Paralepiped: özellikleri, çeşitleri, alan, hacim

Paralel yüzlü, altı yüzün oluşturduğu geometrik bir gövde olup, temel özelliği tüm yüzlerinin paralelkenar olması ve aynı zamanda zıt yüzlerinin birbirine paralel olmasıdır. Günlük yaşamımızda sıkça rastlanan bir polihedrondur, çünkü ayakkabı kutularında, bir tuğlada, bir mikrodalgada, vb'de bulabiliriz.

Bir polihedron olan, paralel uçlu, sonlu bir hacmi çevreler ve bütün yüzleri düzdür. Tüm köşelerinin iki paralel düzlemde bulunduğu polyhedra olan prizma grubunun bir parçasını oluşturur.

Paralel panelin Elemanları

Caras

Paralel uçları sınırlayan paralelkenarların oluşturduğu bölgelerin her biridir. Paralel yüzeyin altı yüzü vardır; burada her yüz dört bitişik yüze ve bir zıt yüzeye sahiptir. Ek olarak, her bir yüz tersi ile paraleldir.

Aristas

İki yüzün ortak yanıdır. Toplamda, bir paralel bölme on iki kenara sahiptir.

tepe

İki ya da iki birbirine bitişik üç yüzün ortak noktasıdır. Paralel bir bölmenin sekiz köşesi vardır.

diyagonal

Paralel yüzün iki zıt tarafı göz önüne alındığında, bir yüzün tepesinden diğerinin köşesine uzanan bir çizgi parçası çizebiliriz.

Bu bölüm, paralel bölmenin köşegeni olarak bilinir. Her bir paralel bölmede dört köşegen vardır.

merkez

Tüm köşegenlerin kesiştiği nokta.

Paralel panelin özellikleri

Bahsettiğimiz gibi, bu geometrik gövdenin on iki kenarı, altı yüzü ve sekiz köşesi vardır.

Paralel bir bölmede, birbirine paralel dört kenardan oluşan üç kümeyi tanımlayabilirsiniz. Ek olarak, bu setlerin kenarları aynı uzunluğa sahip olma özelliğini de yerine getirir.

Paralel boruların sahip oldukları bir başka özellik, dışbükey olmalarıdır, yani paralepiponun iç kısmına ait herhangi bir çift nokta alırsak, söz konusu nokta çiftinin belirlediği bölüm de paralel yüzün içinde olacaktır.

Ek olarak dışbükey dışbükey polihedra olan paralel yüzler, bize yüz sayısı, kenar sayısı ve köşe sayısı arasında bir ilişki veren Euler'in polyhedra teoremine uygundur. Bu ilişki aşağıdaki denklem formunda verilir:

C + V = A + 2

Bu özellik Euler özelliği olarak bilinir.

C yüz sayısı, V ise köşe sayısı ve A kenar sayısı.

tip

Paralel parçaları, yüzlerine göre aşağıdaki türlerde sınıflandırabiliriz:

küboid

Yüzlerinin altı dikdörtgenden oluştuğu paraleliperlerdir. Her dikdörtgen kenar paylaştığımıza diktir. Günlük yaşamımızda en yaygın olanları, ayakkabı kutuları ve tuğlaların olağan şeklidir.

Küp veya normal altı yüzlü

Bu, önceki yüzeyin her birinin bir kare olduğu belirli bir durumdur.

Küp ayrıca platonik katı denilen geometrik gövdelerin bir parçasıdır. Platonik bir katı bir dışbükey polihedrondur, böylece hem yüzleri hem de iç açıları birbirine eşittir.

romboedro

Yüzünde elmas bulunan bir paralelliktir. Bu elmaslar, kenarları paylaştıkça birbirlerine eşittir.

Romboiedro

Altı yüzü eşkenar dörtgendir. Bir eşkenar dörtgen, dört tarafı ve iki ila iki eşit dört açıları olan bir çokgen olduğunu hatırlayın. Eşkenar dörtgenler ne kare ne de dikdörtgen, ne eşkenar dörtgen olan paralelkenarlardır.

Öte yandan, eğik paralel yataklar, en az bir yüksekliğin kenarı ile aynı fikirde olmayanlarıdır. Bu sınıflandırmada, eşkenar dörtgen ve eşkenar dörtgenleri içerebilir.

Köşegen hesaplama

Bir ortohedronun köşegenini hesaplamak için R3 için Pisagor Teoremini kullanabiliriz.

Bir ortohedronun, her bir tarafın kenarı paylaşan taraflara dik olma özelliğine sahip olduğunu hatırlayın. Bu durumdan, her kenarın tepe noktası paylaşanlar ile dik olduğunu tespit edebiliriz.

Bir ortohedronun köşegeninin uzunluğunu hesaplamak için şu şekilde ilerleriz:

1. Dayanacağımız yüzlerden birinin köşegenini hesaplıyoruz. Bunun için Pisagor teoremini kullanıyoruz. Bu köşegene isim verin d _b .

2. Daha sonra d _b ile yeni bir dik üçgen oluşturabiliriz, öyle ki bu üçgenin hipotermi, diyagonal D aranandır.

3. Pisagor teoremini tekrar kullanıyoruz ve bu köşegenin uzunluğunun şöyle olduğuna sahibiz:

Köşegenleri daha grafik bir şekilde hesaplamanın bir başka yolu, serbest vektörlerin toplamıdır.

B vektörünün kuyruğunu A vektörünün ucuyla yerleştirerek iki serbest A ve B vektörünün eklendiğini hatırlayın.

Vektör (A + B), A'nın kuyruğunda başlayıp B'nin ucunda bitendir.

Bir köşegen hesaplamak istediğimiz bir paralel bölmeyi düşünün.

Kenarları rahatça yönlendirilmiş vektörlerle tanımlarız.

Sonra bu vektörleri ekleriz ve ortaya çıkan vektör de paralel yüzün köşegeni olacaktır.

alan

Paralel bir bölge yüzlerinin her birinin toplamı tarafından verilir.

Taraflardan birini üs olarak belirlersek,

A _L + 2A _B = Toplam Alan

A _L, tabana bitişik tüm tarafların alanlarının toplamına eşittir, yanal alan olarak adlandırılır ve A _B, tabanın alanıdır.

Çalıştığımız paralel tipin türüne bağlı olarak, formülü yeniden yazabiliriz.

Bir ortohedronun alanı

Bu formül tarafından verilir

A = 2 (ab + bc + ca).

Örnek 1

Aşağıdaki ortohedron göz önüne alındığında, kenarları a = 6 cm, b = 8 cm ve c = 10 cm olacak şekilde paralel yüzün alanını ve köşegenin uzunluğunu hesaplayın.

Bir ortohedron alanı için formülü kullanmak zorundayız.

A = 2 [(6) (8) + (8) (10) + (10) (6)] = 2 [48 + 80 + 60] = 2 [188] = 376 cm2.

Bir ortohedron olduğundan, dört köşegeninin herhangi birinin uzunluğunun aynı olduğuna dikkat edin.

Pisagor teoremini uzay için kullanmak

D = (62 + 82 + 102) 1/2 = (36 + 64 + 100) 1/2 = (200) 1/2

Bir küpün alanı

Her kenar aynı uzunluğa sahip olduğundan, biz bir = bya = c olur. Önceki formüldeki yerine geçme

A = 2 (aa + aa + aa) = 2 (3a2) = 6a2

A = 6a2

Örnek 2

Oyun konsolunun kutusu küp şeklindedir. Bu kutuyu hediye kağıdına sarmak istersek, küpün kenarlarının uzunluğunun 45 cm olduğunu bilmek için ne kadar kağıt harcardık?

Küp alanı formülünü kullanarak bunu elde ediyoruz.

A = 6 (45 cm) 2 = 6 (2025 cm2) = 12150 cm2

Bir rhombohedron alanı

Tüm yüzleri eşit olduğundan, onlardan birinin alanını hesaplamak ve altı ile çarpmak yeterlidir.

Bir elmasın alanını çaprazlarını kullanarak aşağıdaki formülle hesaplayabiliriz.

A _R = (Dd) / 2

Bu formül kullanılarak, rhombohedronun toplam alanının

A _T = 6 (Dd) / 2 = 3Bd.

Örnek 3

Aşağıdaki eşkenar dörtgenin yüzleri, köşegenleri D = 7 cm ve d = 4 cm olan bir eşkenar dörtgen tarafından oluşturulur. Alanınız olacak

A = 3 (7 cm) (4 cm) = 84 cm2.

Eşkenar dörtgen alanı

Bir eşkenar dörtgen bölgesini hesaplamak için onu oluşturan eşkenar dörtgen alanını hesaplamamız gerekir. Paralel bağlantılar, karşı tarafların aynı alana sahip olma özelliğine uyması nedeniyle, tarafları üç çift halinde birleştirebiliriz.

Böylece bölgeniz orası olacak

A _T = 2b ₁ sa ₁ + 2b ₂ sa ₂ + 2b ₃ sa ₃

B _i, taraflara bağlı bazlar ve h, söz konusu bazlara karşılık gelen nispi yükseklikleridir.

Örnek 4

Aşağıdaki paralel kurmayı düşünün,

buradaki A tarafı ve A 'tarafı (karşıt tarafı) b = 10 tabanına ve h = 6 yüksekliğine sahiptir. İşaretli alan değeri

A ₁ = 2 (10) (6) = 120

B ve B 'b = 4 ve h = 6, sonra

A2 = 2 (4) (6) = 48

YC ve C ', b = 10 ve h = 5'tir, yani

A ₃ = 2 (10) (5) = 100

Sonunda, rhombohedron alanı

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Paralel uçlu birimin hacmi

Paralel uçlu birimin hacmini veren formül, yüzlerinden birinin alanının, o yüze karşılık gelen yüksekliğe göre ürünüdür.

V = A _C h _C

Paralel montaj tipine bağlı olarak, bahsedilen formül basitleştirilebilir.

Bu nedenle, örneğin bir ortohedronun hacminin "

V = abc

A, b ve c'nin ortohedronun kenarlarının uzunluğunu temsil ettiği durumlarda.

Ve küpün özel durumunda

V = a3

Örnek 1

Çerez kutuları için üç farklı model vardır ve bu modellerden hangisinde daha fazla çerez saklayabileceğinizi, yani hangi kutularda daha fazla hacim bulunduğunu bilmek istiyorsunuz.

Birincisi, kenarının uzunluğu = 10 cm olan bir küp.

Hacmi V = 1000 cm3 olacaktır

İkincisi kenarları b = 17 cm, c = 5 cm, d = 9 cm

Bu nedenle hacmi V = 765 cm3'tür.

Üçüncüsü e = 9 cm, f = 9 cm ve g = 13 cm

Ve hacmi V = 1053 cm3

Bu nedenle, en yüksek hacimli kutu üçüncü.

Paralel bir bölmenin hacmini elde etmenin bir başka yöntemi, vektör cebirine başvurmaktır. Özellikle, üçlü skaler ürün.

Üçlü skaler ürüne sahip olan geometrik yorumlardan biri, kenarları başlangıç ​​noktasıyla aynı tepe noktasını paylaşan üç vektör olan paralel uçlu hacminin hacmidir.

Bu yolla eğer bir paralel paketimiz varsa ve hacminin ne olduğunu bilmek istiyorsak, köşelerinden birini kökeniyle eşleştirerek onu R3'de bir koordinat sisteminde göstermek yeterlidir.

Daha sonra, şekilde gösterildiği gibi vektörlerle kaynağında uyuşan kenarları temsil ediyoruz.

Ve bu şekilde, söz konusu paralel besleme hacminin

V = | AxB ∙ C |

Veya eşit olarak hacim, kenar vektörlerinin bileşenleri tarafından oluşturulan 3 x 3 matrisinin determinantıdır.

Örnek 2

R3'te aşağıdaki paralel metinleri temsil ederek, onu belirleyen vektörlerin aşağıdaki olduğunu görebiliriz.

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) ve w = (-0.25, -4, 4)

Üçlü skaler ürünü kullanarak

V = | (uxv) ∙ w |

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0, 0, - 15)

(uxv) ∙ w = (0, 0, - 15) ∙ (-0.25, -4, 4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = - 60

Bundan V = 60 sonucunu çıkardık

Şimdi, kenarları vektörler tarafından belirlenen R3'te aşağıdaki paralel kutupluları dikkate alın.

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) ve C = (3, 4, 4)

Belirleyicileri kullanmak bize

Bu yüzden, söz konusu paralel kafanın hacminin 112 olduğunu belirledik.

Her ikisi de hacmi hesaplamanın eşdeğer yoludur.

Mükemmel paralelepiped

Euler'in tuğlası (veya Euler bloğu), hem kenarlarının uzunluğunun hem de yüzlerinin her birinin köşegenlerinin uzunluğunun tamsayı olması özelliğini sağlayan bir ortodron olarak bilinir.

Euler bu özelliği yerine getiren ortohedronları inceleyen ilk bilim adamı olmasa da, onlar hakkında ilginç sonuçlar buldu.

Daha küçük Euler tuğla Paul Halcke tarafından keşfedilmiştir ve kenarlarının uzunlukları a = 44, b = 117 ve c = 240'dır.

Sayı teorisinde açık bir problem aşağıdaki gibidir

Mükemmel ortohedronlar var mı?

Şu anda, bu soruların cevaplanamaması nedeniyle, bu organların var olmadığını ispatlamak mümkün olmadı, ancak ikisi de bulunamadı.

Şimdiye kadar gösterilmiş olan şey, mükemmel paralelpiplerin var olduğu. İlk keşfedilen, 103, 106 ve 271 değerleridir.

kaynakça

1. Guy, R. (1981). Sayı teorisinde çözülemeyen problemler. Springer.
2. Landaverde, F. d. (1997). Geometria. İlerleme.
3. Leithold, L. (1992). Analitik Geometri ile HESAPLAMA. HARLA, SA
4. Rendon, A. (2004). Teknik resim: Etkinlik kitabı 3 2. Bakalorya. Tebar.
5. Resnick, R., Halliday, D. ve Krane, K. (2001). Fizik Cilt 1. Meksika: Continental.