Polinom denklemleri (Çözülmüş Alıştırmalarla)

Polinom denklemleri, iki ifadenin veya üyelerin eşitliğini arttıran bir ifadedir; eşitliğin her iki tarafını oluşturan terimlerden en az biri, polinomlardır (P). Bu denklemler değişkenlerinin derecesine göre adlandırılır.

Genel olarak, bir denklem iki ifadenin eşitliğini oluşturan bir ifadedir, burada bunlardan en az birinde değişken veya bilinmeyen olarak bilinmeyen büyüklükler vardır. Pek çok denklem türü olmasına rağmen, bunlar genel olarak iki türe ayrılır: cebirsel ve aşkın.

Polinom denklemleri yalnızca denklemde yer alan bir veya daha fazla bilinmeyene sahip cebirsel ifadeler içerir. Üsse göre (dereceli) sınıflandırma yapılabilir: birinci derece (doğrusal), ikinci derece (ikinci dereceden), üçüncü derece (kübik), dördüncü derece (kuartik), beşten büyük veya beşe eşit ve irrasyonel.

özellikleri

Polinom denklemleri iki polinom arasındaki eşitlik tarafından oluşturulan ifadelerdir; yani, bilinmeyen değerler (değişkenler) ve sabit sayılar (katsayılar) arasındaki çarpmaların sınırlı toplamları ile değişkenlerin üslere sahip olabileceği ve değerleri sıfır dahil olmak üzere pozitif bir tamsayı olabilir.

Üsler denklemin derecesini veya türünü belirler. En yüksek değerli üsse sahip olan ifadenin bu terimi, polinomun mutlak derecesini temsil edecektir.

Polinom denklemleri cebirsel olarak da bilinir, katsayıları gerçek veya karmaşık sayılar olabilir ve değişkenler "x" gibi bir harfle gösterilen bilinmeyen sayılardır.

P (x) 'de "x" değişkeni ile bir değer kullanılması durumunda sonuç sıfıra (0) eşittir, o zaman bu değerin denklemi sağladığı söylenir (bir çözümdür) ve genellikle polinomun kökü olarak adlandırılır.

Bir polinom denklemi geliştirildiğinde, tüm kökleri veya çözümleri bulmak istersiniz.

tip

Değişken sayısına ve aynı zamanda üs derecelerine göre farklılaşan birkaç çeşit polinom denklemi vardır.

Dolayısıyla, polinom denklemleri - İlk terimin, derecesinin herhangi bir doğal sayı (n) olabileceği ve ikinci terimin sıfır olduğu düşünüldüğünde, yalnızca bilinmeyen bir polinom olduğu durumlarda, aşağıdaki gibi ifade edilebilir:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

burada:

- a _n, _n-1 ve ₀, gerçek katsayılardır (sayılar).

- a _n sıfırdan farklıdır.

- n üssü denklemin derecesini temsil eden pozitif bir tamsayıdır.

- x aranması gereken değişken veya bilinmeyendir.

Bir polinom denkleminin mutlak veya daha büyük derecesi, polinomu oluşturanların tümü arasında daha büyük değere sahip olması; Bu şekilde, denklemler şöyle sınıflandırılır:

Birinci sınıf

Lineer denklemler olarak da bilinen birinci derece polinom denklemleri, derecenin (en büyük üs) 1'e eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 formunda olduğu; ve doğrusal bir terim ve bağımsız bir terimden oluşur. Aşağıdaki gibi yazılmıştır:

ax + b = 0.

burada:

- a ve b zaten numbers 0 olan gerçek sayılardır.

- Ax doğrusal terimdir.

- b bağımsız bir terimdir.

Örneğin, denklem 13x - 18 = 4x.

Doğrusal denklemleri çözmek için, bilinmeyen x'i içeren tüm terimler eşitliğin bir tarafına, diğer tarafa aynı hamle yapılmayanlara, denkliği temizlemek ve bir çözüm elde etmek için geçilmelidir:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2

Bu şekilde, verilen denklemin x = 2 olan tek bir çözümü veya kökü vardır.

İkinci sınıf

İkinci derece polinom denklemleri, ikinci dereceden denklemler olarak da bilinir, derecenin (en büyük üs) 2'ye eşit olduğu, polinomun P (x) = 0 biçiminde olduğu ve ikinci dereceden bir terimden oluşur, biri doğrusal diğeri bağımsız. Aşağıdaki gibi ifade edilir:

ax2 + bx + c = 0.

burada:

- a, b ve c zaten ≠ 0 olan gerçek sayılardır.

- ax2 ikinci dereceden bir terimdir ve "a" ikinci dereceden terimin katsayısıdır.

- bx doğrusal terimdir ve "b" doğrusal terim katsayısıdır.

- c bağımsız bir terimdir.

resolvente

Genel olarak, bu tür denklemlerin çözümü, denklemden x çıkartılarak verilir ve çözümleyici olarak adlandırılan aşağıdaki gibi bırakılır:

Burada, (b2 - 4ac) denklemin ayırıcısı olarak adlandırılır ve bu ifade, denklemin sahip olabileceği çözümlerin sayısını belirler:

- (b2 - 4ac) = 0 ise, denklemin iki katı olan tek bir çözümü olacaktır; yani, iki eşit çözümünüz olacak.

- (b2 - 4ac)> 0 ise, denklemin iki farklı gerçek çözümü olacaktır.

- (b2 - 4ac) <0 ise, denklemin çözümü yoktur (iki farklı karmaşık çözüme sahip olacaktır).

Örneğin, 4x2 + 10x - 6 = 0 denklemine sahibiz, bunu çözmek için önce a, b ve c terimlerini tanımlarız, sonra formülde değiştiririz:

a = 4

b = 10

c = -6.

İkinci derecedeki polinom denklemlerinin üç terime sahip olmadığı durumlar vardır ve bu yüzden farklı şekilde çözülürler:

- Kuadratik denklemlerin doğrusal terime sahip olmaması durumunda (yani, b = 0), denklem ax2 + c = 0 olarak ifade edilir. Bunu çözmek için, x2 silinir ve her üyeye karekökler uygulanır, hatırlayarak gizli olması muhtemel iki olası işaret olarak düşünülmelidir:

ax2 + c = 0.

x2 = - c ÷ a

Örneğin, 5 x2 - 20 = 0.

5 x 2 = 20

x2 = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2

x ₂ = -2

- İkinci dereceden denklemin bağımsız bir terimi (yani, c = 0) olmadığında, denklem ax2 + bx = 0 olarak ifade edilir. Bunu çözmek için, ilk üyede bilinmeyen x'in ortak faktörünü çıkarmamız gerekir; denklem sıfıra eşit olduğundan, faktörlerden en az birinin 0'a eşit olacağı doğrudur:

ax2 + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

Bu şekilde yapmanız gerekenler:

x = 0

x = -b ÷ a.

Örneğin: 5x2 + 30x = 0 denklemine sahipsiniz. İlk faktör:

5x2 + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Xy olan iki faktör üretilir (5x + 30). Bunlardan birinin sıfıra eşit olacağı ve diğer çözümün verileceği düşünülmektedir:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Ana derece

Daha yüksek derecedeki polinom denklemleri, üçüncü dereceden itibaren devam eden, herhangi bir derecedeki genel polinom denklemi ile ifade edilebilecek veya çözülebilen denklemlerdir:

a _{n *} xn + a _{n-1 *} xn-1 + ... + a _{1 *} x1 + a _{0 *} x ₀ = 0

Bu, ikiden büyük bir dereceye sahip bir denklemin bir polinomun çarpanlara ayrılmasının bir sonucu olduğu için kullanılır; yani, bir dereceden veya daha büyük, ancak gerçek kökleri olmayan polinomların çarpımı olarak ifade edilir.

Bu tür denklemlerin çözümü doğrudandır, çünkü iki faktörün çarpımı, eğer herhangi bir faktör null ise (0); bu nedenle, bulunan polinom denklemlerinin her biri, faktörlerinin her birini sıfıra eşitleyerek çözümlenmelidir.

Örneğin, üçüncü derece (kübik) x3 + x2 + 4x + 4 = 0 denklemine sahipsiniz. Bunu çözmek için aşağıdaki adımları izlemelisiniz:

- Terimler gruplandırılmış:

x3 + x2 + 4x + 4 = 0

(x3 + x2) + (4x + 4) = 0.

- Bilinmeyenlerin ortak faktörünü elde etmek için üyeler ayrıldı:

x2 (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x2 + 4) _* (x + 1) = 0.

- Bu şekilde sıfıra eşit olması gereken iki faktör elde edilir:

(x2 + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Faktör (x2 + 4) = 0'ın gerçek bir çözüme sahip olmadığı, faktör (x + 1) = 0 olduğu görülüyor. Bu nedenle, çözüm:

(x + 1) = 0