Milet Teoremi Masalları: Birinci, İkinci ve Örnekler

Milet Masallarının birinci ve ikinci teoremi, diğer benzer (birinci teorem) veya çevreden (ikinci teorem) üçgenlerin belirlenmesine dayanır. Çeşitli alanlarda çok faydalı oldular. Örneğin, birinci teorem, karmaşık ölçüm cihazları olmadığında büyük yapıları ölçmek için çok faydalı oldu.

Milet'in Thales'ı, bu iki teoremin (bazı metinlerde Thales olarak da yazdıkları) ve faydalı uygulamalarının öne çıktığı geometriye büyük katkılar sağlayan bir Rum matematikçiydi. Bu sonuçlar tarih boyunca kullanılmış ve çok çeşitli geometrik problemlerin çözülmesine izin vermiştir.

Masalların ilk teoremi

Masalların ilk teoremi, diğer şeylerin yanı sıra, daha önce bilinen bir diğerine benzer bir üçgen inşa etmeyi sağlayan çok kullanışlı bir araçtır. Bundan teoremin çoklu bağlamlarda uygulanabilen çeşitli versiyonları türetilir.

İfadenizi vermeden önce, bazı üçgenlerin benzerlik kavramlarını hatırlayın. Temel olarak, eğer açıları uyumlu ise iki üçgen benzerdir (aynı ölçüme sahiptirler). Bu, eğer iki üçgen benzerse, karşılık gelen taraflarının (veya homologlarının) orantılı olması gerçeğine yol açar.

Thales'in ilk teoremi, verilen bir üçgende düz bir çizginin kenarlarından birine paralel çekilmesi durumunda, elde edilen yeni üçgenin ilk üçgene benzeyeceğini belirtir.

Aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi oluşan açılar arasında da bir ilişki vardır.

uygulama

Çoklu uygulamaları arasında özel bir ilgi alanı göze çarpıyor ve antik çağda, Thales'ın yaşadığı ve modern ölçüm cihazlarının bulunmadığı zamanlarda büyük yapılardaki ölçümlerin yapıldığı yöntemlerden biri ile ilgili. Şimdi varlar.

Thales’in Mısır’daki en yüksek piramidi ölçmeyi başardığı söyleniyor, Cheops. Bunun için Thales, güneş ışınlarının yansımasının yere paralel çizgiler oluşturan yere değdiğini düşündü. Bu varsayım altında, toprağa dikey olarak bir sopa ya da baston sapladı.

Daha sonra, biri piramitin gölgesinin uzunluğu (kolayca hesaplanabilir) ve piramidin yüksekliği (bilinmeyen) ve diğeri gölgenin uzunlukları ile oluşan iki üçgen arasındaki benzerliği kullandı. ve çubuğun yüksekliği (ayrıca kolayca hesaplanabilir).

Bu uzunluklar arasındaki orantılılığı kullanarak, piramidin yüksekliğini temizleyebilir ve bilirsiniz.

Her ne kadar bu ölçüm yöntemi, yüksekliğin doğruluğuna bağlı olarak önemli bir yaklaşım hatası verebilse ve güneş ışınlarının paralelliğine bağlı (ki bu da kesin bir zamana bağlıdır), bunun çok zekice bir fikir olduğunu kabul etmeliyiz. ve bu süre için iyi bir ölçüm alternatifi sağladı.

Örnekler

Her durumda x'in değerini bulun:

çözüm

Burada iki paralel çizgiyle kesilmiş iki çizgimiz var. İlk Thales Teoremi'ne göre, kendi taraflarının orantılı olduğu söylenir. Özellikle:

çözüm

Burada, bunlardan biri diğerinin yanlarından birine paralel bir parçadan oluşan iki üçgenimiz var (tam olarak x uzunluğu). Tales'in ilk teoremine göre:

İkinci Masallar Teoremi

Thales'in ikinci teoremi, aynı noktadaki bir çevreye yazılan dik bir üçgeni belirler.

Bir çevreye yazılan bir üçgen, köşeleri çevrede olan ve bu nedenle içinde bulunan bir üçgendir.

Spesifik olarak, Thales'in ikinci teoremi aşağıdakileri belirtir: bir merkez O ve çap AC olan bir daire verildiğinde, çevrenin her bir B noktası (A ve C dışında) dik açılı bir ABC ABC üçgenini belirler.

Gerekçe olarak, hem OA hem de OB ve OC'nin çevrenin yarıçapına karşılık geldiğine dikkat edin; bu nedenle, onların ölçümleri aynıdır. Oradan OAB ve OCB üçgenlerinin ikizkenar olduğu, ki buradaki

Bir üçgenin açılarının toplamının 180º'ye eşit olduğu bilinmektedir. Bunu ABC üçgeni ile kullanmak zorundasınız:

2b + 2a = 180º.

Aynı şekilde, biz b + a = 90º ve b + a = var.

Thales ikinci teoreminin sağladığı üçgenin, hipotenusu çevresinin çapına eşit olduğu kesin olduğunu unutmayın. Bu nedenle, tamamen üçgenin noktalarını içeren yarım daire tarafından belirlenir; Bu durumda, üst yarım daire.

Ayrıca, Thales ikinci teoremi vasıtasıyla elde edilen dik üçgende, hipotenüsün OA ve OC (yarıçapı) ile iki eşit parçaya bölündüğünü unutmayın. Buna karşılık, bu ölçü B üçgeninin ortancasına tekabül eden OB segmentine (aynı zamanda yarıçapı) eşittir.

Başka bir deyişle, B köşesine karşılık gelen ABC sağ üçgeninin ortanca uzunluğu hipotenüsün yarısı ile tamamen belirlenir. Üçgenin medyanının köşelerden birinden diğer tarafın orta noktasına kadar olan bir kesim olduğunu hatırlayın; Bu durumda, BO segmenti.

Sınırlı çevre

Thales'in ikinci teoremini görmenin bir başka yolu, dik bir üçgene çevrilmiş bir dairedir.

Genel olarak, bir çokgene çevrelenen bir daire, izlenmesi mümkün olduğunda, her bir köşesinden geçen çevreden oluşur.

Sağ bir üçgen verilen ikinci Thales teoremini kullanarak, hipotenüsün ve çevresinin (çevrenin merkezi) hipotenüsün orta noktasına eşit bir yarıçapa eşit bir yarıçap ile, her zaman buna sınırlanmış bir daire oluşturabiliriz.

uygulama

Thales ikinci teoreminin ve belki de en çok kullanılanının çok önemli bir uygulaması, bunun dışında bilinen bir P noktası ile belirli bir çevreye teğet çizgileri bulmaktır.

Bir çevre (aşağıdaki şekilde mavi renkle çizilen) ve bir dış nokta P verildiğinde, P'den geçen çevreye teğet iki çizgi olduğunu göz önünde bulundurun. T ve T 'teğet noktaları, çevrenin yarıçapı ve Veya merkez.

Bir çemberin merkezinden onun bir keskinlik noktasına kadar uzanan bölümün bu teğet çizgiye dik olduğu bilinmektedir. Ardından, OTP açısı düzdür.

Thales'in ilk teoreminde ve farklı versiyonlarında daha önce gördüğümüzden, OTP üçgeni başka bir çevrede (kırmızı) yazmanın mümkün olduğunu görüyoruz.

Benzer şekilde, OT'P üçgenin önceki aynı çevreye yazılabildiği de elde edilmiştir.

Thales'in ikinci teoremi ile, bu yeni çevrenin çapının tam olarak OTP üçgeninin hipotenüsü olduğunu (OT'P üçgeninin hipotenüsüne eşittir) ve merkezin bu hipotenüsün orta noktası olduğunu da öğrendik.

Yeni çevrenin merkezini hesaplamak için, başlangıçtaki çevrenin (yani bildiğimiz) merkez ile M - orta noktası arasındaki P noktasını (bildiğimiz) hesaplamak yeterlidir. Sonra yarıçap, bu nokta M ve P arasındaki mesafe olacaktır.

Yarıçap ve kırmızı dairenin merkezi ile, hatırladığımız Kartezyen denklemini bulabiliriz, (xh) 2 + (yk) 2 = c2 ile verilir, burada c yarıçap ve nokta (h, k) çevrenin merkezi.

Şimdi her iki çevrenin denklemlerini bilerek, bunların oluşturduğu denklem sistemini çözerek ve böylece T ve T 'teğetlik noktalarını elde ederek kesişebiliriz. Son olarak, istenen teğet çizgileri bilmek, T ve P'den ve T 've P'den geçen çizgilerin denklemini bulmak için yeterlidir.

örnek

AC, orta O ve yarıçapı 1 cm çapında bir çevre düşünün. B, çevrede AB = AC olacak şekilde bir nokta olsun. AB ne kadar ölçüyor?

çözüm

İkinci Thales teoremi ile ABC üçgeninin bir dikdörtgen olduğu ve hipotenüsün bu durumda 2 cm (yarıçapı 1 cm) olan çapa karşılık geldiği sonucuna vardık. Sonra Pisagor teoremi ile yapmamız gereken: