ÷ 24 = 4 çikolata seçmek için 5 farklı yol.

Setin (n) bütün elemanları (r) alındığında, kombinasyon prensibi aşağıdaki formülle verilir:

_n C _{n =} n!

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

14 üyeli bir beyzbol takımınız var. Bir oyuna kaç şekilde 5 pozisyon atanabilir?

çözüm

Set 14 elementten oluşuyor ve 5 özel pozisyon atamak istiyorsun; yani, bu sipariş önemlidir. Permütasyon formülü, n'nin mevcut elemanlarının, r tarafından oluşturulan bir kümenin bölümleri tarafından alındığı durumlarda uygulanır.

_n P _{r =} n! ÷ (n - r)!

Burada n = 14 ve r = 5'dir. Formülde ikame edilir:

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (14 - 5)!

₁₄ P ₅ = 14! ÷ (9)!

₁₄ P ₅ = 240 oyunun 9 pozisyonunu atamanın 240 yolu.