Boolean cebiri: tarihçesi, teoremleri ve postulatları, örnekler
Boolean cebiri veya Boolean cebiri, ikili değişkenlerin tedavisinde kullanılan cebirsel notasyondur. Tamamlayıcı ve birbirini dışlayan, sadece 2 olası sonucu olan herhangi bir değişkenin çalışmalarını kapsar. Örneğin, tek olasılığı doğru veya yanlış, doğru veya yanlış, açık veya kapalı olan değişkenler Boolean cebir çalışmasının temelidir.
Boolean cebiri, dijital çağın temelini oluşturur ve bu onu günümüz çağında oldukça mevcut kılar. Geleneksel cebir içerisinde bilinen işlemlerin önemli ölçüde etkilendiği mantık kapıları kavramı ile yönetilmektedir.
tarih
Boole cebri, 1854 yılında, zamanın kendini öğreten bir bilgin olan İngiliz matematikçi George Boole (1815 - 1864) tarafından tanıtıldı. Endişesi, Augustus De Morgan ve William Hamilton arasındaki bu mantıksal sistemi tanımlayan parametreler konusundaki tartışmalardan kaynaklandı.
George Boole, 0 ve 1 numaralı sayısal değerlerin tanımının, mantık alanındaki sırasıyla Nothing and Universe yorumuna karşılık geldiğini savundu.
George Boole'nin amacı, cebir özellikleri aracılığıyla, ikili tip değişkenlerle başa çıkmak için gerekli olan teklif mantığının ifadelerini tanımlamaktı.
1854 yılında Boolean cebirinin en önemli bölümleri " Mantık ve olasılık teorisinin matematiksel teorilerinin dayandığı düşünce yasalarının incelenmesi " kitabında yayınlandı .
Bu meraklı başlık aşağıda " Düşünce yasaları" ("Düşünce yasaları") olarak özetlenecektir . Başlık, zamanın matematik camiasının bir parçası olması nedeniyle hemen dikkat çekmesi nedeniyle ün kazandı.
1948'de Claude Shannon, bistable elektrik anahtarlama devrelerinin tasarımında uyguladı. Bu, Boolean cebirinin tüm elektronik-dijital şema içerisinde uygulanmasına bir giriş niteliğindedir.
yapı
Bu tip cebirdeki temel değerler, sırasıyla FALSE ve TRUE olan 0 ve 1'dir. Boolean cebirindeki temel işlemler 3:
- Çalışma VE veya birlikte. Bir süre ile temsil (.). Ürün için eşanlamlı
- VEYA çalıştırma veya ayrılma. Bir çarpı (+) ile temsil edilir.
- Çalışma DEĞİL veya olumsuzlama. Öneki (NOT A) ile temsil edilir. Ek olarak da bilinir.
Bir küme A, ürün ve toplam (2) olarak belirtilen 2 iç kompozisyon yasalarını tanımlarsa, (3) (3 + (3) 'ün bir sözde retikül olma koşulunu yerine getirmesi durumunda, bir Boole cebiri olduğu söylenir. dağıtıcı.
Bir dağıtım ağı tanımlamak için, verilen işlemler arasındaki dağıtım koşulları yerine getirilmelidir:
. toplam + a'ya göre dağılım gösterir . (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ ürüne göre dağılım gösterir. a + (b. c) = (a + b). (a + c)
A kümesini oluşturan elemanlar ikili olmalı, dolayısıyla evren ya da boş değerlere sahip olmalıdır .
uygulamaları
Başlıca uygulama senaryosu, ilgili mantıksal işlemleri oluşturan devreleri yapılandırmaya hizmet ettiği dijital daldır. Devrelerin sadeliği, işlemlerin optimizasyon lehine yapılması sanatı, Boole cebirinin doğru uygulanması ve uygulanmasının sonucudur.
Elektrik panolarının geliştirilmesinden, veri aktarımına, farklı dillerde programlamaya, Boole cebirini her türlü dijital uygulamada sıkça bulabiliriz.
Boolean değişkenleri programlama yapısında çok yaygındır. Kullanılan programlama diline bağlı olarak, bu değişkenleri kullanan yapısal kod işlemleri olacaktır. Her dilin koşullu ve argümanları süreçleri tanımlamak için Boole değişkenlerini destekler.
postülatlar
Boolean cebirinin yapısal mantıksal yasalarını düzenleyen teoremler vardır. Benzer şekilde, gerçekleştirilen işleme bağlı olarak, farklı ikili değişken kombinasyonlarında olası sonuçları bilmek için bazı durumlar vardır.
Toplam (+)
Mantıksal unsuru birlik (U) olan OR operatörü, ikili değişkenler için aşağıdaki gibi tanımlanır:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Ürün (.)
Mantıksal öğesi kesişme noktası (∩) olan AND işleci, ikili değişkenler için aşağıdaki gibi tanımlanır:
0. 0 = 0
0. 1 = 0
1. 0 = 0
1. 1 = 1
Karşı (NOT)
Mantıksal öğesi tamamlayıcı (X) 'olan NOT işleci, ikili değişkenler için aşağıdaki gibi tanımlanır:
0 = 1 DEĞİL
1 = 0 DEĞİL
Postülatların çoğu geleneksel cebirdeki eşdeğerlerinden farklıdır. Bu değişkenlerin etki alanı kaynaklanmaktadır. Örneğin, Boolean cebirine (1 + 1) evren elemanlarının eklenmesi, 2'nin geleneksel sonucunu veremez, çünkü bu ikili kümenin elemanlarına ait değildir.
teoremler
Sıfır kuralı ve birlik
İkili değişkenli bir eleman içeren basit bir işlem tanımlanır:
0 + A = A
1 + A = 1
0. A = 0
1. A = A
Eşit güçler veya idempotencia
Eşit değişkenler arasındaki işlemler şöyle tanımlanır:
A + A = A
A. A = A
tamamlama
Bir değişken ve tamamlayıcısı arasındaki her işlem şöyle tanımlanır:
A + DEĞİL A = 1
A. DEĞİL A = 0
İfade veya çifte inkâr
Herhangi bir çift olumsuzlama, doğal değişken olarak kabul edilecektir.
DEĞİL (A DEĞİL) = A
degiştirilebilen
A + B = B + A; Toplamın değişebilirliği.
A. B = B A; Ürünün değişebilirliği.
ilişkisel
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Toplamın birleştirilmesi.
A. (B.C) = (A.B). C = A B. ° C; Ürün birliği
dağıtım
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Toplamın ürüne göre dağılımı.
A. (B + C) = (A.B) + (A + C); Toplamda ürünün dağıtılabilirliği.
Emilim yasaları
Çoklu arasında birçok emilim yasası vardır.
A. (A + B) = A
A. (A + B DEĞİL) = A B
A (A + B) = A DEĞİL. B
(A + B). (A + NOT B) = A
A + A. B = A
A + DEĞİL A. B = A + B
A + A değil. B = A + B DEĞİL
A. B + A. B = A DEĞİL
Morgan teoremi
Boolean cebirinin (+.) Tanımlanmış işlemleri arasında etkileşimde bulunan değişken çiftlerini işleyen dönüşüm yasalarıdır.
(A. B) DEĞİL = A + DEĞİL B
(A + B) DEĞİL = A DEĞİL. B değil
A + B = DEĞİL (A + DEĞİL B DEĞİL)
A. B = NOT (DEĞİL A. DEĞİL B)
ikilik
Tüm varsayımlar ve teoremler dualite fakültesine sahiptir. Bu, değişkenleri ve işlemleri değiştirirken ortaya çıkan teklifin doğrulandığı anlamına gelir. Başka bir deyişle, 0 için 1 ile VE alışverişi yapılırken VEYA için tam tersi; tamamen geçerli olacak bir ifade yaratıldı.
Örneğin, varsayımı alırsanız
1. 0 = 0
Ve dualite uygulanır
0 + 1 = 1
Mükemmel bir şekilde geçerli başka bir varsayım elde edilir.
Karnaugh Haritası
Karnaugh haritası, Boole cebirinde mantıksal fonksiyonları basitleştirmek için kullanılan bir şemadır. Önerme mantığının doğruluk tablolarına benzeyen iki boyutlu bir düzenlemeden oluşur. Doğruluk tablolarından gelen veriler doğrudan Karnaugh haritasında yakalanabilir.
Karnaugh haritası 6 değişkene kadar olan işlemleri barındırabilir. Çok sayıda değişken içeren işlevlerde, işlemi basitleştirmek için yazılımın kullanılması önerilir.
1953 yılında Maurice Karnaugh tarafından önerilen, Boole cebri alanında sabit bir araç olarak kurulmuştur, çünkü uygulaması insan potansiyelini, dijital süreçlerin akıcılığının kilit bir yönü olan Boole ifadelerini basitleştirme ihtiyacı ile senkronize eder.
Örnekler
Boolean cebri, bir devredeki mantık kapılarını azaltmak için kullanılır; burada önceliğin devre karmaşıklığını veya seviyesini mümkün olan minimum ifadesine getirmektir. Bu, her kapının varsaydığı hesaplama gecikmesinden kaynaklanmaktadır.
Aşağıdaki örnekte, Boole cebirinin teoremlerini ve varsayımlarını kullanarak mantıksal bir ifadenin minimum ifadesine basitleştirildiğini göreceğiz.
DEĞİL (AB + A + B). DEĞİL (A + DEĞİL B)
[A (B + 1) + B] DEĞİLDİR. DEĞİL (A + DEĞİL B); Ortak faktörü ile A faktoringi.
[A (1) + B] DEĞİLDİR. DEĞİL (A + DEĞİL B); Teorem A + 1 = 1.
(A + B) DEĞİL. DEĞİL (A + DEĞİL B); Theorem A. tarafından 1 = A
(NOT A. NOT B). [DEĞİL A. DEĞİL (B DEĞİL)];
Morgan teoremine göre NOT (A + B) = DEĞİL A. B değil
(NOT A. NOT B). (NOT A. B); Çift negatif teorem ile NOT (NOT A) = A
Değil a. Değil b Değil a. B; Cebirsel gruplama
Değil a. Değil a. Değil b B; Ürün A'nın değişebilirliği. B = B bir
Değil a. Değil b B; Teorem A. tarafından A = A
Değil a. 0; Teorem A. tarafından DEĞİL A = 0
0; Teorem A. tarafından 0 = 0
A. B. C + DEĞİL A + A. Değil b C
A. C. (B + NOT B) + NOT A; Ortak faktörlü faktoring (A. C).
A. C. (1) + NOT A; Teoremi tarafından A + NOT A = 1
A. C + NOT A; Kural olarak, sıfır ve ünite 1'in kuralları. A = A
A + C DEĞİL ; Morgan yasalarına göre A + NOT A. B = A + B
Bu çözüm için Morgan'ın yasası aşağıdakileri tanımlayacak şekilde genişletilmelidir:
DEĞİL (A DEĞİL). C + NOT A = DEĞİL A + C
Çünkü NOT (NOT A) = A evrimle.
Mantıksal işlevi basitleştirin
Değil a. Değil b C + DEĞİL A. Değil b C + NOT A. Asgari ifadesine C DEĞİL
Değil a. Değil b (C + C DEĞİL) + A. C DEĞİL; Ortak faktöre sahip faktoring (NOT A. NOT B)
Değil a. Değil b (1) + DEĞİL A. C DEĞİL; Teoremi tarafından A + NOT A = 1
(NOT A. NOT B) + (NOT A. NOT C); Kural olarak, sıfır ve ünite 1'in kuralları. A = A
A DEĞİL (B + DEĞİL C); Ortak faktöre sahip bir faktoring DEĞİL
Değil a. NOT (B.C); Morgan yasalarına göre NOT (A.B) = NOT A + NOT B
NOT [A + (B. C)] Morgan yasalarına göre DEĞİL (A.B) = DEĞİL A + DEĞİL B
Kalın yazılan 4 seçenekten herhangi biri devrenin seviyesini azaltmak için olası bir çözümü temsil eder.
Mantıksal işlevi minimum ifadeyle basitleştirin
(A) B, C + A DEĞİL, B, B, D + DEĞİL A, B DEĞİL). C
(A, B değil, C + A, 0, D + DEĞİL, B değil). ° C; Teorem A. tarafından DEĞİL A = 0
(A, B değil, C + 0 + B değil, B). ° C; Teorem A. tarafından 0 = 0
(A, B değil, C + B değil, B). ° C; Theorem tarafından A + 0 = A
A. Değil b C. C + NOT A. Değil b ° C; Toplamda ürünün dağıtımı ile
A. Değil b C + NOT A. Değil b ° C; Teorem A. tarafından A = A
Değil b C (A + NOT A) ; Ortak faktöre sahip faktoring (NOT B. C)
Değil b C (1); Teoremi tarafından A + NOT A = 1
Değil b ° C; Kural olarak, sıfır ve ünite 1'in kuralları. A = A
