Vektör uzayı: taban ve boyut, aksiyomlar, özellikler, örnekler

Bir vektör uzayı, elemanları vektör olan boş olmayan bir V = { u , v , w , ......} kümesidir. Onlarla birlikte, aşağıdakilerden öne çıkan bazı önemli işlemler gerçekleştirilir:

- U + v vektörleri arasında , V kümesine ait olan z ile sonuçlanan toplamı toplayın .

- Gerçek bir sayı α'nın bir başka vektör veren ve V'ye ait olan bir vektör v : α v ile çarpımı .

Bir vektörü belirtmek için koyu ( v bir vektördür) ve skaler veya sayılar için Yunanca harfler (α bir sayıdır) kullanırız.

Aksiyomlar ve özellikleri

Bir vektör uzayı olmak için aşağıdaki sekiz aksiyomun yerine getirilmesi gerekir:

1-Değiştirilebilirlik: u + v = v + u

2-Transitivity: ( u + v ) + w = u + ( v + w )

3-Boş vektörün 0 olması, 0 + v = v olacak şekilde

4-Aksinin varlığı: v'nin zıddı (- v ), çünkü v + (- v ) = 0

5-Ürünün toplam vektöre göre dağılımı: α ( u + v ) = α u + α v

6-Ürünün skaler toplama göre dağılımı: (α + β) v = α v + β v

7-Skaler çarpımı çarpımı: α (β v ) = (α β) v

8-1 sayısı bu yana nötr olan element: 1 v = v

Vektör uzaylarından örnekler

Örnek 1

Düzlemdeki vektörler (R²) vektör uzayına bir örnektir. Düzlemdeki bir vektör, büyüklüğü ve yönü olan geometrik bir nesnedir. Sözü geçen düzleme ait ve büyüklüğü ile orantılı bir büyüklükte olan yönlendirilmiş bir bölümle temsil edilir.

Düzlemdeki iki vektörün toplamı, birinciden sonra ikinci vektörün çevirisinin geometrik işlemi olarak tanımlanabilir. Toplamın sonucu, birincinin kaynağından başlayan ve ikincinin ucuna ulaşan yönlendirilmiş segmenttir.

Şekilde, R²'deki toplamın değişmeli olduğu not edilebilir.

Bir α sayısının ürünü ayrıca bir vektör tarafından tanımlanır. Sayı pozitifse, orijinal vektör yönü korunur ve boyut orijinal vektörün α katıdır. Sayı negatifse, adres tam tersidir ve elde edilen vektörün boyutu sayının mutlak değeridir.

Bir vektörün karşısındaki vektör, herhangi bir v, - v = (- 1) v'dir .

Boş vektör R² düzleminde bir noktadır ve bir vektör için sıfır sayısı boş vektör ile sonuçlanır.

Her şey Şekil 2'de gösterilmektedir.

Örnek 2

Sıfır derece de dahil olmak üzere ikiye eşit veya daha az olan tüm polinomların P seti, bir vektör uzayının tüm aksiyomlarını karşılayan bir set oluşturur.

Polinom P (x) = a x² + bx + c ve Q (x) = d x² + ex + f

İki polinomun toplamı tanımlanır: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Set P'ye ait polinomların toplamı değişmeli ve geçişlidir.

Set P'ye ait boş polinom, tüm katsayıları sıfıra eşit olandır:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Skaler α'nın toplamı aşağıdaki gibi bir polinomla tanımlanır: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

P (x) 'in zıt polinomu -P (x) = (-1) P (x)' dir.

Yukarıdakilerin hepsinden, dereceye eşit veya iki dereceye eşit olan tüm polinomların P kümesinin bir vektör uzayı olduğu izlenir.

Örnek 3

Tüm matrislerin M seti, elemanları gerçek sayıları olan xn kolonlarının matrisleri ve bir sayının çarpımının matrisle eklenmesi işlemleriyle ilgili olarak gerçek bir vektör uzayı oluşturur.

Örnek 4

Gerçek değişkenin sürekli fonksiyonlarının F seti, bir vektör uzayını oluşturur, çünkü iki fonksiyonun toplamını, bir skalerin bir fonksiyonla çarpılması, null fonksiyonu ve simetrik fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Ayrıca bir vektör uzayını karakterize eden aksiyomları da yerine getirirler.

Bir vektör uzayının tabanı ve boyutu

temel

Bir vektör uzayının temeli, bu vektör uzayının herhangi bir vektörünün, bunların doğrusal bir kombinasyonundan üretilebileceği şekilde, doğrusal olarak bağımsız bir vektör kümesi olarak tanımlanır.

Doğrusal olarak iki veya daha fazla vektörü birleştirmek, vektörleri bazı skalerlerle çarpmak ve sonra vektörel olarak eklemek içindir.

Örneğin, birim vektörler (1 büyüklüğünde) i, j, k ile tanımlanan kanonik baz, R³ tarafından oluşturulan üç boyutlu vektör uzayında kullanılır.

İ = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Bunlar Kartezyen veya kanonik vektörlerdir.

R³'ye ait herhangi bir V vektörü V = a i + b j + c k olarak yazılır, bu, baz vektörlerinin i, j, k doğrusal bir birleşimidir. Skaler veya a, b, c sayıları V'in Kartezyen bileşenleri olarak bilinir .

Bir vektör uzayının baz vektörlerinin vektör uzayının bir jeneratör setini oluşturduğu da söylenir.

boyut

Bir vektör uzayının boyutu, söz konusu alan için bir vektör tabanının kardinal sayısıdır; yani, adı geçen tabanı oluşturan vektörlerin sayısı.

Bu kardinal, bu vektör uzayının maksimum lineer olarak bağımsız vektör sayısıdır ve aynı zamanda söz konusu alanın bir jeneratör setini oluşturan minimum vektör sayısıdır.

Bir vektör uzayının tabanları benzersiz değildir, ancak aynı vektör uzayının tüm tabanları aynı boyuta sahiptir.

Vektör alt uzayı

Bir vektör uzayının (V) bir vektör alt alanı (S), aynı işlemlerin V'de olduğu gibi tanımlandığı ve vektör uzayının tüm aksiyomlarını karşıladığı bir V alt kümesidir. Bu nedenle, S alt alanı da bir vektör uzayı olacaktır.

Vektör alt uzayına örnek, XY düzlemine ait vektörlerdir. Bu alt uzay, üç boyutlu XYZ uzayına ait vektör kümesinden daha büyük bir boyutsallık vektör uzayının alt kümesidir.

Tüm 2 × 2 matrisler tarafından gerçek elemanlarla oluşturulan vektör uzayının S vektör alt uzayının S1 başka bir örneği aşağıda tanımlanmıştır:

Bunun yerine S2 yerine tanımlanmış olmasına rağmen, S'nin bir alt kümesi olmasına rağmen, bir vektör alt alanı oluşturmaz:

Çözülmüş egzersizler

-Eğlence 1

Vektörleri V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) ve V3 = (0, 0, 3) R³.

a) Doğrusal olarak bağımsız olduklarını kanıtlayın.

b) Herhangi bir üçlü (x, y, z) V1, V2, V3'ün doğrusal bir kombinasyonu olarak yazılabileceğinden, R³'de bir baz oluşturduklarını kanıtlayın.

c) V1, V2, V3 bazında üçlü V = (-3, 5, 4) bileşenlerini bulun.

çözüm

Lineer bağımsızlığı gösterme kriteri, α, β ve γ 'de aşağıdaki denklem setlerini oluşturmaktan oluşur.

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

Bu sisteme tek çözümün α = β = γ = 0 olması durumunda, vektörler doğrusal olarak bağımsızdır, aksi halde değildirler.

Α, β ve γ değerlerini elde etmek için aşağıdaki denklem sistemlerini öneriyoruz:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Birincisi α = 0, ikincisi α = -2 ∙ leads, fakat α = 0 ve β = 0 olur. Üçüncü denklem, γ = (- 1/3) β, ancak β = 0 ve γ = 0 olduğu anlamına gelir.

Cevapla

R³ de doğrusal olarak bağımsız bir vektör kümesi olduğu sonucuna varılmıştır.

Cevap b

Şimdi üçlü (x, y, z) V1, V2, V3'ün doğrusal bir kombinasyonu olarak yazalım.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Neredesin?

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

İlki α = x, ikincisi β = (yx) / 2 ve üçüncü γ = (z- ve / 2 + x / 2) / 3'ü gösterir. Bu şekilde R³'nin üçlü grubunun α, β ve γ jeneratörlerini bulduk.

Cevap c

V1, V2, V3 bazında üçlü V = (-3, 5, 4) bileşenlerini bulalım.

Jeneratörler için daha önce bulunan ifadelerdeki karşılık gelen değerleri değiştiririz.

Bu durumda biz: α = -3; 8 = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4-5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

İşte bu:

(-3, 5, 4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

Son olarak:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

V1, V2, V3'ün, 3 boyutunun R³ vektör uzayında bir temel oluşturduğu sonucuna varıyoruz.

-Eğlence 2

Polinom P (t) = t² + 4t -3'ü, P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t ve P3 (t) = t + 3'ün doğrusal bir kombinasyonu olarak ifade edin.

çözüm

P (t) = x P1 (t) + ve P2 (t) + z P3 (t)

burada x, y, z sayıları belirlenmelidir.

Terimleri aynı derecede çarpar ve gruplandırarak elde edersiniz:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Bu bizi aşağıdaki denklem sistemine yönlendirir:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Bu denklem sisteminin çözümleri şunlardır:

x = -3, y = 2, z = 4.

İşte bu:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Eğlence 3

Vektörlerin v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) ve R3'ün v3 = (2, 1, -1, 1) doğrusal olarak bağımsızdır.

çözüm

Üç v1, v2, v3 vektörünü doğrusal olarak birleştiriyoruz ve kombinasyonun R⁴'nin boş elemanını eklemesini talep ediyoruz.

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Demek istediğim

a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Bu bizi aşağıdaki denklem sistemine yönlendirir:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Sahip olduğumuz birinci ve dördüncüyü çıkarmak: -a + c = 0, a = c anlamına gelir.

Fakat üçüncü denkleme bakarsanız, = -c değerine sahibiz. A = c = (- c) 'yı elde etmenin tek yolu c'nin 0 olması ve dolayısıyla a'nın da 0 olacağıdır.

a = c = 0

Bu sonucu ilk denklemde değiştirirsek, b = 0 olur.

Sonunda a = b = c = 0, yani v1, v2 ve v3 vektörlerinin lineer olarak bağımsız olduğu sonucuna varabiliriz.