Eşitliğin Özellikleri

Eşitlik özellikleri, sayılar veya değişkenler gibi iki matematiksel nesne arasındaki ilişkiyi ifade eder. Her zaman bu iki nesnenin arasına giren «=» sembolü ile gösterilir. Bu ifade, iki matematik nesnesinin aynı nesneyi temsil ettiğini ortaya koymak için kullanılır; Başka bir deyişle, bu iki nesne aynı şeydir.

Eşitliği kullanmanın önemsiz olduğu durumlar vardır. Örneğin, 2 = 2 olduğu açıktır. Ancak, değişkenler söz konusu olduğunda, artık önemsiz değildir ve belirli kullanımları vardır. Örneğin, y = x değerine sahipseniz ve diğer yandan x = 7 ise, y = 7 değerine de varabilirsiniz.

Önceki örnek, kısaca görüleceği gibi eşitlik özelliklerinden birine dayanmaktadır. Bu özellikler matematiğin çok önemli bir bölümünü oluşturan denklemleri (değişkenleri içeren eşitlikler) çözmek için vazgeçilmezdir.

Eşitliğin özellikleri nelerdir?

Yansıtıcı özellik

Yansıtıcı özellik, eşitlik durumunda, her sayının kendisine eşit olduğunu ve herhangi bir gerçek sayı b için b = b olarak ifade edildiğini belirtir.

Özel bir eşitlik durumunda bu özellik açık görünmektedir, ancak sayılar arasındaki başka bir ilişkide de değildir. Başka bir deyişle, gerçek sayıların her ilişkisi bu özelliği yerine getirmez. Örneğin, böyle bir ilişki durumu "daha az" (<); hiçbir sayı kendisinden daha az değildir.

Simetrik özellik

Eşitlik simetrik özelliği, eğer a = b, sonra b = a diyor. Değişkenlerde hangi sıra kullanılırsa kullanılsın, bu eşitlik ilişkisi ile korunacaktır.

Ekleme durumunda, bu özelliğin belirli bir benzetmesi değişmeli özellik ile gözlenebilir. Örneğin, bu özellik nedeniyle y = 4 veya 4 = y yazmak eşdeğerdir.

Geçiş özelliği

Eşitlikteki geçiş özelliği, eğer a = b ve b = c, o zaman a = c demektir. Örneğin, 2 + 7 = 9 ve 9 = 6 + 3; bu nedenle, geçiş özelliği sayesinde 2 + 7 = 6 + 3 olur.

Basit bir uygulama şudur: Julian'ın 14 yaşında olduğunu ve Mario'nun Rosa ile aynı yaşta olduğunu varsayalım. Rosa, Julian ile aynı yaştaysa, Mario kaç yaşında?

Bu senaryonun arkasında geçişli özellik iki kez kullanılır. Matematiksel olarak şöyle yorumlanır: "bir" Mario yaşı, "b" Rosa'nın yaşı ve "c" Julian'ın yaşı. B = c ve c = 14 olduğu bilinmektedir.

Geçiş özelliği için b = 14; yani, Rosa 14 yaşında. A = b ve b = 14 olduğundan, geçiş özelliğini tekrar kullanarak, a = 14; yani, Mario’nun yaşı 14 yaşında.

Tek tip özellik

Tekdüze özellik, bir eşitliğin her iki tarafının da aynı miktarda eklenmesi veya çarpılması durumunda eşitliğin korunmasıdır. Örneğin, 2 = 2 ise, 2 + 3 = 2 + 3, ki açık, o zaman 5 = 5. Bu özellik bir denklem çözme konusunda daha fazla işe yarar.

Örneğin, x-2 = 1 denklemini çözmenizin istendiğini varsayalım. Bir denklem çözmenin, belirli bir sayıya veya önceden belirlenmiş bir değişkene dayanarak ilgili değişkeni (veya değişkenleri) açıkça belirlemekten oluştuğunu hatırlamakta fayda vardır.

X-2 = 1 denklemine dönersek, yapılması gereken açıkça x değerinin ne kadar olduğunu bulmaktır. Bunun için değişken temizlenmelidir.

Yanlışlıkla, bu durumda, 2 numaralı negatif olduğu için, eşitliğin diğer tarafına olumlu bir işaret ile geçtiği öğretildi. Ancak bu şekilde söylemek doğru değildir.

Temel olarak, aşağıda göreceğimiz gibi tek tip özelliği uygulamaktır. Fikir "x" yi temizlemektir; yani, denklemin bir tarafında yalnız bırakın. Kongre ile genellikle sol tarafta kalır.

Bu amaçla, "ortadan kaldırmak" istediğiniz sayı -2'dir. Bunu yapmanın yolu 2 ekleyecekti, çünkü -2 + 2 = 0 ve x + 0 = 0. Bunu eşitliği değiştirmeden yapabilmek için diğer tarafa da aynı işlem uygulanmalıdır.

Bu, üniform özelliğin gerçekleşmesine izin verir: x-2 = 1 olduğundan, 2 sayısı eşitliğin her iki tarafına da eklenirse, üniform özellik aynı şeyin değişmediğini söyler. O zaman biz x-2 + 2 = 1 + 2 olur, ki bu da x = 3 demek. Bununla denklem çözülürdü.

Benzer şekilde, denklemi (1/5) y-1 = 9 çözmek istiyorsanız, homojen özelliği kullanarak aşağıdaki gibi devam edebilirsiniz:

Daha genel olarak, aşağıdaki ifadeler yapılabilir:

- Eğer ab = cb ise, o zaman a = c.

- Eğer xb = y ise, x = y + b.

- Eğer (1 / a) z = b ise, z = a ×

- (1 / c) a = (1 / c) b ise, o zaman a = b.

İptal özelliği

İptal etme özelliği, özellikle çıkarma ve bölme durumu göz önünde bulundurularak (sonunda, toplama ve çarpma işlemine karşılık gelen) özel bir tekdüze mülkiyet durumudur. Bu özellik bu durumu ayrı ele alır.

Örneğin, eğer 7 + 2 = 9 ise, 7 = 9-2. Veya 2y = 6 ise, y = 3 (her iki tarafta da ikiye bölerek).

Önceki duruma benzer şekilde, iptal özelliği aracılığıyla aşağıdaki ifadeler oluşturulabilir:

- Eğer a + b = c + b ise, o zaman a = c.

- Eğer x + b = y ise, x = yb.

- Eğer az = b ise, z = b / a.

- Eğer ca = cb ise, o zaman a = b.

Değiştirme özelliği

Bir matematiksel nesnenin değerini biliyorsak, ikame özelliği bu değerin herhangi bir denklem veya ifadede ikame edilebileceğini belirtir. Örneğin, eğer b = 5 ve a = bx ise, ikinci eşitlikteki "b" değerinin yerine geçmesi durumunda, bir = 5x değerine sahibiz.

Başka bir örnek şudur: "m", "n" 'yi böler ve "n", "m" yi bölerse, o zaman m = n olmalıdır.

Aslında, "m" nin "n" 'yi böldüğünü söylemek (ya da eşdeğer olarak, "m" nin "n" nin bir böleni olduğunu), m'nin bölünmesinin kesin olmadığı anlamına gelir; yani, "m" yi "n" ye bölerek ondalık bir sayı değil bir tam sayı elde edersiniz. Bu, m = k × n olacak şekilde bir "k" tamsayısı bulunduğunu söyleyerek ifade edilebilir.

"N", "m" yi de böldüğünden, o zaman n = p × m olacak şekilde bir "p" tamsayısı vardır. İkame özelliği için n = p × k × n olur ve bunun gerçekleşmesi için iki olasılık vardır: n = 0, bu durumda 0 = 0 kimliğine sahip oluruz; op × k = 1 olup, burada n = n kimliği olmalıdır.

Diyelim ki "n" sıfır değil. Sonra mutlaka p × k = 1; bu nedenle, p = 1 ve k = 1'dir. Yine ikame özelliği kullanılarak, m = k × n eşitliğinde k = 1 kullanılırken (veya eşdeğerde, n = p × m cinsinden p = 1) en sonunda, gösterilmek istenen olan m = n elde edildi.

Gücün eşitlik içinde mülkiyeti

Daha önce görüldüğü gibi, bir işlemin her iki eşitlik açısından bir toplam, çarpma, çıkarma veya bölme olarak yapılması durumunda, aynı şekilde bir eşitliği değiştirmeyen diğer işlemlerin de uygulanabileceği görülmüştür.

Kilit nokta her zaman eşitliğin her iki tarafında da yapmak ve işlemin gerçekleştirilebilmesi için önceden emin olmaktır. Güçlendirme durumu böyle; yani, bir denklemin iki tarafı da aynı güce yükseltilirse, yine de eşitliği vardır.

Örneğin, 3 = 3, sonra 32 = 32 (9 = 9). Genel olarak, "n" bir tamsayı verilirse, x = y ise, o zaman xn = yn.

Kökün bir eşitlik içindeki özelliği

Bu, belirli bir güçlenme durumu olup, güç, kare kökü temsil eden ½ gibi tam sayı olmayan rasyonel bir sayı olduğunda uygulanır. Bu özellik, aynı kökün bir eşitliğin her iki tarafına da uygulanması durumunda (mümkün olduğu sürece) eşitliğin korunduğunu belirtir.

Önceki durumdan farklı olarak, burada, uygulanacak kökün paritesine dikkat etmelisiniz, çünkü negatif bir sayının kök çiftinin iyi tanımlanmadığı iyi bilinmektedir.

Radikalin eşit olması durumunda sorun yok. Örneğin, eğer x3 = -8 ise, eşitlik olsa bile, her iki tarafa da kare kök uygulayamazsınız. Bununla birlikte, bir kübik kökü uygulayabilirseniz (ki, x'in değerini açıkça bilmek istiyorsanız daha da uygun olan), bunu elde etmek için, x = -2 olur.