Ayrık Matematik: Ne Verdikleri, Kümeler Teorisi

Ayrık matematik, doğal sayılar kümesini incelemekten sorumlu olan bir matematik alanına karşılık gelir; yani, elemanların ayrı ayrı sayılabildiği, sınırlı ve sonsuz sayılabilir sayılar kümesi.

Bu kümeler ayrık kümeler olarak bilinir; Bu kümelerin bir örneği tam sayılar, grafikler veya mantıksal ifadelerdir ve bunlar özellikle bilim veya hesaplamada bilimin farklı alanlarına uygulanır.

tanım

Kesikli matematikte süreçler sayılarla hesaplanabilir. Bu, ondalık sayıların kullanılmadığı ve bu nedenle, diğer alanlarda olduğu gibi yaklaşık değerlerin veya sınırların kullanılmadığı anlamına gelir. Örneğin, bilinmeyen bir kişi 5 veya 6'ya eşit olabilir, ancak hiçbir zaman 4.99 veya 5.9 olamaz.

Öte yandan, grafik gösterimlerinde değişkenler ayrık olacaktır ve resimde görüldüğü gibi, birer birer sayılan sonlu nokta kümesinden verilmiştir:

Ayrık matematik, farklı alanlarda uygulayabilmek için birleştirilip test edilebilecek kesin bir çalışma yapma ihtiyacından doğar.

Ayrık matematiğin kullanımı nedir?

Kesikli matematik çoklu alanlarda kullanılır. Bunlardan başlıcaları şunlardır:

kombinatoryal

Elemanların sipariş edilebileceği veya birleştirilebileceği ve sayılabileceği sonlu kümeleri inceleyin.

Ayrık dağılım teorisi

Numunelerin sayılabilir olduğu alanlarda meydana gelen, kesikli dağılımları yaklaşık olarak belirlemek için sürekli dağılımların kullanıldığı veya bunun tam tersi şekilde yapılan olayları inceleyin.

Bilgi teorisi

Örneğin analog sinyaller gibi verilerin tasarımı ve iletimi ve depolanması için kullanılan bilgilerin kodlanması anlamına gelir.

işlem

Kesikli matematik aracılığıyla problemler algoritmalar kullanılarak çözülür, hesaplanabilecekleri ve ne kadar zaman alacağı (karmaşıklık) incelenir.

Kesikli matematiğin bu alandaki önemi son yıllarda özellikle programlama dilleri ve yazılımlarının geliştirilmesi için artmıştır.

kriptografi

Güvenlik yapıları veya şifreleme yöntemleri oluşturmak için ayrık matematiğe dayanmaktadır. Bu uygulamanın bir örneği, bilgi içeren ayrı ayrı bitler gönderen şifrelerdir.

Çalışmada tamsayıların ve asal sayıların (sayı teorisi) özellikleri bu güvenlik yöntemlerini oluşturabilir veya tahrip edebilir.

mantık

Teoremleri ispatlamak veya örneğin yazılımı doğrulamak için genellikle sonlu bir küme oluşturan ayrık yapılar kullanılır.

Grafik teorisi

Aşağıdaki resimde gösterildiği gibi, bir tür grafik oluşturan düğümler ve çizgiler kullanarak mantıksal sorunların çözülmesine olanak tanır:

Cebirsel ifadeler ayrık olduğu için ayrık matematiğe yakından bağlı bir alandır. Bu sayede elektronik devreler, işlemciler, programlama (Boole cebri) ve veritabanları (ilişkisel cebir) geliştirilmiştir.

geometri

Düzlem kaplaması gibi geometrik nesnelerin birleştirici özelliklerini inceleyin. Öte yandan, hesaplama geometrisi algoritmalar uygulayarak geometrik problemler geliştirmeyi mümkün kılar.

Kümelerin Teorisi

Ayrık matematik kümelerinde (sonlu ve sonsuz sayılabilir) çalışmanın ana amacıdır. Kümeler teorisi, tüm sonsuz kümelerin aynı boyutta olduğunu gösteren George Cantor tarafından yayınlandı.

Bir küme, iyi tanımlanmış bir elemanlar grubudur (sayılar, şeyler, hayvanlar ve insanlar, diğerleri); yani, her bir elemanın bir kümeye ait olduğu ve örneğin ∈ A olarak ifade edildiği bir ilişki vardır.

Matematikte, belirli sayıları özelliklerine göre gruplayan farklı kümeler vardır. Yani, örneğin, var:

- Doğal sayılar kümesi N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... + ∞}.

- E = {-∞ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... + ∞} tamsayıları kümesi.

- Rasyonel sayıların alt kümesi Q * = {-∞ ..., - ¼, - ½, 0, ¼, ½, ... ∞}.

- Gerçek sayılar kümesi R = {-∞ ..., - ½, -1, 0, ½, 1, ... ∞}.

Setler büyük harfle yazılan alfabenin harfleriyle adlandırılır; Elementler küçük harflerle isimlendirilirken, parantezlerin içine ({}) ve virgülle (, ) ayrılır. Bunlar genellikle hesaplamanın yanı sıra Venn ve Caroll gibi diyagramlarla temsil edilir.

Sendika, kesişme, tamamlama, fark ve Kartezyen ürün gibi temel işlemlerle kümeler ve unsurları ait olma ilişkisine göre yönetilir.

Kesikli matematik alanında en çok çalışılan birkaç tür küme vardır:

Sonlu küme

Sınırlı sayıda öğeye sahip ve doğal sayıya karşılık gelen. Dolayısıyla, örneğin, A = {1, 2, 3, 4}, 4 öğeli sonlu bir kümedir.

Sonsuz muhasebe seti

Bir kümenin elemanları ile doğal sayılar arasında yazışmaların olduğu; Başka bir deyişle, bir elemanda bir elemanda tüm elemanlar sırayla listelenebilir.

Bu şekilde, her eleman doğal sayılar kümesinin her elemanına karşılık gelecektir. Örneğin:

Z = {... -2, -1, 0, 1, 2 ...} tamsayıları kümesi Z = {0, 1, -1, 2, -2 ...} olarak listelenebilir. Bu şekilde, Z'nin elemanları ile doğal sayılar arasında birebir yazışmalar yapmak mümkündür, aşağıdaki resimde gösterildiği gibi:

Bu, sürekli problemin çözümünün yaklaşık olarak bilindiği çözelti bilinen, ayrık problemlere dönüştürülmesi gereken sürekli problemleri (modeller ve denklemler) çözmek için kullanılan bir yöntemdir.

Başka bir şekilde görüldüğünde, ayrıklaştırma sonlu bir sayıyı sonsuz nokta kümesinden çıkarmaya çalışır; bu şekilde sürekli bir birim ayrı birimlere dönüştürülür.

Genel olarak, bu yöntem, sayısal bir analizde, örneğin bir diferansiyel denklemin çözümünde olduğu gibi, sürekli olduğu halde bile, alanında sınırlı miktarda veri ile temsil edilen bir fonksiyon aracılığıyla kullanılır.

Bir başka ayrıklaştırma örneği, sürekli sinyal birimleri ayrı birimlere dönüştürüldüğünde (ayrıştırılırlar) ve daha sonra bir dijital sinyal elde etmek için kodlanıp nicelendirildiğinde, bir analog sinyali dijitale dönüştürmek için kullanılmasıdır.