Sıfat işlevi: Ne oluşur, nasıl yapılır, örnekler ve alıştırmalar
Bir sıfat işlevi, sıfat ve sıfat olma çift koşulunu yerine getiren işlevdir . Yani, alanın tüm elemanları kod alanında tek bir görüntüye sahiptir ve sırayla kod alanı fonksiyonun aralığına eşittir ( Rf ).
Etki alanı ve kod alanı arasındaki birebir ilişki göz önüne alındığında yerine getirilir. Basit bir örnek, F (x) = x satırı ile tanımlanan F: R → R işlevidir.
Etki alanının veya ayrılma kümesinin her değeri için (her iki terim de aynı şekilde uygulanır) kod alanında veya varış kümesinde tek bir görüntünün olduğu gözlenmiştir. Ek olarak, alan adında görüntü olmayan herhangi bir öğe yoktur.
Bu şekilde F: R → R, F (x) = x satırı ile tanımlanır.
Bir sıfat işlevi nasıl yapılır?
Bunu cevaplamak için , bir fonksiyonun Enjektivite ve Süperjektivite ile ilgili kavramların yanı sıra, şartlara uyum sağlamak için şartlandırma fonksiyonlarına ilişkin kriterlerin açık olması gerekir.
Bir fonksiyonun enjekte edilmesi
Etki alanındaki öğelerin her biri, kod etki alanının tek bir öğesiyle ilgili olduğunda bir işlev belirtecidir. Kod etki alanının bir elemanı, alanın tek bir elemanının görüntüsü olabilir, bu şekilde bağımlı değişkenin değerleri tekrarlanamaz.
Bir işlevi sıfat olarak kabul etmek için aşağıdakiler yerine getirilmelidir:
∀ x 1 ≠ x 2 ⇒ F (x 1 ) ≠ F (x 2 )
Bir işlevin aşırı etkinliği
Bir fonksiyon, alan adının her elemanı alanın en az bir elemanının görüntüsü ise, sıfat olarak sınıflandırılır.
Bir projeyi kapalı olarak kabul etmek için aşağıdakiler yerine getirilmelidir:
F: D f → C f olsun
∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b
Bu, Cf'ye ait olan tüm "b" ler için, "a" de değerlendirilen fonksiyonun "b" ye eşit olmasını sağlayacak şekilde Df'ye ait bir "a" olduğunu ortaya çıkarmanın cebirsel yoludur.
Fonksiyonların koşullandırılması
Bazen, mükâfat olmayan bir işlev belirli koşullara tabi olabilir. Bu yeni koşullar, onu bir sıfat işlevine dönüştürebilir . İşlevin etki alanı ve etki alanı için yapılan her türlü değişiklik geçerlidir; burada amaç, ilgili ilişkideki enjekte etme ve aşırı etkinlik özelliklerine uymaktır.
Örnekler: çözülmüş alıştırmalar
Egzersiz 1
F: R → R fonksiyonu F (x) = 5x +1 satırı ile tanımlansın
A: [Tüm gerçek sayılar]
Etki alanının her değeri için kod alanında bir görüntü olduğu görülmüştür. Bu görüntü, F'yi enjekte edici bir işlev yapan benzersizdir. Aynı şekilde, fonksiyonun kod alanının kendi rütbesine eşit olduğunu gözlemliyoruz. Böylece aşırı faaliyet koşulunu yerine getirme.
Aynı anda hem sıfat hem de sıfat olarak
F: R → R, F (x) = 5x +1 çizgisi ile tanımlanmış bir önceleme işlevidir.
Bu, tüm doğrusal işlevler için geçerlidir (değişkenin en yüksek derecesi bir olan işlevler).
Egzersiz 2
F: R → R fonksiyonu F (x) = 3x2 - 2 ile tanımlansın
Yatay bir çizgi çizerken, grafiğin birden fazla durumda bulunduğu gözlendi. Bu nedenle, F işlevi enjekte edici değildir ve bu nedenle R → R de tanımlandığı sürece bijektif olmayacaktır.
Aynı şekilde, alan adının etki alanının herhangi bir öğesinin görüntüsü olmayan değerleri de vardır. Bu nedenle, işlev aynı zamanda varış setini de şartlandırmayı hak eden, denetleyici değildir.
İşlevin etki alanını ve etki alanını koşullandırmaya devam ediyoruz
F: [0, ∞] → [- 2, ∞ ]
Yeni alanın sıfırdan pozitif sonsuza kadar değerleri kapsadığı gözlenir. Enjektifi etkileyen değerlerin tekrarını önlemek.
Böylece, aynı zamanda "-2" den pozitif sonsuzluğa kadar sayılan kod alanı değiştirildi, alan adından alanın herhangi bir öğesine karşılık gelmeyen değerleri elimine edildi
Bu şekilde, F : [0, ∞] → [- 2, ∞ ] F (x) = 3x2 - 2 ile tanımlandığı garanti edilebilir.
Bu bijektif
Egzersiz 3
F fonksiyonu şöyle olsun: R → R, F (x) = Sen (x) ile tanımlanır.
[- ∞, + ∞ ] aralığında sinüs fonksiyonu sonuçlarını sıfır ile bir arasında değiştirir.
F işlevi, enjekte edilebilirlik ve sobreyectividad kriterlerine karşılık gelmez, çünkü bağımlı değişkenin değerleri her interval aralığında tekrarlanır. Ek olarak, [-1, 1] aralığı dışındaki kod alanı terimleri, alanın herhangi bir öğesinin görüntüsü değildir.
F (x) = Sen (x) fonksiyonunun grafiğini incelerken, eğrinin davranışının bijektivite kriterlerini karşıladığı aralıkları gözlemleriz. Örneğin, aralık D f = [ π / 2 , Etki alanı için 3π / 2 ] . Ve etki alanı için Cf = [-1, 1] .
İşlevin değişken olduğu yerde, bağımlı değişkendeki herhangi bir değeri tekrarlamadan, 1'den -1'e kadar olan sonuçları değiştirir. Aynı zamanda kod alanı, Sen (x) ifadesi tarafından kabul edilen değerlere eşittir.
Bu şekilde F işlevi : [ π / 2 , 3π / 2 ] → [-1, 1] F (x) = Sen (x) ile tanımlanır. Bu bijektif
Egzersiz 4
D f ve C f için gerekli koşulları belirleyin. Yani ifade
F (x) = -x2 bijektif.
Değişken zıt değerleri aldığında sonuçların tekrarı gözlenir:
F (2) = F (-2) = -4
F (3) = F (-3) = -9
F (4) = F (-4) = -16
Alan koşullandırılır, onu gerçek çizginin sağına sınırlar.
D f = [0, + ∞ ]
Aynı şekilde bu fonksiyonun aralığının [- ∞ , 0] aralığı olduğu gözlenmiştir, kodomain olarak hareket ederken aşırı aktivite koşullarını yerine getirir.
Bu şekilde sonuçlandırabiliriz.
F ifadesi : [0, + ∞ ] → [- ∞ , 0] F (x) = -x2 ile tanımlanır.
Önerilen egzersizler
Aşağıdaki işlevlerin bijektif olup olmadığını doğrulayın:
F: [0, ∞) → R, F (x) = 3 (x + 1) 2 +2 ile tanımlanır.
F: [ 3π / 2 , 5π / 2 ] → R, F (x) ile tanımlanır = 5ctg (x)
F: [- π , π ] → F (x) = Cos (x - 3) ile tanımlanan R
F: R → R, F (x) = -5x + 4 çizgisi ile tanımlanır
