Diferansiyel Kullanılarak Yaklaşımların Hesaplanması

Matematikteki bir yaklaşım, bir şeyin kesin değeri olmayan bir sayıdır, fakat o kadar yakındır ki, o kesin değer kadar faydalı olduğu kabul edilir.

Matematikte yaklaşımlar yapıldığında, istenen şeyin kesin değerini bilmek manuel olarak zor olduğu için (ya da bazen imkansız).

Yaklaşımlarla çalışırken ana araç, bir fonksiyonun diferansiyelliğidir.

F (x) ile gösterilen bir f fonksiyonunun farklılığı, bağımsız değişkendeki değişiklik ile çarpılan f fonksiyonunun türevinden başka bir şey değildir, yani, Δf (x) = f '(x) * Δx.

Bazen Δf ve Δx yerine df ve dx kullanılır.

Diferansiyel yaklaşımlar

Diferansiyel aracılığıyla bir yaklaşım oluşturmak için uygulanan formül sadece bir fonksiyonun türevinin bir limit olarak tanımlanmasından kaynaklanır.

Bu formül şöyle verilir:

f (x) ≈ f (x0) + f '(x0) * (x-x0) = f (x0) + f' (x0) * Δx.

Burada Δx = x-x0, dolayısıyla x = x0 + Δx olduğu anlaşılmaktadır. Bunu kullanarak formül şu şekilde yazılabilir:

f (x0 + Δx) ≈ f (x0) + f '(x0) * Δx.

"X0" in keyfi bir değer olmadığını, f (x0) 'ın kolayca bilindiği bir değer olduğunu unutmayın; Ek olarak, "f (x)" sadece yaklaştırmak istediğimiz değerdir.

Daha iyi yaklaşımlar var mı?

Cevap evet. Birincisi, “doğrusal yaklaşım” olarak adlandırılan yaklaşımların en basitidir.

Daha iyi kalite yaklaşımları için (hata daha küçüktür) "Taylor Polinomları" adı verilen daha fazla türevli polinomların yanı sıra, diğerleri arasında Newton-Raphson metodu gibi diğer sayısal metotlar kullanılır.

strateji

İzlenecek strateji:

- Yaklaştırmayı gerçekleştirmek için uygun bir f işlevini seçin ve "x" değeri, f (x) değerinin yaklaştırılacak değer olmasını sağlar.

- f (x0) 'ın hesaplanması kolay olacak şekilde, "x"' e yakın bir "x0" değeri seçin.

- Δx = x-x0 değerini hesaplayın.

- Fonksiyonun türevini ve f '(x0) değerini hesaplayın.

- Formül içindeki verileri değiştirin.

Çözülmüş yaklaşım alıştırmaları

Devam eden şeyde, diferansiyel kullanarak yaklaşımların yapıldığı bir dizi alıştırma vardır.

İlk egzersiz

Yaklaşık √3.

çözüm

Stratejinin ardından uygun bir işlev seçilmelidir. Bu durumda, seçilecek işlevin f (x) = √xy olması ve yaklaşık değerin f (3) = √3 olması gerektiği görülebilir.

Şimdi f (x0) 'ın hesaplanması kolay olacak şekilde "3"' e yakın bir "x0" değeri seçmeliyiz. "X0 = 2" seçimi, "x0" öğesinin "3" değerine yakın olduğu ancak f (x0) = f (2) = √2 değerinin hesaplanmasının kolay olmadığı anlamına gelir.

Uygun olan «x0» değeri «4», çünkü «4» «3» e yakın ve f (x0) = f (4) = √4 = 2.

"X = 3" ve "x0 = 4" ise, Δx = 3-4 = -1 olur. Şimdi f türevini hesaplamaya devam ediyoruz. Yani, f '(x) = 1/2 * √x, yani f' (4) = 1 / 2√4 = 1/2 * 2 = 1/4.

Aldığınız formüldeki tüm değerleri değiştirme:

√3 = f (3) ≈2 + (1/4) * (- 1) = 2 - 1/4 = 7/4 = 1.75.

Hesap makinesi kullanılırsa, √3√1.73205 ... elde edilir. Bu önceki sonucun gerçek değerin iyi bir tahmini olduğunu gösterir.

İkinci alıştırma

Yaklaşık √10.

çözüm

Daha önce olduğu gibi, f (x) = √xy işlevini seçiyoruz ve bu durumda x = 10.

Bu fırsatta seçilmesi gereken x0 değeri «x0 = 9» 'dır. Daha sonra Δx = 10-9 = 1, f (9) = 3 ve f '(9) = 1 / 2√9 = 1/2 * 3 = 1/6.

Formülde değerlendirirken bunu alırsınız

√10 = f (10) 5 + 1 * 1/6 = 3 + 1/6 = 19/6 = 3.1666 ...

Bir hesap makinesi kullanarak √10 ≈ 3, 1622776 ... elde edersiniz ... Burada daha önce iyi bir yaklaşım elde edildiğini de görebilirsiniz.

Üçüncü egzersiz

Yaklaşık ³√10, burada ³√ küp kökünü gösterir.

çözüm

Açıkçası, bu alıştırmada kullanılması gereken işlev f (x) = ³√xy ve "x" değeri "10" olmalıdır.

"10" değerine yakın bir değer, öyle ki küp kökü bilinir "x0 = 8". Öyleyse Δx = 10-8 = 2 ve f (x0) = f (8) = 2 olur. Ayrıca f '(x) = 1/3 * ³√x² ve sonuçta f' (8) = 1/3 * ²8² = 1/3 * ³√64 = 1/3 * 4 = 1/12.

Formül içindeki verileri değiştirerek, şöyle elde edilir:

³√10 = f (10) ≈2 + (1/12) * 2 = 2 + 1/6 = 13/6 = 2.166666 ....

Hesap makinesi ³√10 ≈ 2, 15443469 olduğunu söylüyor ... Bu nedenle, bulunan yaklaşık değer iyidir.

Dördüncü egzersiz

Yaklaşık ln (1.3), burada "ln" doğal logaritma işlevini gösterir.

çözüm

İlk olarak, f (x) = ln (x) işlevi seçilir ve “x” değeri 1.3'tür. Şimdi, logaritmik fonksiyon hakkında biraz bilgi sahibi olduğumuzda, ln (1) = 0 olduğunu ve ayrıca “1” in “1.3” e yakın olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, «x0 = 1» seçiyoruz ve böylece Δx = 1.3 - 1 = 0.3.

Öte yandan f '(x) = 1 / x, böylece f' (1) = 1 olur. Verilen formülde değerlendirirken:

1 (1.3) = f (1.3) -0 + 1 * 0.3 = 0.3.

Bir hesap makinesi kullanırken, ln (1.3) ≈ 0.262364 ... 'ı yapmanız gerekir. Yani yapılan yaklaşım iyidir.