Entegrasyon sabiti: anlamı, nasıl hesaplandığı ve örnekler

Entegrasyon sabiti, antiderivatiflerin veya integrallerin hesaplanmasına eklenen bir değerdir, bir fonksiyonun ilkeli oluşturan çözümleri temsil eder. Herhangi bir işlevin sonsuz sayıda ilkelden oluştuğu içsel bir belirsizliği ifade eder.

Örneğin, eğer işlev alınırsa: f (x) = 2x + 1 ve antiderivatifini alırız:

∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C ; C'nin entegrasyon sabiti olduğu ve grafiksel olarak, ilkelin sonsuz olasılıkları arasındaki dikey çevrimi temsil eder. (X2 + x) 'in f (x)' in ilkelerinden biri olduğunu söylemek doğrudur.

Aynı şekilde f (x) 'in ilkeli olarak bir (x2 + x + C ) tanımlayabiliriz.

Ters özellik

İfade (x2 + x) türetilirken f (x) = 2x + 1 fonksiyonunun elde edildiği, bunun fonksiyonların türetilmesi ve entegrasyonu arasında var olan ters özellikten kaynaklandığı not edilebilir. Bu özellik, farklılaşmadan başlayarak entegrasyon formüllerinin elde edilmesini sağlar. Bu, aynı türevlerden integrallerin doğrulanmasını sağlar.

Ancak (x2 + x), türevi (2x + 1) 'e eşit olan tek fonksiyon değildir.

d ( x2 + x) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 1) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 2) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + 3) / dx = 2x + 1
d ( x2 + x + C ) / dx = 2x + 1

1, 2, 3 ve 4, f (x) = 2x + 1'in belirli ilkellerini temsil ederken, 5, f (x) = 2x + l'in belirsiz veya ilkel integralini temsil eder.

Bir fonksiyonun ilkelleri, antiderivasyon veya integral işlemi ile elde edilir. Aşağıdaki doğruysa, F, f'nin ilkeli olacaktır.

y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = entegrasyon sabiti
F '(x) = f (x)

Bir fonksiyonun entegrasyondan kaynaklanan sonsuz ilkellerinden farklı olarak, tek bir türevi olduğu takdir edilecektir.

Belirsiz integral

∫ f (x) dx = F (x) + C

Her noktadaki görüntülerin değerinde (x, y) değer uyuşmazlığı yaşayan, aynı düzende eğri ailesine karşılık gelir. Bu paterne uyan her fonksiyon bireysel bir ilkel olacaktır ve tüm fonksiyonların kümesi belirsiz bir integral olarak bilinir .

Entegrasyon sabitinin değeri pratikte her bir işlevi farklı kılan değer olacaktır.

Entegrasyon sabiti, bir fonksiyonun ilkelerini temsil eden tüm grafiklerde dikey bir kayma önerir. Aralarındaki paralelliğin gözlendiği ve C'nin yer değiştirmenin değeri olduğu gerçeği.

Yaygın uygulamalara göre, entegrasyon sabiti, bir eklentiden sonra "C" harfi ile belirtilir, ancak uygulamada, sabit eklenir veya çıkarılırsa kayıtsızdır. Gerçek değeri, farklı başlangıç koşullarına göre farklı şekillerde bulunabilir.

Entegrasyon sabitinin diğer anlamları

İntegral sabiti integral hesabın dalında nasıl uygulandığından bahsettik; Belirsiz integrali tanımlayan bir eğri ailesini temsil eder. Ancak diğer birçok bilim ve dal, entegrasyon sabitinin çok ilginç ve pratik değerlerini vermiştir, bu da çoklu çalışmaların geliştirilmesini kolaylaştırmıştır.

Fizikte entegrasyon sabiti verinin doğasına göre birden fazla değer alabilir. Çok yaygın bir örnek, bir parçacığın hızını t zamanına karşı temsil eden V (t) fonksiyonunu bilmektir. Bir V (t) ilkelinin hesaplanmasının, parçacığın zamana karşı konumunu temsil eden R (t) fonksiyonunu verdiği bilinmektedir.

Entegrasyon sabiti başlangıç pozisyonunun değerini, yani şu anda t = 0 olacaktır.

Benzer şekilde, parçacığın zamana karşı ivmesini temsil eden A (t) fonksiyonunu biliyorsak. A (t) ilkeli, V (t) fonksiyonuna neden olur, burada entegrasyon sabiti V1 başlangıç hızının değeri olur.

Ekonomide, bir maliyet fonksiyonunun ilkelini entegrasyonla elde ederek. Entegrasyon sabiti sabit maliyetleri temsil edecektir . Ve diferansiyel ve integral hesabı gerektiren birçok diğer uygulamalar.

Entegrasyon sabiti nasıl hesaplanır?

Entegrasyon sabitinin hesaplanması için, başlangıç koşullarını bilmek her zaman gerekli olacaktır. Hangi olası ilkellerden hangisinin karşılık geldiğini tanımlamaktan sorumlu olanlar.

Birçok uygulamada, (t) zamanında bağımsız bir değişken olarak kabul edilir; burada C sabiti, özel durumun başlangıç koşullarını tanımlayan değerleri alır.

İlk örnek alınırsa: ∫ (2x + 1) dx = x2 + x + C

Geçerli bir başlangıç koşulu grafiğin belirli bir koordinattan geçmesini koşullandırabilir. Örneğin, ilkel (x2 + x + C) noktasından (1, 2) geçtiği bilinmektedir.

F (x) = x2 + x + C; genel çözüm bu

F (1) = 2

Genel çözümü bu eşitlikle değiştiriyoruz

F (1) = (1) 2 + (1) + C = 2

Kolayca düşüldüğü yerden C = 0

Bu şekilde, bu dava için karşılık gelen ilkel F (x) = x2 + x

Entegrasyon sabitleri ile çalışan birkaç tür egzersiz vardır. Aslında, diferansiyel ve integral hesaplama, mevcut araştırmalara uygulanmayı durdurmaz. Farklı akademik seviyelerde bulunabilirler; İlk hesaplamadan, fizik, kimya, biyoloji, ekonomi, diğerleri arasında geçiyor.

Ayrıca, entegrasyon sabitinin çeşitli değerler ve çözümler alabileceği diferansiyel denklemlerin çalışmasında, bu konuda yapılan çoklu türevler ve entegrasyonlar nedeniyle de görülmektedir.

Örnekler

Örnek 1

30 metre yükseklikte bulunan bir top dikey olarak yukarı doğru bir mermi vuruyor. Merminin başlangıç hızının 25 m / s olduğu bilinmektedir. belirleyin:

Merminin zamana göre konumunu tanımlayan işlev.
Uçuş zamanı veya partikülün yere temas ettiği anın zamanı.

Düzgün bir şekilde değişen doğrusal hareketlerde, ivmenin sabit bir değer olduğu bilinmektedir. Bu, ivmenin yerçekimi olacağı, mermi fırlatma durumudur.

g = - 10 m / s2

Ayrıca ivmenin, pozisyonun ikinci türevi olduğu ve egzersizin çözünürlüğünde çifte entegrasyon gösteren ve böylece iki entegrasyon sabiti elde ettiği bilinmektedir .

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Egzersizin başlangıç koşulları, başlangıç hızının V ₀ = 25 m / s olduğunu gösterir. Bu, t = 0 anında o andaki hızdır. Böylece şöyle:

V (0) = 25 = -10 (0) + C1 ve Cı = 25

Hız fonksiyonu tanımlandı

V (t) = -10t + 25; MRUV formülüyle benzerlik gözlenebilir (V _f = V ₀ + axt)

Homolog bir şekilde, hız işlevi, konumu tanımlayan ifadeyi elde etmek için entegre edilmiştir:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t2 + 25t + C2

R (t) = -5t2 + 25t + C2 (ilkel konum)

İlk pozisyon R (0) = 30 m bilinmektedir. Sonra merminin belirli ilkeli hesaplanır.

R (0) = 30m = -5 (0) 2 + 25 (0) + C2 . C2 = 30 olduğunda

İlk bölüm R (t) = -5t2 + 25t + 30 ; Bu ifade, MRUV'deki yer değiştirme formülüne homologdur R (t) = R ₀ + V ₀ t - gt2 / 2

İkinci bölüm için ikinci dereceden denklemi çözmeliyiz: -5t2 + 25t + 30 = 0

Bu durum parçacıkları zemine ulaşmak için şartlandırdığından (konum = 0)

Aslında 2. derece denklemi bize 2 çözüm sunar: T: {6, -1}. T = -1 değeri dikkate alınmaz, çünkü alanı negatif sayılar içermeyen zaman birimleridir.

Bu şekilde, uçuş süresi 6 saniyeye eşit olduğunda, ikinci bölüm çözülmüştür.

Örnek 2

İlk koşulları karşılayan ilkel f (x) 'i bulun:

f "(x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

İkinci türev f '' (x) = 4'ün bilgisi ile antiderivasyon işlemi başlatılır

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Ardından, f '(2) = 2 koşulunu bilerek devam edin:

4 (2) + Cı = 2

Cı = -6 ve f '(x) = 4x8

İkinci entegrasyon sabiti için aynı prosedür uygulanır.

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x2 - 8x + C2

İlk koşul f (0) = 7 bilinir ve devam ediyoruz:

2 (0) 2 - 8 (0) + C2 = 7

C2 = 7 ve f (x) = 2x2 - 8x + 7

f "(x) = x2; f '(0) = 6; f (0) = 3

Önceki soruna benzer şekilde, ilk türevleri ve ilk işlevi ilk koşullardan tanımlarız.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (x2) dx = (x3 / 3) + Cı

F '(0) = 6 koşulu ile devam edin:

(03/3) + C1 = 6; C ₁ = 6 ve f '(x) = (x3 / 3) + 6

Sonra entegrasyonun ikinci sabiti

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ [(x3 / 3) + 6] dx = (x4 / 12) + 6x + C2

İlk koşul f (0) = 3 bilinir ve devam edin:

[(0) 4/12] + 6 (0) + C2 = 3; C ₂ = 3 olduğunda

Özel ilkel böylece elde edilir

f (x) = (x4 / 12) + 6x + 3

Örnek 3

Türev verilen ilkel fonksiyonları ve grafiğin bir noktasını tanımlayın:

dy / dx = 2x - 2 Bu noktada ne oluyor (3, 2)

Türevlerin belirli bir noktada eğriye doğru teğet çizginin eğimini ifade ettiğini hatırlamak önemlidir. Türev grafiğinin belirtilen noktaya değdiğini varsaymanın doğru olmadığı durumlarda, bu ilkel fonksiyonun grafiğine aittir.

Bu şekilde diferansiyel denklemi şu şekilde ifade ederiz:

dy = ( 2x-2) dx ; Daha sonra, antiderivasyon kriterlerini uygularken, biz:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

y = x2 - 2x + C

İlk koşulun uygulanması:

2 = (3) 2 - 2 (3) + C

C = -1

Sen alırsın: f (x) = x2 - 2x - 1

dy / dx = 3x2 - 1 Bu noktada ne oluyor (0, 2)

Diferansiyel denklemi şu şekilde ifade ediyoruz:

dy = ( 3x2-1) dx ; Daha sonra, antiderivasyon kriterlerini uygularken, biz:

∫dy = ∫ ( 3x2 - 1) dx

y = x3 - x + C

İlk koşulun uygulanması:

2 = (0) 2 - 2 (0) + C

C = 2

Sen alırsın: f (x) = x3 - x + 2

Önerilen egzersizler

Egzersiz 1

İlk koşulları karşılayan ilkel f (x) 'i bulun:

f "(x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
f "(x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
f "(x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Egzersiz 2

16 feet / s hızında yükselen bir balon, zemin seviyesinden 64 feet yükseklikte bir çuval kum salıverir.

Uçuş zamanını tanımla
Zemine temas ettiğinde V _f vektörü ne olacak?

Egzersiz 3

Şekil, x ekseninin pozitif yönünde hareket eden bir arabanın ivme-zaman grafiğini göstermektedir. Sürücü frenleri 10 saniyede durması için uygularken, araç sabit bir şekilde 54 km / s hızla gidiyordu. belirleyin: