Eşkenar üçgen: özellikleri, özellikleri, formülleri ve alanı
Bir eşkenar üçgen, her birinin eşit olduğu üç tarafı olan bir çokgendir; yani, aynı ölçüme sahipler. Bu özellik için ona eşkenar (eşit taraf) adı verildi.
Üçgenler, geometride en basit sayılan poligonlardır, çünkü bunlar üç taraf, üç açı ve üç köşedir. Eşkenar üçgen durumunda, eşit kenarlara sahip olduğu için, üç açısının da eşit olacağını ima eder.
Eşkenar üçgenlerin özellikleri
Eşit taraf
Eşkenar üçgenler, düz çizgiler üç bölümden oluşan düz ve kapalı rakamlardır. Üçgenler, yanlarına ve açılarına göre özelliklerine göre sınıflandırılır; Eşkenar, bir taraf ölçüsü kullanılarak bir parametre olarak sınıflandırılmıştır, çünkü bunlar tamamen aynıdır, yani uyumludurlar.
Eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen için özel bir durumdur, çünkü iki tarafı uyumludur. Bu yüzden tüm eşkenar üçgenler de ikizkenardır, ancak bütün ikizkenar üçgenler eşkenar olmaz.
Bu şekilde, eşkenar üçgenler ikizkenar üçgenin aynı özelliklerine sahiptir.
Eşkenar üçgenler aynı açıda üç tarafı ve üç iç açıya sahip eşkenarlı bir açı üçgeni olarak iç açılarının genliği ile de sınıflandırılabilir. Açıları akut olacak, yani, 90o daha az olacaktır.
bileşenler
Genel olarak üçgenler, onu oluşturan birkaç çizgiye ve noktaya sahiptir. Alanı, kenarları, açıları, medyanı, bisektörü, dik ve yüksekliğini hesaplamak için kullanılırlar.
- Ortanca : Bir tarafın orta noktasından ayrılan ve zıt tepe noktasına ulaşan bir çizgidir. Üç medyan, centroid veya centroid denilen bir noktada buluşuyor.
- Bisektör : Köşelerin açısını eşit büyüklükte iki açıya bölen bir ışındır, bu yüzden simetri ekseni olarak bilinir. Eşkenar üçgenin üç eksen simetrisi vardır.
Eşkenar üçgende, bisektör bir açının tepe noktasından karşıt tarafına çekilerek orta noktasında kesilir. Bu konuda hemfikir incentro denir.
- Dik bisector, bunun ortasında çıkan üçgenin kenarına dik olan bir segmenttir. Üçgenin içinde üç tane arabuluculuk var ve onlar circuncentro denilen bir noktada hemfikir.
- Yükseklik : tepe noktasından zıt tarafa giden çizgidir ve bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin, ortokenter adı verilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır.
özellikleri
Eşkenar üçgenlerin temel özelliği, her iki ikizkenar üçgen olacağıdır, çünkü ikizkenar iki eş taraf ve eşkenar olanlar üçte birdir.
Bu şekilde, eşkenar üçgenler ikizkenar üçgenin tüm özelliklerini miras aldı:
İç açılar
İç açıların toplamı her zaman 180o'ya eşittir ve tüm açıları uyumlu olduğu için, her biri 60o'yu ölçecektir.
Dış açıları
Dış açıların toplamı her zaman 360o'ya eşit olacaktır, bu nedenle her bir dış açı 120o'yu ölçecektir. Bunun nedeni, iç ve dış açıların tamamlayıcı olmasıdır, yani, bunların eklenmesi her zaman 180o'ya eşit olacaktır.
Tarafların toplamı
İki tarafın ölçülerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsünden daha büyük olmalıdır, yani a + b> c, burada a, b ve c her bir tarafın ölçüleridir.
Kongruent tarafları
Eşkenar üçgenlerin üç tarafı aynı ölçü ya da uzunluktadır; yani, onlar uyumlu. Bu nedenle, önceki maddede a = b = c olur.
Kongruent açıları
Eşkenar üçgenler aynı zamanda üçgen üçgenler olarak da bilinir, çünkü üç iç açısı birbiriyle uyumludur. Bunun sebebi, tüm taraflarının da aynı önlemlere sahip olmasıdır.
Bisektör, medyan ve mediatrix çakışıyor
Bisektör, bir üçgenin kenarını iki parçaya böler. Eşkenar üçgenlerde bu taraf iki tam olarak eşit parçaya bölünür, yani üçgen iki uyumlu sağ üçgene bölünür.
Böylece, bir eşkenar üçgenin herhangi bir açısından çekilen bisektör, medyan ve bu açının karşısındaki tarafın bisektörü ile çakışır.
örnek:
Aşağıdaki şekilde ABC üçgenini, yanlarından birini AD ve BD olmak üzere iki bölüme ayıran bir D orta noktası gösterilmektedir.
D noktasından zıt tepe noktasına bir çizgi çizdiğinizde, tanım gereği, C köşesine ve AB tarafına göre olan medyan CD'yi alırsınız.
CD segmenti ABC üçgenini CDB ve CDA'ya eşit iki üçgene böldüğü için, uyum durumu olacağımız anlamına gelir: yan, açı, taraf ve bu nedenle CD de BCD'nin ikilisi olacaktır.
CD segmenti çizildiğinde, köşe açısı 30o iki eşit açıya bölünür, köşe A'nın açısı 60o ölçmeye devam eder ve CD, orta nokta D'ye göre 90o bir açı oluşturur.
Segment CD, ADC ve BDC üçgenleri için aynı ölçüme sahip olan açıları oluşturur, yani, her birinin ölçümünün aşağıdaki şekilde olacağı şekilde tamamlayıcıdırlar:
Orta (ADB) + Orta (ADC) = 180
2 * Med (ADC) = 180 °
Med. (ADC) = 180 ° -2
Med. (ADC) = 90o.
Ve böylece, CD segmentinin aynı zamanda AB tarafının da iki parçasını oluşturduğunu gördük.
Bisder ve yükseklik çakışıyor
İki parçacığı bir açının tepe noktasından diğer tarafın orta noktasına kadar çizdiğinizde, eşkenar üçgeni iki uyumlu üçgene böler.
Öyle ki, 90o (düz) bir açı oluşacak şekilde. Bu, bu çizgi segmentinin o tarafa tamamen dik olduğunu ve tanım gereği bu çizginin yükseklik olacağını gösterir.
Bu şekilde, bir eşkenar üçgenin herhangi bir açısının bisektörü bu açının zıt tarafındaki nispi yüksekliğe denk gelir.
Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter çakışıyor
Yükseklik, ortanca, bisektör ve bisektör aynı anda aynı segment tarafından temsil edildiğinden, eşkenar bir üçgende bu bölümlerin buluşma noktaları - ortosenter, barycenter, incenter ve çevre - aynı noktada olacaktır:
Çevre nasıl hesaplanır?
Bir çokgenin çevresi, kenarların toplamı ile hesaplanır. Bu durumda, eşkenar üçgenin her tarafı aynı ölçüye sahip olduğundan, çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:
P = 3 * tarafı.
Yüksekliği nasıl hesaplanır?
Yükseklik, tabana dik olan çizgi olduğundan, zıt tepe noktasına uzanarak onu iki eşit parçaya böler. Böylece iki eşit sağ üçgen oluşur.
Yükseklik (h) karşı tarafı (a) temsil eder, AC tarafının yarısı bitişik tarafa (b) ve BC tarafı ise hipotenusu (c) temsil eder.
Pisagor teoremini kullanarak, yüksekliğin değerini belirleyebilirsiniz:
a 2 + b 2 = c 2
burada:
a2 = yükseklik (saat)
b2 = yan b / 2.
c2 = a tarafı.
Pisagor teoreminde bu değerleri değiştirmek ve sahip olduğumuz yüksekliği temizlemek:
h2 + ( 1/2 ) 2 = 1 2
h 2 + l 2/4 = l 2
h 2 = l 2 - l 2/4
h 2 = (4 x 12 - 12) / 4
h 2 = 3 * l 2/4
√ s 2 = √ (3 * l 2/4)
Eş tarafların oluşturduğu açı biliniyorsa, yükseklik (bir bacak ile temsil edilir) trigonometrik oranlar uygulanarak hesaplanabilir.
Referans olarak alınan açıya bağlı olarak bacaklar ters veya bitişik olarak adlandırılır.
Örneğin, önceki şekilde h katetusu h, C açısının karşısına gelecek, ancak B açısına bitişik olacaktır:
Böylece, yükseklik ile hesaplanabilir:
Taraflar nasıl hesaplanır?
Üçgenin kenarlarının ölçümlerinin bilinmediği, ancak yüksekliklerinin ve köşelerinde oluşan açıların olduğu durumlar vardır.
Bu durumlarda alanı belirlemek için trigonometrik oranların uygulanması gerekir.
Köşelerinin birinin açısını bilerek, bacaklar tanımlanır ve karşılık gelen trigonometrik oran kullanılır:
Bu nedenle, AB bacağı, C açısının karşısına gelecek, ancak A açısına bitişik olacaktır, yüksekliğe karşılık gelen tarafa veya ayağa bağlı olarak, diğer taraf, bunun bir eşkenar üçgen içinde olduğunu bilerek, bunun değerini elde etmek için temizlenir taraflar her zaman aynı önlemi alır.
Alan nasıl hesaplanır?
Üçgenin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, tabanın yüksekliği ile çarpılır ve ikiye bölünür:
Alan = (b * s) ÷ 2
Yüksekliğin formülle verildiğini bilmek:
eğitim
İlk egzersiz
Eşkenar üçgen ABC'nin kenarları her biri 20 cm ölçer. Bu çokgenin yüksekliğini ve alanını hesaplayın.
çözüm
Eşkenar üçgenin alanını belirlemek için, çizerken, üçgeni iki eşit sağ üçgene böldüğünü bilerek, yüksekliği hesaplamak gerekir.
Bu şekilde Pisagor teoremi onu bulmak için kullanılabilir:
a 2 + b 2 = c 2
burada:
a = 20/2 = 10 cm.
b = yükseklik
c = 20 cm
Teoremdeki veriler değiştirilir:
102 + b 2 = 202
100 cm + b 2 = 400 cm
b 2 = (400 - 100) cm
b 2 = 300cm
b = √300 cm
b = 17, 32 cm.
Yani, üçgenin yüksekliği 17, 32 cm'ye eşittir. Şimdi verilen üçgenin alanını formülde yer alarak hesaplamak mümkündür:
Alan = (b * s) ÷ 2
Alan = (20 cm * 17, 32 cm) ÷ 2
Alan = 346, 40 cm2 ÷ 2
Alan = 173.20 cm2.
Egzersizi çözmenin bir diğer basit yolu, verileri, alanın doğrudan formülündeki yerine koymaktır; burada yüksekliğin değeri de örtük olarak bulunur:
İkinci alıştırma
Eşkenar üçgen şeklinde bir arazide çiçekler dikilir. Bu alanın çevresi 450 m'ye eşitse, çiçeklerin kapladığı metrekare sayısını hesaplayın.
çözüm
Bir üçgenin çevresinin üç tarafının toplamına karşılık geldiğini ve arazinin eşkenar bir üçgen şeklinde olduğunu bildiğinden, bu üçgenin üç tarafı aynı ölçü veya uzunluğa sahip olacaktır:
P = yan + yan + yan = 3 * l
3 x 1 = 450 m.
l = 450 m ÷ 3
1 = 150 m.
Şimdi sadece bu üçgenin yüksekliğini hesaplamak gerekir.
Yükseklik, üçgeni iki uyumlu sağ üçgene böler, burada bacaklardan biri yüksekliği ve tabanın diğer yarısını temsil eder. Pisagor teoremi ile yükseklik belirlenebilir:
a 2 + b 2 = c 2
burada:
a = 150 m ÷ 2 = 75 m.
c = 150 m.
b = yükseklik
Teoremdeki veriler değiştirilir:
(75 m) 2 + b2 = (150 m) 2
5.625 m + b 2 = 22.500 m
b 2 = 22, 500 m - 5, 625 m
b 2 = 16, 875 m
b =, 816, 875 m
b = 129, 90 m.
Böylece çiçekleri işgal edecek alan şöyle olacaktır:
Alan = b * s ÷ 2
Alan = (150 m * 129, 9 m) ÷ 2
Alan = (19.485 m2) ÷ 2
Alan = 9, 742, 5 m2
Üçüncü egzersiz
Eşkenar ABC üçgeni, tepe noktasından (C) karşı taraftaki (AB) orta nokta D'ye giden bir çizgi parçasına bölünür. Bu bölüm 62 metredir. Bu eşkenar üçgenin alanını ve çevresini hesaplayın.
çözüm
Eşkenar üçgenin yüksekliğe tekabül eden bir çizgi parçası ile bölündüğünü, iki uygun sağ üçgen oluşturduğunu bilerek, bu sırasıyla tepe C'nin açısını da her biri aynı ölçü ile iki açıya böler.
Yükseklik, AB segmentine göre 90o'luk bir açı oluşturur ve A tepe noktasının açısı, 60o ölçecektir.
Daha sonra 30o açısını referans olarak kullanarak, yükseklik CD'si açıyla bitişik bir bacak ve bir hipotenüs olarak BC olarak ayarlanır.
Bu verilerden, trigonometrik oranlar kullanılarak, üçgenin kenarlarından birinin değeri belirlenebilir:
Eşkenar üçgende olduğu gibi, bütün taraflar tam olarak aynı ölçüme veya uzunluğa sahiptir, bu da eşkenar üçgeninin her iki tarafının da 71.6 metreye eşit olduğu anlamına gelir. Bunu bilerek, bölgenizi belirlemek mümkündür:
Alan = b * s ÷ 2
Alan = (71.6 m * 62 m) ÷ 2
Alan = 4, 438, 6 m2 ÷ 2
Alan = 2, 219, 3 m2
Çevre üç tarafın toplamı ile verilmiştir:
P = yan + yan + yan = 3 * l
P = 3 * l
P = 3 * 71, 6 m
P = 214, 8 m.
