Ayrık Fourier dönüşümü: özellikleri, uygulamaları ve örnekleri

Ayrık Fourier dönüşümü, bir sinyali oluşturan spektral frekanslara gönderme yapan örnekleri tanımlamak için kullanılan sayısal bir yöntemdir. Kapalı parametrelerde periyodik fonksiyonları inceleyerek başka bir ayrık sinyale neden olun.

N noktalarının ayrık Fourier dönüşümünü elde etmek için, ayrı bir sinyal üzerinde, aşağıdaki 2 koşulun x [n] dizisi üzerinde yerine getirilmesi gerekir.

x [n] = 0 n N - 1

Bu şartları yerine getirerek, ayrık Fourier dönüşümü olarak tanımlanabilir

Ayrık Fourier dönüşümü, Fourier dönüşümünün N noktalarında örnekleme olarak tanımlanabilir.

Ayrık Fourier dönüşümünün yorumlanması

X _s [n] dizisinde elde edilen sonuçları ayrı Fourier dönüşümü yoluyla yorumlayabileceğiniz 2 bakış açısı vardır.

-İlk, zaten Fourier serisinden bilinen spektral katsayılara tekabül eder. Kesikli periyodik sinyallerde, x _s [n] dizilimiyle çakışan numunelerle gözlenir.

-İkincisi, xs [n] dizisine karşılık gelen örneklerle ayrı bir aperiodik sinyalin tayfı ile ilgilidir.

Ayrık dönüşüm, orijinal analog sinyalin spektrumuna bir yaklaşımdır. Aşaması örnekleme zamanlarına, büyüklüğü örnekleme aralığına bağlıdır.

özellikleri

Yapının cebirsel temelleri, aşağıdaki bölümlerin mantıksal temellerini oluşturur.

doğrusallık

C. S _n → C. F [ S _k ]; Bir sıra skaler ile çarpılırsa, dönüşümü de olacaktır.

Tn + V _n = F [T _k ] + F [V _k ]; Bir toplamın dönüşümü, dönüşümlerin toplamına eşittir.

ikilik

F [S _n ] → (1 / N) S _-k; Dönüştürülmüş bir ifade ayrık Fourier dönüşümü ile yeniden hesaplanırsa, aynı ifade elde edilir, N olarak ölçeklenir ve dikey eksene göre ters çevrilir.

kıvrım

Laplace dönüşümünde benzer işlevlerin izlenmesiyle, fonksiyonların katılımı, Fourier dönüşümleri arasındaki ürünü ifade eder. Evrişim ayrıca ayrık zamanlar için de geçerlidir ve birçok modern prosedürden sorumludur.

_Xn * Rn → F [Xn] .F [Rn]; Bir evrimin dönüşümü, dönüşümlerin ürününe eşittir.

X Rn → F [ _Xn ] * F [Rn]; Bir ürünün dönüşümü, dönüşümlerin evrişimine eşittir.

deplasman

X _nm → F [X _k ] e-i (2π / N) km; M numunelerinde bir sekans gecikirse, ayrık dönüşümdeki etkisi (2π / N) km ile tanımlanan açının bir modifikasyonu olacaktır.

Konjuge simetri

X _t [-k] = X * _t [k] = _Xt [N - K]

modülasyon

W-nm _N. x [n] ↔ X _t [k - m]

ürün

x [n] ve [n] ↔ (1 / N) Xt [k] * Yt [k]

simetri

X [-n] ↔ Xt [-k] = X * _t [k]

eşlenik

x * [n] ↔ X * _t [-k]

Parseval denklemi

Fourier dönüşümü ile benzerlikler ve farklılıklar

Geleneksel Fourier dönüşümü ile ilgili olarak, birkaç benzerliği ve farklılığı vardır. Fourier dönüşümü bir diziyi sürekli bir çizgiye dönüştürür. Bu şekilde, Fourier değişkeninin sonucunun, gerçek bir değişkenin karmaşık bir işlevi olduğu söylenir.

Ayrık Fourier dönüşümü, aksine, ayrık bir sinyal alır ve onu bir başka ayrık sinyale, yani bir sekansa dönüştürür.

Ayrık Fourier dönüşümü ne için?

Türetilmiş ifadeleri güç elemanlarına dönüştürürken, esas olarak denklemleri büyük ölçüde basitleştirmeye hizmet ederler. İntegral polinom formlarında diferansiyel ifadeleri gösterir.

Optimizasyonda, sonuçların modülasyonu ve modellenmesi standartlaştırılmış bir ifade olarak hareket eder, birkaç kuşaktan sonra mühendislik için sıkça kullanılan bir kaynaktır.

tarih

Bu matematiksel kavram, 1811 yılında Joseph B. Fourier tarafından sunulmuş ve sıcaklığın yayılması üzerine bir tez geliştirmiştir . Çeşitli bilim ve mühendislik dalları tarafından hızla kabul edildi.

Laplace dönüşümü ile adi diferansiyel denklemler arasındaki çalışma ilişkisiyle karşılaştırıldığında bile, kısmi diferansiyel denklemlerin çalışılmasında ana çalışma aracı olarak kurulmuştur .

Fourier dönüşümü ile çalışılabilecek her fonksiyon tanımlanmış bir parametrenin dışında boş olmalıdır.

Ayrık Fourier dönüşümü ve tersi

Ayrık dönüşüm aşağıdaki ifade ile elde edilir:

Ayrık bir sekans verildikten sonra X [n]

Ayrık Fourier dönüşümünün tersi şu ifade ile tanımlanır:

Ayrık dönüşüm elde edildikten sonra, X [n] zaman alanındaki diziyi tanımlayın.

Ben pencereleme

Ayrık Fourier dönüşümüne karşılık gelen parametreleştirme işlemi pencerede yatmaktadır. Dönüşümün çalışabilmesi için sırayı zaman içinde sınırlamalıyız. Çoğu durumda, söz konusu sinyallerin bu gibi kısıtlamaları yoktur.

Ayrık dönüşüme uygulanacak boyut ölçütlerini karşılamayan bir sekans, kontrol edilen bir parametrede sekansın davranışını tanımlayan bir "pencere" fonksiyonu V [n] ile çarpılabilir.

X [n] V [n]

Spektrumun genişliği, pencerenin genişliğine bağlı olacaktır. Pencerenin genişliği arttıkça, hesaplanan dönüşüm daha dar olacaktır.

uygulamaları

Temel çözümün hesaplanması

Ayrık Fourier dönüşümü, ayrık dizilerin çalışmasında güçlü bir araçtır.

Ayrık Fourier dönüşümü, sürekli değişken bir fonksiyonu ayrık değişken dönüşüme dönüştürür.

Isı denklemi için Cauchy problemi, ayrık Fourier dönüşümünün ortak bir uygulama alanını sunar . Çekirdek ısı fonksiyonunun veya Dirichlet'in çekirdeğinin üretildiği yerde , bu tanımlanmış bir parametrede örnek değerlere uygulanır.

Sinyal teorisi

Bu daldaki ayrık Fourier dönüşümünün uygulanmasının genel nedeni, bir sinyalin daha kolay işlenebilir sinyallerin sonsuz bir üst üste binmesi olarak karakteristik ayrışmasından kaynaklanmaktadır.

Bir ses dalgası veya elektromanyetik bir dalga olabilir, ayrık Fourier dönüşümü onu basit dalgaların üst üste binmesiyle ifade eder. Elektrik mühendisliğinde bu temsil oldukça sık görülür.

Fourier serileri

Bunlar kosinüs ve meme cinsinden tanımlanır. Genel periyodik fonksiyonlarla çalışmayı kolaylaştırmaya hizmet ederler. Uygulandığında, kısmi ve adi diferansiyel denklemleri çözme tekniklerinin bir parçasıdır.

Fourier serisi, Taylor serisinden daha genel çünkü Taylor serisinde temsili olmayan periyodik sürekli olmayan fonksiyonlar geliştiriyorlar.

Fourier serisinin diğer formları

Fourier dönüşümünü analitik olarak anlamak için, Fourier serisini karmaşık gösteriminde tanımlayana kadar Fourier serisinin bulunabileceği diğer yolları gözden geçirmek önemlidir.

- 2L periyodlu bir fonksiyonda Fourier serisi:

Bir Fourier serisinin yapısını, [-L, L] aralığında periyotu p = 2L> 0 olan periyodik fonksiyonlara uyarlamak gerekir.

- Tek ve hatta fonksiyonlarda Fourier serisi

Fonksiyonların simetrik özelliklerinden faydalanırken avantajlar sunan [-π, π] aralığı göz önünde bulundurulur.

F eşitse, Fourier serisi bir Cosines serisi olarak kurulur.

F tuhafsa, Fourier serisi bir Sinüs serisi olarak kurulur.

Fourier serisinin tamamlanmış notasyonu

Fourier serisinin tüm gereksinimlerini karşılayan bir f (t) fonksiyonuna sahipseniz, karmaşık gösterimini kullanarak [-t, t] aralığında belirtmek mümkündür:

Örnekler

Temel çözümün hesaplanmasına ilişkin olarak, aşağıdaki örnekler sunulmuştur:

Laplace denklemi

Isı denklemi

Schrödinger denklemi

Dalga denklemi

Diğer taraftan, sinyal teorisi alanındaki ayrık Fourier dönüşümünün uygulama örnekleri aşağıda verilmiştir:

-Sistemin tanımlanmasındaki problemler. Kurulan fyg

Çıkış sinyalinin tutarlılığı ile -Problem

Sinyalin filtrelenmesi ile ilgili sorunlar

eğitim

Egzersiz 1

Bir sonraki sekans için ayrık Fourier dönüşümünü hesaplayın.

X [n] 'nin TDF'sini şu şekilde tanımlayabilirsiniz:

Xt [k] = {4, -j2, 0, j2} k = 0, 1, 2, 3

Egzersiz 2

Dijital algoritma ile x (t) = et ifadesi tarafından tanımlanan spektral sinyali belirlemek istiyoruz. Maksimum frekans talep katsayısı f _m = 1Hz olduğunda. Bir harmonik f = 0, 3 Hz değerine karşılık gelir Hata% 5'ten az ile sınırlıdır. F _s, D ve N hesaplayın .

Örnekleme teoremini dikkate alarak f _s = 2f _m = 2 Hz

D = 1 / 0, 1 = 10 sn elde ettiğimiz f = 0, 1 Hz frekans çözünürlüğü seçilir.

0.3 Hz, N = 3 × 8 = 24 örnek olduğu k = 3 indeksine karşılık gelen frekanstır. F _s = N / D = 24/10 = 2.4> 2 olduğunu belirtir.

Amaç, N için mümkün olan en düşük değeri elde etmek olduğundan, aşağıdaki değerler bir çözüm olarak kabul edilebilir:

f ₀ = 0, 3 Hz

D = 1 / 0, 3 = 3, 33 sn

k = 1

N = 1 × 8 = 8