Analitik Geometrinin Tarihsel Arkaplanı
Analitik geometrinin tarihsel geçmişi, Pierre de Fermat ve René Descartes'in temel fikirlerini tanımladıkları on yedinci yüzyıla kadar uzanıyor. Buluşu, cebirin modernleşmesini ve François Viète'nin cebirsel gösterimini takip etti.
Bu alanın temelleri Yunanistan'da, özellikle de matematik alanında büyük etkisi olan Apollonius ve Euclid'in çalışmalarındadır.
Analitik geometrinin ardındaki temel fikir, iki değişken arasındaki ilişkinin, biri diğerinin bir işlevi olduğu, bir eğri tanımlamasıdır.
Bu fikir ilk defa Pierre de Fermat tarafından geliştirilmiştir. Bu temel çerçeve sayesinde, Isaac Newton ve Gottfried Leibniz hesaplamayı geliştirdi.
Fransız filozof Descartes, görünüşe göre kendi başına geometriye cebirsel bir yaklaşım da keşfetti. Descartes'in geometri üzerine çalışması , Metodu Üzerine Söylem adlı ünlü kitabında yer almaktadır .
Bu kitapta düz kenarların pusula ve geometrik yapılarının toplama, çıkarma, çarpma ve karekökleri içerdiğine dikkat çekilmiştir.
Analitik geometri, matematikteki iki önemli geleneğin birleşimini temsil eder: form çalışması olarak geometri ve miktar veya sayılarla ilgili olan aritmetik ve cebir. Bu nedenle, analitik geometri, koordinat sistemlerini kullanarak geometri alanının incelenmesidir.
tarih
Analitik geometrinin geçmişi
Geometri ve cebir arasındaki ilişki matematik tarihi boyunca gelişmiştir, ancak geometri daha önce bir olgunluğa ulaşmıştır.
Mesela, Yunan matematikçi Öklid, klasik kitabı The Elements'ta birçok sonuç düzenleyebildi.
Ancak, Pics adlı antik Yunan Apollonius'udur ve Conics adlı kitabında analitik geometrinin gelişimini anlatıyordu. Bir koniyi bir koni ile bir düzlem arasındaki kesişme olarak tanımladı.
Öklid sonuçlarını benzer üçgenlerde ve çember kurutmada kullanarak, koniklerin herhangi bir "P" noktasından iki dik çizgiye, konikin ana ekseni ve eksenin son noktasındaki teğet noktalarına verilen bir ilişki buldu. Apollonius bu ilişkiyi koniklerin temel özelliklerini belirlemek için kullandı.
Daha sonra matematikteki koordinat sistemlerinin gelişmesi ancak İslami ve Hintli matematikçiler sayesinde cebirin olgunlaşmasından sonra ortaya çıkmıştır.
Rönesans geometrisi cebirsel problemlerin çözümünü haklı göstermek için kullanılana kadar, fakat cebirin geometriye katkıda bulunabileceği fazla bir şey yoktu.
Bu durum, cebirsel ilişkiler için uygun bir gösterimin benimsenmesi ve şimdi mümkün olan bir matematiksel işlev kavramının geliştirilmesiyle değişecektir.
XVI. Yüzyıl
On altıncı yüzyılın sonunda, Fransız matematikçi François Viète, bilinen ve bilinmeyen sayısal miktarları temsil etmek için mektuplar kullanarak ilk sistematik cebirsel notasyonu tanıttı.
Ayrıca cebirsel ifadeleri çalışmak ve cebirsel denklemleri çözmek için güçlü genel yöntemler geliştirdi.
Bu sayede matematikçiler problemleri çözmek için geometrik şekillere ve geometrik sezgilere tamamen bağımlı değildiler.
Hatta bazı matematikçiler, uzunlukların ve karelerin doğrusal değişkenlerinin alanlara karşılık geldiğine göre, kübik hacimlere tekabül eden standart geometrik düşünme şeklinden vazgeçmeye başladı.
Bu adımı atan ilk kişi, filozof ve matematikçi René Descartes ve avukat ve matematikçi Pierre de Fermat oldu.
Analitik geometrinin temeli
Descartes ve Fermat, 1630'larda bağımsız bir şekilde, konum araştırması için Viète cebirini benimseyerek analitik geometri kurdu.
Bu matematikçiler cebirin geometride büyük bir güç aracı olduğunu anladılar ve şimdi analitik geometri olarak bilinen şeyi icat ettiler.
Yaptıkları bir ilerleme, sabit yerine değişken mesafeleri temsil etmek için harfleri kullanarak Viète'nin üstesinden gelmekti.
Descartes, geometrik olarak tanımlanmış eğrileri incelemek için denklemleri kullandı ve polinom denklemlerinin genel cebirsel-grafiksel eğrilerinin "x" ve "y" derecelerinde dikkate alınması gerektiğini vurguladı.
Fermat, "x" ve "ve" koordinatları arasındaki ilişkinin bir eğri belirlediğini vurguladı.
Bu fikirleri kullanarak Apollonius'un cebirsel terimlerle ilgili ifadelerini yeniden yapılandırdı ve kaybedilen bazı eserlerini restore etti.
Fermat, "x" ve "y" deki ikinci dereceden herhangi bir denklemin konik bölümlerden birinin standart formuna yerleştirilebileceğini belirtti. Buna rağmen, Fermat konuyla ilgili çalışmalarını hiçbir zaman yayınlamadı.
Arşimed'in yalnızca büyük zorluklarla çözebileceği ve izole edilmiş durumlar için Fermat ve Descartes hızlıca ve çok sayıda eğri (şimdi cebirsel eğri olarak bilinir) için çözebildiği gelişmeler sayesinde.
Ancak onun fikirleri ancak on yedinci yüzyılın ikinci yarısında diğer matematikçilerin çabalarıyla genel kabul gördü.
Frans van Schooten, Florimond de Beaune ve Johan de Witt adlı matematikçiler, Decartes'in çalışmalarını genişletti ve önemli ek materyaller ekledi.
etki
İngiltere'de, John Wallis analitik geometriyi popülerleştirdi. Konileri tanımlamak ve özelliklerini türetmek için denklemleri kullandı. Negatif koordinatları serbestçe kullanmasına rağmen, uçağı dört çeyreğe bölmek için iki eğik eksen kullanan Isaac Newton'du.
Newton ve Alman Gottfried Leibniz, on yedinci yüzyılın sonunda, hesaplamanın gücünü bağımsız olarak göstererek matematiği değiştirdi.
Newton, herhangi bir küpün (veya herhangi bir üçüncü derece cebirsel eğrinin) uygun koordinat eksenleri için üç veya dört standart denklem içerdiğini iddia ettiğinde analitik yöntemlerin geometride önemini ve hesaptaki rolünü gösterdi. Newton'un yardımıyla İskoç matematikçi John Stirling 1717'de test etti.
Üç ve daha fazla boyutun analitik geometrisi
Hem Descartes hem de Fermat, uzayda eğrileri ve yüzeyleri incelemek için üç koordinat kullanılmasını önermesine rağmen, üç boyutlu analitik geometri 1730'a kadar yavaşça gelişti.
Matematikçiler Euler, Hermann ve Clairaut, silindirler, koniler ve devrim yüzeyleri için genel denklemler üretti.
Örneğin, Euler genel kuadratik yüzeyi dönüştürmek için uzaydaki çeviriler için denklemleri kullandı, böylece ana eksenleri koordinat eksenleriyle çakıştı.
Euler, Joseph-Louis Lagrange ve Gaspard Monge, analitik geometriyi sentetik (analitik olmayan) geometriden bağımsız hale getirmiştir.
