Sıfat işlevi: Nelerden oluştukları, ne için oldukları ve çözülmüş alıştırmalarla örnekler.

Bir enjekte etme işlevi, etki alanının öğelerinin kodon alanının tek bir öğesiyle ilişkisidir. Bire bir fonksiyon ( 1 - 1 ) olarak da bilinir, elemanlarının ilişkili olma biçimlerine göre fonksiyonların sınıflandırılmasının bir parçasıdır.

Kod etki alanının bir elemanı, alanın tek bir elemanının görüntüsü olabilir, bu şekilde bağımlı değişkenin değerleri tekrarlanamaz.

Bunun net bir örneği, A grubundaki işleriyle erkekleri tüm liderleriyle B grubundaki gruplandırmak olacaktır. F işlevi, her işçiyi patronuyla ilişkilendiren işlev olacaktır. Her işçi F aracılığıyla farklı bir patronla ilişkilendirilirse, F bir enjekte edici işlev olacaktır .

Bir işlevi sıfat olarak kabul etmek için aşağıdakiler yerine getirilmelidir:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

Bu, cebirsel bir şekilde söylemenin yoludur, x2'den farklı tüm x 1'ler için, F (x ₂ ) den farklı bir F (x ₁ ) vardır.

Enjeksiyon işlevleri ne içindir?

Enjektivite, sürekli fonksiyonların bir özelliğidir, çünkü alanın her elemanı için görüntülerin tahsis edilmesini sağlarlar, bir fonksiyonun sürekliliğinde önemli bir özelliktir.

Bir enjekte edici fonksiyonun grafiğindeki X eksenine paralel bir çizgi çizerken, çizginin yüksekliği veya Y büyüklüğünden bağımsız olarak sadece grafiğe tek bir noktaya dokunulması gerekir. Bir işlevin enjekte edilmesinin test edilmesinin grafiksel yolu budur.

Bir fonksiyonun enjekte edilip edilmediğini test etmenin bir başka yolu, X değişkeninin bağımsız değişkenini, Y bağımlı değişkeni açısından temizlemektir. Daha sonra, bu yeni ifadenin etki alanının, her Y değeri için aynı anda gerçek sayılar içerip içermediğini doğrulamanız gerekir. Sadece bir X değeri var .

Düzen fonksiyonları ya da ilişkileri, F: D _f → C _f notasyonlarına bakınız _.

Bu, D _f'den C _f'ye giden F okunur.

F işlevinin Domain ve Codomain setleriyle ilişkili olduğu yer . Başlangıç ​​seti ve varış seti olarak da bilinir.

Etki alanı D _f, bağımsız değişken için izin verilen değerleri içerir. Kod alanı Cf, bağımlı değişken için mevcut tüm değerler tarafından oluşturulur. _Df ile ilişkili _Cf elemanları , İşlev Aralığı ( _Rf ) olarak bilinir .

Fonksiyonların koşullandırılması

Bazen, enjekte edici olmayan bir fonksiyon belirli koşullara tabi olabilir. Bu yeni koşullar, onu bir enjektif işlevi haline getirebilir . İşlevin alanı ve etki alanı için yapılan her türlü değişiklik geçerlidir, burada amaç ilgili ilişkideki enjekte etme özelliklerine uymaktır.

Çözülmüş alıştırmalarla enjekte edici fonksiyonlara örnekler

Örnek 1

F: R → R fonksiyonu F (x) = 2x - 3 satırı ile tanımlansın

A: [Tüm gerçek sayılar]

Etki alanının her değeri için kod alanında bir görüntü olduğu görülmüştür. Bu görüntü, F'yi enjekte edici bir işlev yapan benzersizdir. Bu, tüm doğrusal işlevler için geçerlidir (değişkenin en yüksek derecesi bir olan işlevler).

Örnek 2

F: R → R fonksiyonu F (x) = x2 +1 ile tanımlansın

Yatay bir çizgi çizerken, grafiğin birden fazla durumda bulunduğu gözlendi. Bu nedenle, F işlevi R → R tanımlandığı sürece enjekte edici değildir.

İşlevin etki alanını koşullandırmaya devam ediyoruz:

F: R + U {0} → R

Şimdi bağımsız değişken negatif değerler almaz, bu nedenle tekrarlanan sonuçlardan kaçınır ve F (x) = x2 + 1 ile tanımlanmış F: R + U {0} → R işlevi zahmetlidir .

Diğer bir homolog çözüm, alanı soldan sınırlandırmak, yani işlevi yalnızca negatif ve sıfır değerleri almakla sınırlamak olacaktır.

İşlevin etki alanını koşullandırmaya devam ediyoruz

F: R- U {0} → R

Şimdi bağımsız değişken negatif değerler almaz, bu tekrarlanan sonuçları önler ve F: R- U {0} → R, F (x) = x2 + 1 ile tanımlanmış işlevi enjekte eder .

Trigonometrik fonksiyonlar, bağımlı değişkende değer tekrarlarını bulmanın çok yaygın olduğu dalgalara benzer davranışlara sahiptir. Özel şartlandırma yoluyla, bu fonksiyonların önceki bilgilerine dayanarak, alanı enjekte etme koşullarını karşılayacak şekilde sınırlayabiliriz.

Örnek 3

F fonksiyonu şöyle olsun: [- π / 2, π / 2 ] → R, F (x) = Cos (x) ile tanımlanır.

[- π / 2 → π / 2 ] aralığında kosinüs fonksiyonu sonuçlarını sıfır ile bir arasında değiştirir.

Grafikte gösterildiği gibi. Sıfırdan x = - π / 2 konumunda başlayın, ardından sıfırda maksimuma ulaşın. X = 0'dan sonra, değerler x = π / 2'de sıfıra dönene kadar tekrarlanmaya başlar. Bu şekilde F (x) = Cos (x) [- π / 2, π / 2 ] aralığı için enjekte edici olmadığı bilinmektedir.

F (x) = Cos (x) fonksiyonunun grafiğini incelerken, eğri davranışının enjekte etme kriterlerine uyum sağladığı aralıkları gözlemleriz. Örneğin aralık

[0, π ]

İşlevin değişken olduğu yerde, bağımlı değişkendeki herhangi bir değeri tekrarlamadan, 1'den -1'e kadar olan sonuçları değiştirir.

Bu sayede F fonksiyon fonksiyonu : [0, π ] → R F (x) = Cos (x) ile tanımlanır. Bu enjektif

Benzer vakaların sunulduğu doğrusal olmayan fonksiyonlar vardır. Payda en az bir değişkeni barındırdığı rasyonel tip ifadeler için, ilişkinin enjekte edilmesini önleyen kısıtlamalar vardır.

Örnek 4

F: R → R fonksiyonu F (x) = 10 / x ile tanımlansın

İşlev, belirsizliği olan {0} dışındaki tüm gerçek sayılar için tanımlanır (sıfıra bölünemez) .

Sola sıfıra yaklaşırken, bağımlı değişken çok büyük negatif değerler alır ve sıfırdan hemen sonra bağımlı değişkenin değerleri büyük pozitif rakamlar alır.

Bu bozulma, F (x) = 10 / x ile tanımlanan F: R → R ifadesine neden olur.

Enjektif olmayın.

Önceki örneklerde görüldüğü gibi, alandaki değerlerin hariç tutulması bu belirsizlikleri "onarmaya" hizmet eder. Etki alanının sıfırını hariç tutmaya devam ediyoruz, kalkış ve varış kümelerini aşağıdaki gibi bırakın:

R - {0} → R

Burada R - {0}, tek elemanı sıfır olan bir küme dışındaki gerçekleri sembolize eder.

Bu şekilde F: R - {0} → R ifadesi F (x) = 10 / x ile tanımlanmıştır .

Örnek 5

F fonksiyonu şöyle olsun: [0, π ] → R, F (x) = Sen (x) ile tanımlanır.

[0, π ] aralığında sinüs fonksiyonu sonuçlarını sıfır ile bir arasında değiştirir.

Grafikte gösterildiği gibi. Sıfırdan x = 0'da başlayın , ardından x = π / 2'de maksimuma ulaşın. X = π / 2 değerinden sonra, değerler x = π değerinde sıfıra dönene kadar tekrarlanmaya başlar. Bu şekilde F (x) = Sen (x) 'in [0, π ] aralığı için enjekte edici olmadığı bilinmektedir.

F (x) = Sen (x) fonksiyonunun grafiğini incelerken, eğrinin davranışının enjekte etme kriterlerine uyum sağladığı aralıkları gözlemleriz. Örneğin aralık [ π / 2 , 3π / 2 ]

İşlevin değişken olduğu yerde, bağımlı değişkendeki herhangi bir değeri tekrarlamadan, 1'den -1'e kadar olan sonuçları değiştirir.

Bu şekilde F işlevi : [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, F (x) = Sen (x) ile tanımlanır. Bu enjektif

Örnek 6

F: [0, ∞) → R'nin F (x) = 3x2 ile tanımlanmış olup olmadığını kontrol edin.

Bu vesileyle, ifade alanı zaten sınırlıdır. Ayrıca bağımlı değişkenin değerlerinin bu aralıkta tekrarlanmadığı da gözlenmektedir.

Bu nedenle, F (x) = 3x2 tarafından tanımlanan F: [0, ∞) → R'nin enjekte edici olduğu sonucuna varılabilir.

Örnek 7

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisinin hangisi olduğunu tanımlayın.

1. Enjektiftir. Kod alanının ilişkili elemanları, bağımsız değişkenin her değeri için benzersizdir.
2. Enjektif değil. Başlangıç ​​kümesinin birden fazla elemanı ile ilişkili kod-alanı unsurları vardır.
3. Bu enjektif
4. Bu enjektif değil

Sınıf / ev için önerilen alıştırmalar

Aşağıdaki işlevlerin enjekte edilip edilmediğini doğrulayın:

F: [0, ∞) → R, F (x) = (x + 3) 2 ile tanımlanır.

F: [ π / 2 , 3π / 2 ] → R, F (x) = Tan (x) ile tanımlanır.

F: [- π , π ] → R F (x) = Cos (x + 1) ile tanımlanır

F: R → R, F (x) = 7x + 2 çizgisi ile tanımlanır.