Laplace dönüşümü: tanımı, tarihçesi, ne için, özellikleri

Laplace'in dönüşümü son yıllarda mühendislik, matematik, fizik, diğer bilimsel alanların çalışmalarında büyük önem taşımaktadır, çünkü teorik olarak büyük ilgi görmenin yanı sıra, ortaya çıkan sorunları çözmenin basit bir yolunu sunmaktadır. bilimler ve mühendislik.

Başlangıçta Laplace dönüşümü, olasılık teorisi konusundaki çalışmasında Pierre-Simon Laplace tarafından sunulmuş ve başlangıçta yalnızca teorik olarak ilgilenilen matematiksel bir nesne olarak ele alınmıştır.

Güncel uygulamalar, çeşitli matematikçiler, Heaviside tarafından elektromanyetik teori denklemlerinin çalışmasında kullanılan "operasyonel kurallara" resmi bir gerekçe göstermeye çalıştıklarında ortaya çıkmaktadır.

tanım

F t ≥ 0 için tanımlanmış bir fonksiyon olsun. Laplace dönüşümü aşağıdaki gibi tanımlanır:

Bir önceki integral yakınsaksa, Laplace Dönüşümünün var olduğu söylenir, aksi takdirde Laplace dönüşümünün olmadığı söylenir.

Genel olarak, birinin dönüştürmek istediği işlevi belirtmek için, küçük harfler kullanılır ve büyük harfler dönüşümüne karşılık gelir. Bu şekilde:

Örnekler

F (t) = 1 sabit fonksiyonunu dikkate alın. Dönüşümünün şu şekilde olduğuna sahibiz:

İntegral birleştiğinde her zaman s> 0 olması sağlanır. Aksi takdirde, s <0, integral değişir.

G (t) = t olsun. Laplace dönüşümünüz tarafından verilir

Parçalar ile bütünleşirken ve te-st'in sonsuzluğa ve s> 0 düştüğü zaman 0'a gittiğini bilirken, önceki örneğimizde:

Dönüşüm olabilir veya olmayabilir, örneğin f (t) = 1 / t işlevi için onun Laplace dönüşümünü tanımlayan integral birleşmez ve bu nedenle dönüşümü yoktur.

Bir f fonksiyonunun Laplace dönüşümünün mevcut olduğunu garanti etmek için yeterli koşullar, f'nin ≥ 0 için parçalar halinde sürekli olmasıdır ve üstel sıradır.

Bir fonksiyonun t ≥ 0 için parçalarla sürekli olduğu söylenir, a> 0 olan herhangi bir aralıkta [a, b] herhangi bir süre için, f'nin süreksizlik gösterdiği ve her alt ara birimde sürekli olduğu t _k sınırsız sayıda nokta olduğu söylenir. _k-1, _tk ].

Öte yandan, eğer M> 0, c ve T> 0 gerçek sabitleri varsa, bir fonksiyonun üstel sıra c olduğu söylenir:

Örnekler olarak, f (t) = t2 üstel bir düzendedir, çünkü | t2 | <t3 için tüm t> 0.

Resmi bir şekilde aşağıdaki teorem var

Teorem (Varoluş için yeterli koşullar)

F, t> 0 ve üstel sıra c için sürekli bir fonksiyon ise, s> c için Laplace dönüşümü vardır.

Bunun bir yeterlilik şartı olduğunu vurgulamak önemlidir, yani, bu şartları yerine getirmeyen bir fonksiyonun olması ve hatta Laplace dönüşümü var olduğu durumda olabilir.

Bunun bir örneği, t ≥ 0 için parçalarda sürekli olmayan f (t) = t-1/2 işlevidir ancak Laplace dönüşümü vardır.

Bazı temel fonksiyonların Laplace dönüşümü

Aşağıdaki tabloda en yaygın fonksiyonların Laplace dönüşümleri gösterilmektedir.

tarih

Laplace dönüşümü, adını 1749'da doğup 1827'de ölen matematikçi ve Fransız teorik astronomu Pierre-Simon Laplace'e borçludur. Şöhreti Fransa'nın Newton'u olarak biliniyordu.

1744'te Leonard Euler çalışmalarını formla bütünleştirmeye adadı

Adi diferansiyel denklemlerin çözümü olarak, ancak bu soruşturmayı hemen terk etti. Daha sonra, Euler'e hayranlık duyan Joseph Louis Lagrange da bu tür integralleri araştırdı ve onları olasılık teorisi ile ilişkilendirdi.

1782, Laplace

1782'de Laplace bu integralleri diferansiyel denklemlerin çözümü olarak incelemeye başladı ve tarihçilere göre, 1785 yılında daha sonra bugün anlaşıldığı gibi Laplace dönüşümlerini doğuran sorunu yeniden düzenlemeye karar verdi.

Olasılık teorisi alanına girdikten sonra, zamanın bilim insanlarına ilgisi çok azdı ve yalnızca teorik olarak ilgilenilen matematiksel bir nesne olarak görüldü.

Oliver Heaviside

On dokuzuncu yüzyılın ortalarında İngiliz mühendis Oliver Heaviside, diferansiyel operatörlerin cebirsel değişkenler olarak değerlendirilebileceğini keşfetti ve böylece Laplace dönüşümlerine modern uygulamalarını verdi.

Oliver Heaviside, 1850'de Londra'da doğan ve 1925'te ölen bir İngiliz fizikçi, elektrik mühendisi ve matematikçiydi. Titreşim teorisine uygulanan ve Laplace'in çalışmalarını kullanarak diferansiyel denklem problemlerini çözmeye çalışırken, Laplace dönüşümlerinin modern uygulamaları.

Heaviside tarafından sergilenen sonuçlar, zamanın bilim dünyasında hızla yayıldı, ancak titiz olmayan çalışmaları, daha geleneksel matematikçiler tarafından hızla eleştirildi.

Bununla birlikte, Heaviside'nin fizik denklemlerini çözme çalışmalarındaki faydası, yöntemlerini fizikçiler ve mühendisler arasında popüler yaptı.

Bu aksamalara rağmen ve on yıllarca süren başarısız girişimlerden sonra, 20. yüzyılın başında, Heaviside tarafından verilen operasyonel kurallara sıkı bir gerekçe gösterilebilir.

Bu girişimler, Bromwich, Carson, van der Pol gibi çeşitli matematikçilerin çabaları sayesinde diğerlerini buldu.

özellikleri

Laplace dönüşümünün özellikleri arasında aşağıdakiler göze çarpıyor:

doğrusallık

C1 ve c2'nin sabit olmasına ve sırasıyla Laplace dönüşümleri F (s) ve G (s) olan f (t) ve g (t) fonksiyonlarına izin verin, sonra şunları yapmalıyız:

Bu özellik nedeniyle Laplace dönüşümünün doğrusal bir operatör olduğu söylenir.

örnek

İlk çeviri teoremi

Bu olursa:

Ve 'a' herhangi bir gerçek sayıdır, o zaman:

örnek

Cos Laplace dönüşümü olarak (2t) = s / (s ^ 2 + 4):

İkinci çeviri teoremi

eğer

sonra

örnek

Eğer f (t) = t ^ 3 ise F (s) = 6 / s ^ 4 olur. Ve bu nedenle, dönüşüm

G (s) = 6e-2s / s ^ 4

Ölçek değişimi

eğer

Ve 'a' sıfır olmayan bir gerçektir.

örnek

F (t) = sin (t) 'nin dönüşümü F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1) olduğundan

türevlerin Laplace rekonstrüksiyonu

Eğer f, f ', f' ', ..., f (n) t ≥ 0 için sürekli ve üstel bir sıradaysa ve f (n) (t) t ≥ 0 için olan kısımlarda sürekli ise, o zaman

İntegrallerin Laplace dönüşümü

eğer

sonra

Tn ile çarpma

Mecbur kalırsak

sonra

T ile bölün

Mecbur kalırsak

sonra

Periyodik fonksiyonlar

F, T> 0 periyodu ile periyodik bir fonksiyon olsun, yani, f (t + T) = f (t), sonra

Sonsuzluğa eğilim gösterdiğinde F (ler) in davranışı

F parçalarda ve üstel sırada sürekli ise ve

sonra

Ters dönüşümler

Laplace dönüşümünü f (t) fonksiyonuna uyguladığımızda, bu dönüşümü temsil eden F (ler) i elde ederiz. Aynı şekilde f (t) nin F (ler) in ters Laplace dönüşümü olduğunu ve şöyle yazıldığını söyleyebiliriz.

Laplace dönüşümlerinin f (t) = 1 ve g (t) = t değerlerinin sırasıyla F (s) = 1 / s ve G (s) = 1 / s2 olduğunu biliyoruz, bu nedenle

Bazı yaygın ters Laplace dönüşümleri aşağıdaki gibidir

Ek olarak, ters Laplace dönüşümü doğrusaldır, yani,

egzersiz

bulmak

Bu alıştırmayı çözmek için, F (ler) i önceki tablolardan biriyle eşleştirmeliyiz. Bu durumda bir + 1 = 5 alırsak ve ters dönüşümün doğrusallık özelliğini kullanırsak, çarparak 4 ile bölüşürüz! alma

İkinci ters dönüşüm için F (s) fonksiyonunu yeniden yazmak için kısmi kesirler uygular ve sonra lineerite özelliğini elde ederiz.

Bu örneklerden görebileceğimiz gibi, değerlendirilen F (s) fonksiyonunun tabloda verilen fonksiyonların hiçbiriyle tam olarak uyuşmadığı yaygındır. Bu durumlarda, gözlemlendiği gibi, uygun forma erişene kadar fonksiyonu yeniden yazmak yeterlidir.

Laplace dönüşümünün uygulamaları

Diferansiyel denklemler

Laplace dönüşümlerinin temel uygulaması diferansiyel denklemleri çözmektir.

Bir türev dönüşümünün özelliğini kullanarak olduğu açıktır

Ve n = 1 türevlerinde t = 0'da değerlendirildi.

Bu özellik dönüşümü, sabit katsayılı diferansiyel denklemlerin bulunduğu başlangıç değer problemlerinin çözümü için çok faydalı kılar.

Aşağıdaki örnekler, diferansiyel denklemleri çözmek için Laplace dönüşümünün nasıl kullanılacağını göstermektedir.

Örnek 1

Aşağıdaki başlangıç değeri sorunu göz önüne alındığında

Çözümü bulmak için Laplace dönüşümünü kullanın.

Laplace dönüşümünü diferansiyel denklemin her üyesine uygularız.

Bir türevinin dönüşüm özelliği için biz var

Tüm ifadeyi geliştirerek ve temizleyerek Ve kaldı

Denklemin sağ tarafını yeniden yazmak için kısmi kesirler kullanarak

Son olarak hedefimiz, diferansiyel denklemi karşılayan y (t) fonksiyonunu bulmaktır. Ters Laplace dönüşümünü kullanmak bize sonucu verir.

Örnek 2

çözmek

Önceki durumda olduğu gibi, denklemin her iki tarafına da dönüşümü uyguladık ve terime ayrı ayrı terim uyguladık.

Bu şekilde bir sonucumuz var.

Verilen başlangıç değerleriyle yer değiştirme ve Y (ler) i temizleme

Basit kesirler kullanarak denklemi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz

Ve Laplace'in ters dönüşümünü uygulamak bize bir sonuç verir.

Bu örneklerde, bu yöntemin diferansiyel denklemleri çözmek için kullanılan geleneksel yöntemlerden daha iyi olmadığı sonucuna varılabilir.

Laplace dönüşümünün sunduğu avantajlar, parametre varyasyonunun kullanılmasının gerekmediği veya belirsiz katsayı yönteminin çeşitli durumları için endişe duymamasıdır.

Başlangıç değeri problemlerini bu yöntemle çözmenin yanı sıra, başlangıçtan itibaren başlangıç koşullarını kullanırız, bu nedenle belirli bir çözümü bulmak için başka hesaplamalar yapmak gerekli değildir.

Diferansiyel denklem sistemleri

Laplace dönüşümü, aşağıdaki örnekte gösterildiği gibi eşzamanlı adi diferansiyel denklemlerin çözümlerini bulmak için de kullanılabilir.

örnek

çözmek

Başlangıç koşullarında x (0) = 8 ey (0) = 3.

Mecbur kalırsak

sonra

İçimizdeki sonuçları çözme

Ve Laplace ters dönüşümünü uygularken

Mekanik ve elektrik devreleri

Laplace dönüşümü, temel olarak mekanik ve elektrik devreleri için uygulamalara sahip olan fizikte büyük öneme sahiptir.

Basit bir elektrik devresi aşağıdaki elemanlardan oluşur

Bir anahtar, bir batarya veya kaynak, bir indüktör, bir direnç ve bir kapasitör. Anahtar kapatıldığında, i (t) ile gösterilen bir elektrik akımı üretilir. Kapasitör yükü q (t) ile gösterilir.

Kirchhoff'un ikinci yasasına göre, E kaynağı tarafından kapalı devre için üretilen voltaj, voltaj düşüşlerinin her birinin toplamına eşit olmalıdır.

Elektrik akımı i (t), kapasitördeki q (t) yüküyle i = dq / dt ile ilgilidir. Öte yandan, voltaj düşüşü elemanların her birinde aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Bir dirençteki voltaj düşüşü iR = R (dq / dt)

Bir indüktördeki voltaj düşüşü L (di / dt) = L (d2q / dt2).

Bir kapasitördeki voltaj düşüşü q / C'dir

Bu verilerle ve ikinci Kirchhoff yasasını kapalı basit devreye uygulayarak, sistemi tanımlayan ve q (t) değerini belirlememize izin veren ikinci dereceden bir diferansiyel denklem elde edilir.

örnek

Bir indüktör, kapasitör ve bir direnç, şekilde gösterildiği gibi bir aküye E bağlanır. İndüktör 2 tavşana, 0.02 faradlı kapasitöre ve 16 onhm'luk dirence sahiptir. T = 0 zamanında devre kapalı. E = 300 volt ise yük ve akımı istediğiniz zaman> t> 0 olarak bulun.