Kuadratik art arda: örnekler, kural ve çözülmüş alıştırmalar

Kuadratik diziler, matematiksel terimlerle, belirli bir aritmetik kuralı takip eden sayı dizilerinden oluşur. Bir dizi teriminden herhangi birini belirlemek için bu kuralı bilmek ilginçtir.

Bunu yapmanın bir yolu, iki ardışık terim arasındaki farkı belirlemek ve elde edilen değerin her zaman tekrar edilip edilmediğine bakmaktır. Durum böyle olunca, düzenli bir sıraya sahip olduğu söylenir.

Ancak tekrar edilmezse farklılıklar arasındaki farkı incelemeyi deneyebilir ve bu değerin sabit olup olmadığına bakabilirsiniz. Eğer öyleyse, o zaman ikinci dereceden bir dizi .

Düzenli sıraya ve ikinci dereceden sekanslara örnekler

Aşağıdaki örnekler, şimdiye kadar ne açıklandığını netleştirmeye yardımcı olur:

Düzenli art arda örneği

Sıra S = {4, 7, 10, 13, 16, ......}

S ile gösterilen bu dizi, bu tamsayılar durumunda ayarlanan sonsuz bir sayıdır.

Düzenli bir art arda olduğu görülebilir, çünkü her terim önceki terim veya öğeye 3 ekleyerek elde edilir:

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

Başka bir deyişle: bu sıra düzenlidir, çünkü bir sonraki terim ile bir önceki terim arasındaki fark sabit bir değer verir. Verilen örnekte bu değer 3'tür.

Önceki terime sabit bir miktar eklenerek elde edilen düzenli dizilere, aynı zamanda aritmetik ilerlemeler de denir . Ve ardışık terimler arasındaki -sağlam-farkına sebep denir ve R olarak adlandırılır.

Düzenli olmayan ve ikinci dereceden art arda örneği

Şimdi aşağıdaki sıraya bakınız:

S = {2, 6, 12, 20, 30, ....}

Ardışık farklar hesaplandığında, aşağıdaki değerler elde edilir:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Farkları sabit değildir, bu yüzden düzenli olmayan bir sıraya girdiği doğrulanabilir.

Bununla birlikte, farklılıklar kümesini göz önünde bulundurursak, S _dif olarak adlandırılacak olan başka bir diziye sahibiz:

S _dif = {4, 6, 8, 10, ....}

Bu yeni sıra normal bir sıradır, çünkü her bir terim bir önceki taneye R = 2 sabit değeri eklenerek elde edilir. Bu yüzden S'nin ikinci dereceden art arda olduğunu onaylayabiliriz .

İkinci dereceden art arda inşa etmek için genel kural

Ikinci dereceden bir dizi oluşturmak için genel bir formül vardır:

T _n = A ∙ n2 + B ∙ n + C

Bu formülde, Tn, sekansın n pozisyonunun terimidir. A, B ve C sabit değerlerdir; n, birer birer değişir, yani 1, 2, 3, 4, ...

Önceki örneğin S dizisinde A = 1, B = 1 ve C = 0. Bundan, tüm terimleri üreten formülün şöyle olduğunu gösterir: Tn = n2 + n

Bu:

T ₁ = 12 + 1 = 2

T ₂ = 22 + 2 = 6

T ₃ = 32 + 3 = 12

T ₅ = 52 + 5 = 30

T _n = n2 + n

İkinci dereceden bir art arda iki terim arasındaki fark

Tn _{+ 1} - T _n = [A ∙ (n + 1) 2 + B ∙ (n + 1) + C] - [A 2 n2 + B + + + C]

İfadeyi olağanüstü bir ürünle geliştirmek:

Tn _{+ 1} - T _n = A ∙ n2 + A ∙ 2 ∙ n + A + B + n + B + C - A 2 n2 - B ∙ n - C

Basitleştirerek elde edersiniz:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Bu, şöyle yazılabilen S _Dif farklarının sırasını veren formüldür:

Fark _n = A ∙ (2n + 1) + B

Açıkça görüldüğü gibi sonraki terim 2 ∙ Bazen önceki terimdir. Diğer bir deyişle, S _dif farklılıklarının _artmasının nedeni: R = 2 ∙ A.

İkinci dereceden art arda çözülmüş alıştırmalar

Egzersiz 1

Sıra S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} olsun. Şunlara karar ver:

i) Düzenli veya değil

ii) Ikinci dereceli veya değil

iii) Ikinci dereceden, farklılıkların ardışıklığı ve sebepleri

tepkileri

i) Aşağıdaki terim ile birincisi arasındaki farkı hesaplayalım:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Ardışık terimler arasındaki fark sabit olmadığı için S dizisinin düzenli olmadığını teyit edebiliriz.

ii) Farklılıkların artması düzenlidir, çünkü terimleri arasındaki fark sabit değer 2'dir. Bu nedenle, orijinal S dizisi ikinci derecelidir.

iii) S'nin ikinci dereceden olduğuna karar verdik, farklılıkların art arda gelmesi:

S _dif = {2, 4, 6, 8, ...} ve oranı R = 2'dir.

Egzersiz 2

Bırakın önceki örneğin S = {1, 3, 7, 13, 21, ......} dizisi, burada ikinci dereceden olduğu doğrulandı. belirleyin:

i) Tn genel terimini belirleyen formül _.

ii) Üçüncü ve beşinci terimleri doğrulayın.

iii) Onuncu terimin değeri.

tepkileri

i) Tn'nin genel formülü A ∙ n2 + B ∙ n + C'dir. Sonra A, B ve C değerlerini bilmek kalır.

Farklılıkların artması doğru 2'dir. Ayrıca, ikinci dereceden herhangi bir sekans için, R oranı önceki bölümlerde gösterildiği gibi 2 ∙ A'dır.

R = 2 ∙ A = 2, bizi A = 1 sonucuna çıkarmamıza yol açar.

S _Dif fark dizisinin ilk terimi 2'dir ve n = 1 ve A = 1 ile A + (2n + 1) + B ile uyuşmalıdır, yani:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

B temizleme: B = -1

O zaman S (n = 1) 'in ilk terimi 1 değerindedir, yani: 1 = A ∙ 12 + B ∙ 1 + C Zaten bildiğimiz gibi, A = 1 ve B = -1'in zaten ikame edici olduğu:

1 = 1 - 12 + (-1) - 1 + C

C temizleyerek onun değerini alırsınız: C = 1.

Özet olarak:

A = 1, B = -1 ve C = 1

Daha sonra n. Terim T _n = n2 - n + 1 olacaktır.

ii) Üçüncü terim T ₃ = 32 - 3 + 1 = 7 ve doğrulandı. Beşinci T5 = 52 - 5 + 1 = 21, bu da doğrulandı.

iii) Onuncu terim T ₁₀ = 102 - 10 + 1 = 91 olacaktır.

Egzersiz 3

Şekil beş rakamlık bir sekansı göstermektedir. Izgara, uzunluk birimini temsil eder.

i) Şekil alanı için diziyi belirleyin.

ii) İkinci dereceden bir dizi olduğunu gösterin.

iii) Şekil 10'daki alanı gösteriniz (gösterilmemiştir).

tepkileri

i) Şekil dizisinin alanına karşılık gelen S dizisi:

S = {0, 2, 6, 12, 20, . . . . . }

ii) S terimlerinin ardışık farklarına karşılık gelen art arda:

S _dif = {2, 4, 6, 8, . . . . . }

Ardışık terimler arasındaki fark sabit olmadığı için, S normal bir dizi değildir. İkinci dereceden olup olmadığını bilmemiz gerekir, bunun için farklılıkları sıralarız.

{2, 2, 2, .......}

Sekanstaki tüm terimler tekrarlandığından, S'nin ikinci dereceden bir sekans olduğu doğrulanır.

iii) S _dif dizisi düzenli ve R oranı 2'dir. Yukarıda gösterilen denklemi kullanarak R = 2 ∙ A kalır:

2 = 2 ∙ A, yani A = 1.

Farklılıklar dizisinin ikinci terimi S, 4 ve _Dif farkları S:

A ∙ (2n + 1) + B

İkinci terim n = 2'dir. Buna ek olarak, A = 1 olduğu belirlendi, bu yüzden önceki denklemi kullanarak ve ikame ettik:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

B temizleme: B = -1.

S'nin ikinci teriminin 2 olduğu ve genel terimin formülünü n = 2 ile yerine getirmesi gerektiği bilinmektedir:

Tn = A ∙ n2 + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Demek istediğim