Tamamlayıcı olaylar: nelerden oluştukları ve örnekler

Tamamlayıcı olaylar, birliğinin örneklem alanını veya muhtemel deney durumlarını tamamen kaplayabildiği, birbirini dışlayan olaylardan oluşan, birbirini dışlayan herhangi bir olay grubu olarak tanımlanır (ayrıntılıdır).

Kavşağı boş sete (∅) neden olur. İki tamamlayıcı olayın olasılıklarının toplamı 1'e eşittir . Yani, bu özelliğe sahip 2 olay, bir deney olayının olasılığını tamamen kapsar.

Tamamlayıcı olaylar nelerdir?

Bu tür bir olayı anlamak için çok yararlı bir genel durum, bir ölüme ulaşmaktır:

Örnek alan tanımlanırken, deneyin sunduğu olası tüm durumlar adlandırılır. Bu küme evren olarak bilinir.

Örnek alan (S):

S: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Numune alanında belirtilmeyen seçenekler, deney olanaklarının bir parçası değildir. Örneğin { bu sayı yedidir} Sıfır olasılığı vardır.

Deneyin amacına göre, gerekirse kümeler ve alt kümeler tanımlanır. Kullanılacak olan set notasyonu çalışılacak hedef veya parametreye göre de belirlenir:

A: { Çift sayıdan çıkın} = {2, 4, 6}

B: { Tek bir numaradan çıkın } = {1, 3, 5}

Bu durumda A ve B Tamamlayıcı Olaylardır. Çünkü her iki küme de birbirinden bağımsızdır (tek olan sıralı sayılar sırayla çıkamaz) ve bu kümelerin birleşmesi tüm örnek alanını kapsar.

Önceki örnekteki diğer olası alt kümeler şunlardır:

C : { Asal sayıdan çıkın } = {2, 3, 5}

D: {x / x Ԑ N ᴧ x ˃ 3} = {4, 5, 6}

A, B ve C kümeleri sırasıyla Tanımlayıcı ve Analitik notasyonda yazılmıştır. Set D için, daha sonra Analitik gösterimde deneye karşılık gelen olası sonuçları açıklayan cebirsel gösterim kullanılmıştır.

İlk örnekte, A ve B tamamlayıcı olayları olduğu görülmektedir.

A: { Çift sayıdan çıkın} = {2, 4, 6}

B: { Tek bir numaradan çıkın } = {1, 3, 5}

Aşağıdaki aksiyomlar yerine getirilmiştir:

AUB = S ; İki tamamlayıcı olayın birleşimi örneklem alanına eşittir
A ∩B = ∅ ; İki tamamlayıcı olayın kesişimi boş kümeye eşittir
A '= B ᴧ B' = A; Her alt küme, karşıtının tamamlayıcısına eşittir.
A '∩ A = B' ∩ B = ∅ ; Bir kümeyi tamamlayıcısıyla kesişmek boşa eşittir
A 'UA = B' UB = S; Bir kümeyi tamamlayıcısı ile birleştirmek, örnek alanına eşittir

İstatistik ve olasılık çalışmalarında, tamamlayıcı olaylar, bu alanda gerçekleştirilen operasyonlar arasında çok yaygın olan genel teorinin bir parçasıdır.

Tamamlayıcı olaylar hakkında daha fazla bilgi edinmek için, onları kavramsal olarak tanımlamaya yardımcı olan belirli terimleri anlamak gerekir.

Olaylar neler?

Bunlar, her bir yinelemede sonuç verebilecek bir deneyden kaynaklanan olasılıklar ve olaylardır. Olaylar kümeler ve alt kümeler olarak kaydedilecek verileri oluşturur, bu verilerdeki eğilimler olasılık araştırması için temel teşkil eder.

Olaylara örnekler:

Para yüzünü işaret etti
Maç berabere sonuçlandı
Kimyager 1, 73 saniyede tepki gösterdi
Maksimum noktada hız 30 m / s
4 numaralı kalıp çerçevesi

Ek nedir?

Küme teorisi ile ilgili olarak. Bir Kompleman, evreni kapsayacak şekilde bir kümeye eklenmesi gereken örneklem uzayını ifade eder. Bütünün bir parçası olmayan her şey.

Set teorisinde tamamlayıcıyı belirtmenin iyi bilinen bir yolu:

A 'A'nın bir tamamlayıcısı

Venn şeması

Grafiksel bir şemadır - kümeler, alt kümeler ve öğeler içeren matematiksel işlemlerde yaygın olarak kullanılan analitik içerik. Her set, bir büyük harfle ve elementlerinin her birini içeren oval bir figürle (kullanımında zorunlu değildir) temsil edilir.

Tamamlayıcı olaylar doğrudan Venn şemalarında görülebilir, çünkü grafik yöntemleri her bir gruba karşılık gelen tamamlayıcıları tanımlamaya izin verir.

Sınırları ve iç yapılarını göz ardı ederek kümenin ortamını tamamen görselleştirin, çalışılan kümenin tamamlayıcısına bir tanım vermeyi sağlar.

Tamamlayıcı olaylara örnekler

Tamamlayıcı olayların örnekleri, eşitliğin bulunamadığı bir olayda başarı ve yenilgidir (bir beyzbol oyunu).

Boolean değişkenleri tamamlayıcı olaylardır: Doğru veya yanlış, eşit derecede doğru veya yanlış, kapalı veya açık, açık veya kapalı.

Tamamlayıcı olay çalışmaları

Egzersiz 1

S, ondan küçük veya ona eşit olan tüm doğal sayılar tarafından tanımlanan evren olarak tanımlansın.

S: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Aşağıdaki S altkümeleri tanımlanmıştır.

H: {Dörtten küçük doğal sayılar} = {0, 1, 2, 3}

J: {Üçün katları} = {3, 6, 9}

K: {beşin katları} = {5}

L: {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10}

M: {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10}

N: {Dörde eşit veya daha büyük doğal sayılar} = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

belirleyin:

S alt kümesini birleştirerek kaç tane tamamlayıcı olay oluşturulabilir?

Tamamlayıcı olayların tanımına göre, gereksinimleri karşılayan çiftler tanımlanır (karşılıklı olarak ayrılır ve katılım sırasında örnek alanını kapsar). Aşağıdaki alt grup çiftleri tamamlayıcı olaylardır :

H ve n
J ve M
L ve k

Egzersiz 2

Kanıtla şunu: (M ∩ K) '= L

{0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 10} ∩ {5} = {5}; Kümeler arasındaki kesişme, sonuçta her iki çalışma kümesi arasında ortak elemanlar verir. Bu şekilde 5, M ve K arasındaki tek ortak unsurdur .

{5} '= {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10} = L; L ve K tamamlayıcı olduklarından, yukarıda açıklanan üçüncü aksiyom karşılanır ( Her alt küme, karşıtının tamamlayıcısına eşittir)

Egzersiz 3

Tanımla: [(J ∩ H) UN] '

J = H = {3} ; Önceki alıştırmanın ilk adımına homolog bir şekilde.

(J, H) UN = {3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}; Bu işlemler kombine olarak bilinir ve genellikle bir Venn şemasıyla tedavi edilir.

[(J ∩ H) UN] ' = {0, 1, 2}; Kombine işlemin tamamlayıcısı tanımlandı.

Egzersiz 4

Kanıtla şunu: { [HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK]} '= ∅

Anahtarlar içinde açıklanan bileşik işlem, tamamlayıcı olayların birleşme noktalarının kesişme noktalarına atıfta bulunur. Bu şekilde ilk aksiyomu doğrulamaya devam ediyoruz ( İki tamamlayıcı olayın birleşimi örnek boşluğuna eşittir).

[HUN] ∩ [JUM] ∩ [LUK] = S ∩ S ∩ S = S; Bir kümenin kendisiyle birleşmesi ve kesişmesi aynı kümeyi oluşturur.

Daha sonra; S '= ∅ Kümelerin tanımı.