Çapraz Ürün: Özellikleri, Uygulamaları ve Çözülmüş Egzersizleri

Çapraz ürün veya vektör ürünü, iki veya daha fazla vektörü çarpmanın bir yoludur. Vektörleri çarpmanın üç yolu vardır, fakat bunların hiçbiri kelimenin normal anlamında bir çarpma değildir. Bu formlardan biri, üçüncü bir vektörle sonuçlanan bir vektör ürünü olarak bilinir.

Çapraz ürün veya dış ürün olarak da adlandırılan vektör ürünü, farklı cebirsel ve geometrik özelliklere sahiptir. Bu özellikler, özellikle fizik çalışmasında çok faydalıdır.

tanım

Vektör ürününün resmi bir tanımı şöyledir: A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) vektör ise, AxB olarak göstereceğimiz A ve B'nin vektör ürünü:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

AxB gösterimi nedeniyle, "A cross B" olarak okur.

Dış ürünün nasıl kullanılacağına bir örnek, A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4) 'ün vektörler olması durumunda, o zaman, vektör ürünün tanımını kullanarak elimizdeki:

AxB = (1, 2, 3) x (3, -2, 4) = (2 * 4 - 3 * (-2), 3 * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3)

AxB = (8 + 6, 9 - 4, - 2 - 6) = (14, 5, - 8).

Vektör ürününü ifade etmenin başka bir yolu determinant notasyonu ile verilmiştir.

İkinci dereceden bir determinantın hesaplanması şöyle yapılır:

Bu nedenle, tanımda verilen vektör ürününün formülü aşağıdaki gibi yeniden yazılabilir:

Bu genellikle aşağıdaki gibi üçüncü bir düzenleyicide sadeleştirilir:

Burada, i, j, k R3'ün temelini oluşturan vektörleri temsil eder.

Çapraz ürünü ifade etmenin bu yolunu kullanarak, önceki örneğin şu şekilde yeniden yazılabileceğini gördük:

özellikleri

Vektör ürününün sahip olduğu bazı özellikler şunlardır:

Özellik 1

Eğer A, R3'te herhangi bir vektör ise, şunları yapmalıyız:

- AxA = 0

- Ax0 = 0

- 0xA = 0

Bu özelliklerin yalnızca tanım kullanılarak kontrol edilmesi kolaydır. A = (a1, a2, a3) ise şunları yapmalıyız:

AxA = (a2a3 - a3a2, a3a1 - a1a3, a1a2 - a2a1) = (0, 0, 0) = 0.

Ax0 = (a2 * 0 - a3 * 0, a3 * 0 - a1 * 0, a1 * 0 - a2 * 0) = (0, 0, 0) = 0.

Eğer i, j, k R3 ünite temelini temsil ediyorsa, bunları aşağıdaki gibi yazabiliriz:

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

Sonra aşağıdaki özellikleri yerine getirmeliyiz:

Anımsatıcı kural olarak, bu özellikleri hatırlamak için aşağıdaki daire genellikle kullanılır:

Burada kendisinin olduğu herhangi bir vektörün vektör 0 ile sonuçlandığını ve ürünlerin geri kalanının şu kuralla elde edilebileceğini not etmeliyiz:

İki ardışık vektörün saat yönünde çapraz ürün aşağıdaki vektörü verir; ve saat yönünün tersine bakıldığında, sonuç negatif işaretli bir takip eden vektördür.

Bu özellikler sayesinde, vektör ürününün değişmeli olmadığını görebiliyoruz; örneğin, ixj ≠ jx i olduğunu fark etmek yeterlidir. Aşağıdaki özellik bize AxB ve BxA'nın genel olarak nasıl bir ilişki olduğunu anlatır.

Gayrimenkul 2

A ve B R3'ün vektörleri ise, şunları yapmalıyız:

AxB = - (BxA).

gösteri

Eğer A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, harici ürünün tanımına göre:

AxB = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)

= (-1) (a3b2 - a2b3, a1b3 - a3b1, a2b1 - a1b2)

= (- 1) (BxA).

Bu ürünün aşağıdaki örnekle ilişkili olmadığını da gözlemleyebiliriz:

ix (ixj) = ixk = - j ama (ixi) xj = 0xj = 0

Bundan şunu gözlemleyebiliriz:

ix (ixj) ≠ (ixi) xj

Gayrimenkul 3

A, B, C R3'ün vektörleriyse ve r gerçek bir sayıysa, aşağıdaki doğrudur:

- Ax (B + C) = AxB + AxC

- r (AxB) = (rA) xB = Ax (rB)

Bu özellikler sayesinde, vektör ürününü, siparişe uyulması şartıyla cebir yasalarını kullanarak hesaplayabiliriz. Örneğin:

A = (1, 2, 3) ve B = (3, -2, 4) ise, bunları R3'ün kanonik esasına göre yeniden yazabiliriz.

Böylece, A = i + 2j + 3k ve B = 3i - 2j + 4k. Ardından, önceki özellikleri uygulayarak:

AxB = (i + 2j + 3k) x (3i - 2j + 4k)

= 3 (ixi) -2 (ixj) + 4 (ixk) + 6 (jxi) - 4 (jxj) + 8 (jxk) + 9 (kxi) - 6 (kxj) +12 (kxk)

= 3 (0) - 2 (k) + 4 (- j) + 6 (- k) - 4 (0) + 8 (i) + 9 (j) - 6 (- i) +12 (0)

= - 2k - 4j - 6k + 8i + 9j + 6i = 14i + 5j - 4k

= (14, 5, - 8).

Emlak 4 (üçlü skaler ürün)

Başlangıçta belirttiğimiz gibi, vektör ürününün yanı sıra vektörleri çarpmanın başka yolları da var. Bu yollardan biri, A ∙ B olarak gösterilen ve tanımı şu şekilde olan skaler ürün veya iç üründür:

A = (a1, a2, a3) ve B = (b1, b2, b3) ise, A ∙ B = a1b1 + a2b2 + a3b3

Her iki ürünü de ilişkilendiren özellik, üçlü skaler ürün olarak bilinir.

A, B ve C R3'ün vektörleri ise, A ∙ BxC = AxB ∙ C

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin yerine getirildiğini görelim.

BxC = - 3k - 12j + 20k - 16i - 10j - 2i = - 18i - 22j + 17k

A ∙ BxC = (1, 1, - 2) ∙ (- 18, - 22, 17) = (1) (- 18) + (1) (- 22) + (- 2) (17) = - 74

Öte yandan:

AxB = 4k - 2j + 3k + 2i + 6j + 8i = 10i + 4j + 7k

AxB ∙ C = (10, 4, 7) ∙ (- 5, 1, - 4) = (10) (- 5) + (4) (1) + (7) (- 4) = - 74

Diğer bir üçlü ürün, üçlü vektör ürünü olarak bilinen Ax (BxC) 'dir.

Özellik 5 (üçlü vektör ürünü)

A, B ve C R3'ün vektörleri ise, o zaman:

Ax (BxC) = (A ∙ C) B - (A ∙ B) C

Örnek olarak, A = (1, 1, - 2), B = (- 3, 4, 2) ve C = (- 5, 1, - 4) verildiğinde bu özelliğin yerine getirildiğini görelim.

Önceki örnekten BxC = (- 18, - 22, 17) olduğunu biliyoruz. Baltayı (BxC) hesaplayalım:

Ax (BxC) = - 22k - 17j + 18k + 17i + 36j - 44i = - 27i + 19j - 4k

Öte yandan, şunları yapmalıyız:

A ∙ C = (1, 1, - 2) ∙ (- 5, 1, - 4) = (1) (- 5) + (1) (1) + (- 2) (- 4) = - 5 + 1 + 8 = 4

A ∙ B = (1, 1, - 2) ∙ (- 3, 4, 2) = (1) (- 3) + (1) (4) + (- 2) (2) = - 3 + 4 - 4 = - 3

Yani, biz zorundayız:

(A ∙ C) B - (A ∙ B) C = 4 (- 3, 4, 2) + 3 (- 5, 1, - 4) = (- 12, 16, 8) + (- 15, 3, - 12) = (- 27, 19, -4)

Gayrimenkul 6

Vektörlerin geometrik özelliklerinden biridir. A ve B R3’te iki vektör ise ve Θ bunlar arasında oluşan açı ise:

|| AxB || = || A |||| B || sin (Θ), nerede || ∙ || bir vektörün modülünü veya büyüklüğünü belirtir.

Bu özelliğin geometrik yorumu aşağıdaki gibidir:

A = PR ve B = PQ olsun. Daha sonra, vektörler A ve B tarafından oluşturulan açı, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi, RQP üçgeninin P açısıdır.

Bu nedenle, PR ve PQ komşu kenarları olan paralelkenarın alanı || A |||| B || sin (Θ), çünkü temel olarak alabiliriz || A || ve yüksekliği || B || sin (Θ) tarafından verilir.

Bu nedenle, bunu söyleyebiliriz || AxB || söz konusu paralelkenarın alanıdır.

örnek

Aşağıdaki dörtlü P (1, -2, 3), Q (4, 3, -1), R (2, 2, 1) ve S (5, 7, -3) köşeleri göz önüne alındığında, söz konusu kuadrilateralin Bir paralelkenar ve alanını bulur.

Bunun için ilk önce dörtgen kenarların yönünü belirleyen vektörleri belirleriz. Bu:

A = PQ = (1 - 4, 3 + 2, - 1 - 3) = (3, 5, - 4)

B = PR = (2, 1, 2 + 2, 1 - 3) = (1, 4, - 2)

C = RS = (5 - 2, 7 - 2, - 3 - 1) = (3, 5, - 4)

D = QS = (5 - 4, 7 - 3, - 3 + 1) = (1, 4, - 2)

Gördüğümüz gibi, A ve C aynı vektör yönetmenine sahip, bunun için ikimiz de paraleliz; aynı şekilde B ve D'de olduğu gibi. Bu nedenle, PQRS'nin bir paralelkenar olduğu sonucuna vardık.

Söz konusu paralelkenarın alanına sahip olmak için BxA'yı hesaplarız:

BxA = (i + 4j - 2k) x (3i + 5j - 4k)

= 5k + 4j - 12k - 16i - 6j + 10i

= - 6i - 2j - 7k.

Bu nedenle, kare alan şöyle olacaktır:

|| BxA || 2 = (- 6) 2 + (- 2) 2 + (- 7) 2 = 36 + 4 + 49 = 89.

Paralelkenar alanın 89 un karekökü olacağı sonucuna varılabilir.

Gayrimenkul 7

İki A ve B vektörü R3'te, eğer sadece AxB = 0 ise paraleldir

gösteri

A veya B'nin null vektör olması durumunda, AxB = 0 olduğu izlenir. Sıfır vektör başka bir vektöre paralel olduğu için, özellik geçerlidir.

İki vektörden hiçbiri sıfır vektör değilse, onların büyüklüklerinin sıfırdan farklı olduğunu; yani, her ikisi de || A || ≠ || as || ≠ 0, yani || AxB || = 0 ise ve eğer sadece sin (Θ) = 0 ise ve bu ise ve sadece Θ = π veya Θ = 0 ise olur.

Bu nedenle, AxB = 0 olabilir ve eğer sadece Θ = π veya Θ = 0 ise, sadece her iki vektör birbirine paralel olduğunda olur.

Gayrimenkul 8

A ve B R3'te iki vektör ise, AxB hem A hem de B'ye diktir.

gösteri

Bu gösterim için, eğer A ∙ B sıfıra eşitse, iki vektörün dik olduğunu unutmayın. Ayrıca şunu biliyoruz:

A ∙ AxB = AxA ∙ B, ancak AxA 0'a eşittir. Bu nedenle:

A ∙ AxB = 0 ∙ B = 0.

Bununla A ve AxB'nin birbirine dik olduğu sonucuna varabiliriz. Benzer bir şekilde, biz zorundayız:

AxB ∙ B = A ∙ BxB.

BxB = 0 olarak:

AxB ∙ B = A ∙ 0 = 0.

Bu nedenle, AxB ve B birbirlerine diktir ve bununla özellik gösterilmektedir. Bu çok kullanışlıdır, çünkü bir uçağın denklemini belirlememize izin verirler.

Örnek 1

P (1, 3, 2), Q (3, - 2, 2) ve R (2, 1, 3) noktalarından geçen düzlemin bir denklemini elde edin.

A = QR = (2 - 3, 1 + 2, 3 - 2) ve B = PR = (2 - 1, 1 - 3, 3 - 2). Sonra A = - i + 3j + k ve B = i - 2j + k. Bu üç noktadan oluşan düzlemi bulmak için, düzlem için normal olan AxB olan bir vektör bulmak yeterlidir.

AxB = (- i + 3j + k) x (i - 2j + k) = 5i + 2j - k.

Bu vektörle ve P (1, 3, 2) puanını alarak, düzlemin denklemini şu şekilde belirleyebiliriz:

(5, 2, - 1) ∙ (x - 1, y - 3, z - 2) = 5 (x - 1) + 2 (y - 3) - (z - 2) = 0

Dolayısıyla düzlemin denkleminin 5x + 2y - z - 9 = 0 olduğunu biliyoruz.

Örnek 2

P (4, 0, - 2) noktasını içeren ve x - y + z = 0 ve 2x + y - 4z - 5 = 0 düzlemlerinin her birine dik olan düzlemin denklemini bulun.

+ + Cz + d = 0 düzlemine + normal bir vektörün (a, b, c) olduğunu bilerek, biz (1, -1, 1) x - y + z = 0 y (normal) bir vektörümüz olduğunu biliyoruz. 2.1, - 4) normalde 2x + y - 4z - 5 = 0 vektörüdür.

Bu nedenle, istenen düzlem için normal bir vektör (1, -1, 1) ve a (2, 1, - 4) dikey olmalıdır. Bahsedilen vektör:

(1, -1, 1) x (2, 1, -4) = 3i + 6j + 3k.

Daha sonra aranan düzlemin P (4, 0, - 2) noktasını içeren ve normal bir vektör olarak vektöre (3, 6, 3) sahip olduğunu gördük.

3 (x - 4) + 6 (y - 0) + 3 (z + 2) = 0

x + 2y + z - 2 = 0.

uygulamaları

Paralel bir bölmenin hacminin hesaplanması

Üçlü skaler ürüne sahip olan bir uygulama, şekilde gösterildiği gibi, kenarları A, B ve C vektörleri tarafından verilen bir paralel bölmenin hacmini hesaplayabilmektedir:

Bu uygulamayı şu şekilde saptayabiliriz: daha önce söylediğimiz gibi, AxB vektörü A ve B düzlemine normal olan bir vektördür. Ayrıca - vektörünün (AxB) söz konusu düzlem için normal olan başka bir vektör olduğunu aldık.

C vektörüyle en küçük açıyı oluşturan normal vektörü seçiyoruz; genellik kaybı olmadan, AxB'nin C ile açısı en küçük olan vektör olmasına izin verin.

Hem AxB hem de C aynı başlangıç noktasına sahip olduk. Ek olarak, paralel bölmenin tabanını oluşturan paralelkenarın alanının || AxB || olduğunu biliyoruz. Bu nedenle, paralelepip'in yüksekliği h ile verilirse, hacminin şu şekilde olacağına sahibiz:

V = || AxB || s.

Öte yandan, AxB ve C arasındaki skaler ürünü aşağıdaki gibi tanımlanabilir:

Bununla birlikte, trigonometrik özelliklere göre şu h = || C || cos (Θ) değerine sahibiz, bu nedenle:

Bu şekilde:

Genel anlamda, bir paralel bölmenin hacminin üçlü skaler ürün AxB ∙ C'nin mutlak değeri tarafından verildiğini biliyoruz.

Çözülmüş egzersizler

Egzersiz 1

P = (5, 4, 5), Q = (4, 10, 6), R = (1, 8, 7) ve S = (2, 6, 9) puanları göz önüne alındığında, bu noktalar, kenarları paralel bir şekilde oluşturulmuş bunlar PQ, PR ve PS'dir. Söz konusu paralel kutunun hacmini belirleyin.

çözüm

Eğer alırsak:

- A = PQ = (-1, 6, 1)

- B = PR = (-4, 4, 2)

- C = PS = (-3, 2, 2)

Üçlü skaler ürünün özelliğini kullanarak şunları yapmalıyız:

AxB = (-1, 6, 1) x (-4, 4, 2) = (8, -2, 20).

AxB ∙ C = (8, -2, 20) ∙ (-3, 2, 2) = -24 -4 +80 = 52.

Bu nedenle, söz konusu paralel borunun hacminin 52 olduğunu belirledik.

Egzersiz 2

P, Q, R ve S noktalarının (1, 3, 4), (3, 5, 3) olduğu, kenarları A = PQ, B = PR ve C = PS ile verilen paralel bir bölmenin hacmini belirleyin, (2, 1, 6) ve (2, 2, 5) sırasıyla.