Chebyshov Teoremi: İçerdiği Neler, Uygulamalar ve Örnekler

Chebyshov teoremi (veya Chebyshov'un eşitsizliği) olasılık teorisinin en önemli klasik sonuçlarından biridir. Bize, rastgele değişkenin dağılımına bağlı olmayan, ancak X'in varyansına bağlı olmayan bir boyut sağlayarak, rastgele bir X değişkeninde açıklanan bir olasılığın tahmin edilmesini sağlar.

Teorem, bu teoremi ilk kez tanıtan ilk kişi olmamasına rağmen, 1867 yılında ilk kez gösteri yapan ilk kişi olan Rus matematikçi Pafnuty Chebyshov'un (ayrıca Chebychev veya Tchebycheff olarak da yazılır) onuruna verildi.

Bu eşitsizlik ya da özelliklerine göre Chebyshov eşitsizliği olarak adlandırılanlar, boyutların hesaplanması yoluyla esas olarak yaklaşık olasılıklara kullanılır.

Nelerden oluşur?

Olasılık teorisi çalışmasında, rastgele bir X değişkeninin dağılım fonksiyonunu biliyorsanız, beklenen değerini - veya matematiksel beklentisini E (X) - ve varyansını Var (X) olarak hesaplayabiliriz. söz konusu miktarlar var. Bununla birlikte, karşılıklılık mutlaka doğru değildir.

Yani, E (X) ve Var (X) 'ı bilmek, X'in dağılım fonksiyonunu elde etmenin mutlaka mümkün olmadığından, bazı k> 0 için P (| X |> k) gibi miktarların elde edilmesi çok zordur. Ancak Chebyshov'un eşitsizliği sayesinde rastgele değişkenin olasılığını tahmin etmek mümkündür.

Chebyshov teoremi bize p olasılık fonksiyonuyla p örneklem uzayında rastgele bir X değişkenimiz varsa ve k> 0 ise o zaman şunu söyler:

Uygulamalar ve örnekler

Chebyshov teoreminin sahip olduğu birçok uygulama arasında aşağıdakilerden bahsedilebilir:

Olasılıkların sınırlandırılması

Bu en yaygın uygulamadır ve P (| XE (X) | ≥k) için bir üst sınır vermek için kullanılır; burada k> 0, olasılık fonksiyonunu bilmeden X'in rastgele değişkeninin varyansı ve beklentisi ile .

Örnek 1

Bir şirkette bir hafta boyunca üretilen ürün sayısının ortalama 50 olan rastgele bir değişken olduğunu varsayalım.

Bir üretim haftasındaki varyansın 25'e eşit olduğunu biliyorsak, bu hafta üretimin ortalamadan 10'dan fazla farklılık gösterme olasılığı hakkında ne söyleyebiliriz?

çözüm

Chebyshov eşitsizliğini uygulamak zorundayız:

Bundan, üretim haftasında makale sayısının ortalama 10'dan fazla olması ihtimalinin en fazla 1/4 olması ihtimalini elde edebiliriz.

Limit teoremlerinin gösterilmesi

Chebyshov'un eşitsizliği, en önemli limit teoremlerinin gösterilmesinde önemli bir rol oynamaktadır. Örnek olarak aşağıdakilere sahibiz:

Zayıf büyük sayılar kanunu

Bu yasa, aynı ortalama dağılımı E (Xi) = μ ve varyansı Var (X) = σ2 olan varyansı ve X1, X2, ..., Xn, ... dizisini ve bilinen bir ortalama örneğini belirler:

Sonra k> 0 için yapmanız gereken:

Veya, eşdeğerde:

gösteri

İlk önce aşağıdakilere dikkat edelim:

X1, X2, ..., Xn bağımsız olduğu için, şunu takip eder:

Bu nedenle, aşağıdakileri teyit etmek mümkündür:

Sonra, Chebyshov teoremini kullanarak şunları yapmalıyız:

Son olarak, teorem, n sonsuzluğa eğilim gösterdiğinde sağdaki limitin sıfır olması gerçeğinden kaynaklanır.

Bu testin sadece Xi varyansının var olduğu durum için yapıldığı not edilmelidir; yani, ayrılmaz. Böylece, eğer E (Xi) varsa, teoremin her zaman doğru olduğunu gözlemleriz.

Chebyshov'un limit teoremi

Eğer X1, X2, ..., Xn, ..., bazı C0 olacak şekilde bağımsız rasgele değişkenlerin art arda olması durumunda:

gösteri

Varyansların arka arkaya eşit şekilde bağlı olması nedeniyle, tüm doğal n'ler için Var (Sn) ≤ C / n değerine sahibiz. Ancak şunu biliyoruz:

N sonsuzluğa eğilim göstererek, aşağıdaki sonuçlar elde edilir:

Bir olasılık 1 değerini geçemediğinden istenen sonuç elde edilir. Bu teoremin bir sonucu olarak Bernoulli'nin özel durumundan bahsedebiliriz.

Bir deney iki olası sonuçla bağımsız olarak n kez tekrarlanırsa (başarısızlık ve başarı), p her deneyde başarı olasılığıdır ve X, elde edilen başarı sayısını temsil eden rastgele değişkendir, o zaman her k> 0 için yapmanız gerekenler:

Örneklem büyüklüğü

Varyans açısından, Chebyshov'un eşitsizliği, | Sn-μ |> = k'nin ortaya çıkma olasılığının istenen kadar küçük olduğunu garanti etmek için yeterli bir örnek boyutu bulmamıza izin veriyor. ortalamaya.

Tam olarak, X1, X2, ... Xn, n boyutundaki bağımsız rastgele değişkenlerin bir örneği olsun ve E (Xi) = μ ve varyansını σ2 olsun. O zaman, Chebyshov'un eşitsizliği nedeniyle:

örnek

X1, X2, ... Xn'nin, Bernoulli dağılımına sahip bağımsız rastgele değişkenlerin bir örneği olduğunu ve p = 0.5 olasılıkla 1 değerini aldıklarını varsayalım.

Aritmetik ortalama Sn ile beklenen değeri (0.1'i aşan) arasındaki farkın 0, 01'den küçük veya eşit olması olasılığını garanti edebilmek için numunenin büyüklüğü ne olmalıdır?

çözüm

Biz E (X) = μ = p = 0.5 ve Var (X) = σ2 = p (1-p) = 0.25 olduk. Chebyshov'un eşitsizliği için, her k> 0 için yapmamız gereken:

Şimdi, k = 0.1 ve δ = 0.01 alarak, şunları yapmalıyız:

Bu şekilde, olay olasılığının | Sn - 0.5 |> = 0.1 'in 0.01' den küçük olmasını sağlamak için en az 2500 numune büyüklüğünün gerekli olduğu sonucuna varılmıştır.

Eşitsizlikler türü Chebyshov

Chebyshov'un eşitsizliği ile ilgili çeşitli eşitsizlikler var. En iyi bilinenlerden biri Markov eşitsizliğidir:

Bu ifadede X, k, r> 0 olan negatif olmayan rastgele bir değişkendir.

Markov eşitsizliği farklı biçimlerde olabilir. Örneğin, Y'nin negatif olmayan rastgele bir değişken olmasına izin verin (P (Y> = 0) = 1) ve E (Y) = μ olduğunu varsayalım. Farz edelim ki, (E (Y)) r = μ r, bazı> r tamsayıları için var. o zaman:

Başka bir eşitsizlik, bize sıfıra modlu, sonra k> 0 için modlu bir rasgele değişken X verildiğini söyleyen Gauss'dur.