Sayma teknikleri: ana teknikler, uygulamalar ve örnekler

Sayma teknikleri, bir küme veya birkaç nesne kümesi içinde olası sayıdaki düzenlemeleri saymak için bir dizi olasılık yöntemidir. Bunlar, çok sayıda nesne ve / veya değişken olması nedeniyle hesapları manuel olarak karmaşıklaştırırken kullanılır.

Örneğin, bu sorunun çözümü çok basit: Patronunuzun son bir saat içinde gelen son ürünleri saymanızı istediğini hayal edin. Bu durumda gidip ürünleri tek tek sayabilirsiniz.

Ancak, sorunun şu olduğunu hayal edin: Patronunuz, aynı saatteki 5 üründen oluşan grupların son bir saat içinde gelenlerle oluşturulabileceğini saymanızı ister. Bu durumda, hesaplama karmaşıklaşır. Sözde sayma teknikleri bu tür durumlar için kullanılır.

Bu teknikler çoktur, fakat en önemlisi çarpımsal ve katkı maddesi olan iki temel ilkeye bölünmüştür; permütasyonlar ve kombinasyonlar.

Çarpımcı prensip

uygulamaları

Çarpımsal prensip, katkı maddesi ile birlikte, sayma tekniklerinin çalışmasını anlamak için temeldir. Çarpıcı olması durumunda, aşağıdakilerden oluşur:

İlk basamağın N1 formlarından, N2'nin ikinci basamağından ve Nr formlarının "r" adımından yapılabildiği belirli sayıda basamak (toplam "r" olarak işaretlenmiş) içeren bir aktivite düşünün. Bu durumda, aktivite bu işlemden kaynaklanan form sayısından yapılabilir: N1 x N2 x .......... x Nr formları

Bu nedenle bu ilkeye çarpımsal denir ve bu faaliyeti gerçekleştirmek için gereken adımların her birinin birbiri ardına gerçekleştirilmesi gerektiği anlamına gelir.

örnek

Bir okul inşa etmek isteyen birini hayal edelim. Bunu yapmak için, binanın tabanının çimento veya beton olmak üzere iki şekilde inşa edilebileceğini düşünün. Duvarlara gelince kerpiç, çimento veya tuğladan yapılabilirler.

Çatıya gelince çimento veya galvanizli sacdan yapılabilir. Son olarak, son resim sadece bir şekilde yapılabilir. Ortaya çıkan soru şudur: Okulun kaç yolu var?

İlk olarak, taban, duvarlar, çatı ve resim olacak basamak sayısını göz önünde bulunduruyoruz. Toplamda 4 adım, yani r = 4.

N listesi aşağıdadır:

N1 = tabanı oluşturmanın yolları = 2

N2 = duvarları inşa etmenin yolları = 3

N3 = çatı yapmanın yolları = 2

N4 = boya yapmanın yolları = 1

Bu nedenle, olası formların sayısı yukarıda açıklanan formülle hesaplanır:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 okul yapmanın yolu.

Katkı prensibi

uygulamaları

Bu ilke çok basittir ve aynı faaliyeti gerçekleştirmek için çeşitli alternatifler olması durumunda, olası formların tüm alternatifleri gerçekleştirmenin farklı olası yöntemlerinin toplamından oluşması gerçeğinden oluşur.

Başka bir deyişle, ilk alternatifin M formunda, ikincisi N formunda ve sonuncunun W formunda yapılabileceği üç alternatifli bir aktivite yapmak istiyorsak, aktivite şu şekilde yapılabilir: M + N + ......... + W formları.

örnek

Bu sefer bir tenis raketi almak isteyen birini hayal edin. Bunun için seçim yapabileceğiniz üç marka var: Wilson, Babolat veya Head.

Dükkana gittiğinde Wilson raketinin iki farklı boyda, L2 veya L3'ün dört farklı modelde alınabileceğini ve gergin veya telsiz olabileceğini görüyor.

Babolat raketi ise üç tutamağa (L1, L2 ve L3) sahiptir, iki farklı model vardır ve ayrıca gerilebilir veya telsiz de olabilir.

Diğer taraftan, Head raketi, iki farklı modelde ve sadece çekmeden sadece bir kulpla, L2 ile. Soru şudur: Bu kişinin raketini satın alması için kaç yol var?

M = Wilson raketi seçmenin yol sayısı

N = Babolat raketi seçmenin yol sayısı

W = Kafa Raketini seçme yollarının sayısı

Çarpan prensibini yaparız:

M = 2 x 4 x 2 = 16 form

N = 3 x 2 x 2 = 12 form

W = 1 x 2 x 1 = 2 formları

M + N + W = 16 + 12 + 2 = Raket seçmenin 30 yolu.

Çarpıcı prensibi ve katkı maddesini ne zaman kullanacağınızı bilmek için, sadece aktivitenin gerçekleştirilecek bir dizi adım olup olmadığını ve birkaç alternatif varsa, katkı maddesini kontrol etmeniz gerekir.

permütasyon

uygulamaları

Bir permütasyonun ne olduğunu anlamak için, onları farklılaştırmak ve ne zaman kullanacaklarını bilmek için bir kombinasyonun ne olduğunu açıklamak önemlidir.

Bir kombinasyon, her birinin işgal ettiği pozisyon ile ilgilenmediğimiz unsurların bir düzenlemesi olacaktır.

Öte yandan, bir permütasyon, her birinin işgal ettiği pozisyon ile ilgilendiğimiz unsurların bir düzenlemesi olacaktır.

Farkı daha iyi anlamak için bir örnek verelim.

örnek

35 öğrenciyle ve aşağıdaki durumlarda bir sınıf hayal edin:

Öğretmen, öğrencilerinden üçünün, sınıfı temiz tutmasına ya da ihtiyaç duyduğunda diğer öğrencilere materyaller teslim etmesine yardımcı olmasını ister.
Öğretmen sınıf delegelerini (bir başkan, bir asistan ve bir finansçı) atamak istiyor.

Çözüm şöyle olurdu:

Juan, María ve Lucía’nın oy vererek sınıfları temizlemek veya malzemeleri teslim etmek için seçildiğini hayal edin. Açıkçası, olası üç öğrenci arasında üç kişiden oluşan diğer gruplar oluşmuş olabilir.

Kendimize aşağıdakileri sormalıyız: öğrencilerin seçiminde her birinin işgal edeceği düzen veya pozisyon önemli mi?

Bunu düşünürsek, grubun her iki görevle de aynı şekilde ilgileneceği için gerçekten önemli olmadığını görüyoruz. Bu durumda, bu bir kombinasyondur, çünkü elementlerin pozisyonuyla ilgilenmiyoruz.

Şimdi John’un cumhurbaşkanı, asistan olarak Maria’nın ve finansal olarak Lucia’yı seçtiğini hayal edin.

Bu durumda, sipariş önemli mi? Cevap evet, çünkü unsurları değiştirirsek sonuç değişir. Yani, Juan’ı cumhurbaşkanı olarak koymak yerine, onu asistan olarak ve Maria’yı cumhurbaşkanı olarak koyarsak, nihai sonuç değişecektir. Bu durumda bir permütasyondur.

Fark anlaşıldığında, permütasyon ve kombinasyon formüllerini elde edeceğiz. Bununla birlikte, öncelikle “n!” Terimini tanımlamamız gerekir, çünkü farklı formüllerde kullanılacaktır.

n! = 1 - n arası ürün.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... .. x n

Gerçek sayılarla kullanma:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 10 = 3, 628, 800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ......... x 5 = 120

Permütasyonların formülü aşağıdaki gibi olacaktır:

nPr = n! / (nr)!

Bununla, sıranın önemli ve n öğelerinin farklı olduğu düzenlemeleri öğrenebiliriz.