Faktoring: Yöntem ve Örnekler

Faktörleşme, bir polinomun sayılar, harfler veya her ikisi de olabilen faktörlerin çarpımı şeklinde ifade edildiği bir yöntemdir. Terimler için ortak olan faktörleri çarpanlara ayırmak için gruplandırılmış ve bu şekilde polinom çeşitli polinomlara ayrıştırılmıştır.

Dolayısıyla, faktörler birbirini çarptığında sonuç, orijinal polinomdur. Faktoring, cebirsel ifadeleriniz olduğunda çok faydalı bir yöntemdir, çünkü birkaç basit terimin çarpımına dönüştürülebilir; örneğin: 2a2 + 2ab = 2a _* (a + b).

Polinomun çarpanlara ayrılmadığı durumlar vardır çünkü terimleri arasında ortak bir faktör yoktur; Bu nedenle, bu cebirsel ifadeler sadece kendi aralarında ve 1 ile bölünebilir. Örneğin: x + y + z.

Bir cebirsel ifadede, ortak faktör onu oluşturan terimlerin en büyük ortak bölenidir.

Faktoring yöntemleri

Vakaya bağlı olarak uygulanan birçok faktoring yöntemi vardır. Bunlardan bazıları şunlardır:

Ortak faktöre göre faktoring

Bu yöntemde ortak olan faktörler tanımlanır; yani, ifade açısından tekrarlananlar. Daha sonra dağılım özelliği uygulanır, azami ortak bölen kaldırılır ve çarpanlara ayırma tamamlanır.

Başka bir deyişle, ortak ifade faktörü tanımlanır ve her terim aralarına bölünür; Ortaya çıkan terimler, faktoringi ifade etmek için en büyük ortak faktör ile çarpılacaktır.

Örnek 1

Faktör (b2x) + (b2y).

çözüm

Öncelikle bu durumda b2 olan her bir terimin ortak faktörünü bulduk ve sonra ortak faktör arasındaki terimleri aşağıdaki gibi bölün:

(b2x) / b2 = x

(b2y) / b2 = y.

Faktoring, ortak faktörü ortaya çıkan terimlerle çarparak ifade edilir:

(b2x) + (b2y) = b2 (x + y).

Örnek 2

Faktör (2a2b3) + (3ab2).

çözüm

Bu durumda, her terimde "a" ve "b" olan ve iktidara yükseltilmiş iki faktör vardır. Onları etkilemek için, önce iki terim uzun biçimlerine ayrılır:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

"A" faktörünün ikinci terimde sadece bir kez tekrarlandığı ve "b" faktörünün içinde iki kez tekrarlandığı görülmektedir; yani ilk terimde sadece 2, bir "a" ve "b" faktörü var; ikinci dönemde ise sadece 3 kaldı.

Bu nedenle, "a" ve "b" nin, her bir terimden geriye kalan ve görüntüde görüldüğü gibi kalan faktörlerle çarpıldığı ve çarpıldığı zamanları yazıyoruz:

Gruplandırma ile çarpanlara ayırma

Tüm durumlarda, bir polinomun maksimum ortak böleni açıkça ifade edilmediğinden, polinomu ve dolayısıyla faktörünü yeniden yazabilmek için başka adımlar atılması gerekir.

Bu adımlardan biri, polinom terimlerini birkaç gruba ayırmak ve daha sonra ortak faktör yöntemini kullanmaktır.

Örnek 1

Faktör ac + bc + ad + bd.

çözüm

İkisinin ortak olduğu 4 faktör vardır: ilk terim “c” ve ikincisinde “d” dir. Bu şekilde iki terim gruplandırılmış ve ayrılmıştır:

(ac + bc) + (ad + bd).

Şimdi, her bir terimi ortak faktörüyle bölüp sonra bu ortak faktörü sonuçtaki terimlerle çarparak, ortak faktör yöntemini uygulamak mümkündür:

(ac + bc) / c = a + b

(reklam + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Şimdi her iki terim için ortak olan bir binom olsun. Faktör için kalan faktörlerle çarpılır; Bu şekilde yapmanız gerekenler:

ac + bc + reklam + bd = (c + d) _* (a + b).

İncelemeyle çarpanlara ayırma

Bu yöntem, aynı zamanda trinomial olarak da adlandırılan ikinci dereceden polinomları faktörlendirmek için kullanılır; yani, a2 ± bx + c olarak yapılandırılmış olanlar, "a" değeri 1'den farklıdır. Bu yöntem, trinomial, x2 ± bx + c biçiminde ve "a" = 1 değerine sahip olduğunda da kullanılır. .

Örnek 1

Faktör x2 + 5x + 6.

çözüm

X2 ± bx + c biçiminde kuadratik bir trinomiyaliz var. Öncelikle faktörlendirmek için çarpıldığında, sonuç olarak “c” (yani 6) değerini veren ve toplamının 5 olan “b” katsayısına eşit olduğu iki sayı bulmalısınız. Bu sayılar 2 ve 3'tür. :

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

Bu şekilde, ifade şöyle basitleştirilir:

(x2 + 2x) + (3x + 6)

Her terim faktoring:

- (x2 + 2x) için ortak terim çıkarılır: x (x + 2)

- (3x + 6) = 3 (x + 2) için

Böylece, ifade kalır:

x (x +2) + 3 (x +2).

Ortak bir binomunuz olduğu için, ifadeyi azaltmak için bunu artı terimlerle çarpın ve yapmanız gereken:

x2 + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Örnek 2

Faktör 4a2 + 12a + 9 = 0.

çözüm

Ax2 ± bx + c biçiminde ikinci dereceden bir terimimiz var ve onu çarpanlara çıkarmak için tüm ifadeyi x2 katsayısı ile çarpıyoruz; bu durumda, 4.

4a2 + 12a +9 = 0

4a2 (4) + 12a (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a2 + 12a (4) + 36 = 0

42 a2 + 12a (4) + 36 = 0

Şimdi birbirleriyle çarptıklarında, sonuç olarak "c" (36 olan) değerini veren ve birlikte eklendiklerinde 6 olan "a" teriminin katsayısı ile sonuçlanan iki sayı bulmalıyız.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

Bu yolla ifade yeniden yazılır, 42 a2 = 4a _* 4a olduğu dikkate alınarak yeniden yazılır. Bu nedenle, dağıtım özelliği her terim için uygulanır:

(4a + 6) _* (4a + 6).

Son olarak, ifade a2 katsayısına bölünür; yani, 4:

(4a + 6) _* (4a + 6) / 4 = ((4a + 6) / 2) _* ((4a + 6) / 2).

İfade aşağıdaki gibidir:

4a2 + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Olağanüstü ürünlerle faktoring

Polinomları önceki yöntemlerle tamamen etkilemek için çok uzun bir süreç haline gelen durumlar vardır.

Bu nedenle, dikkat çekici ürünlerin formülleriyle bir ifade geliştirilebilir ve böylece süreç daha kolay hale gelir. En çok kullanılan önemli ürünler arasında:

- İki karenin farkı: (a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

- Bir toplamın mükemmel karesi: a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

- Farkın kusursuz karesi: a2 - 2ab + b2 = (a - b) 2

- İki küpün farkı: a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

- İki küpün toplamı: a3 - b3 = (a + b) _* (a2 - ab + b2)

Örnek 1

Çarpanlara ayırma (52 - x2)

çözüm

Bu durumda iki kare farkı vardır; bu nedenle, dikkat çekici ürünün formülü uygulanır:

(a2 - b2) = (a - b) _* (a + b)

(52 - x2) = (5 - x) _* (5 + x)

Örnek 2

Faktör 16x2 + 40x + 252

çözüm

Bu durumda toplamın mükemmel bir karesine sahibiz, çünkü iki terim kareyi belirleyebiliriz ve kalan terim, iki terimin birinci terimin kareköküyle, ikinci terimin kareköküyle çarpılmasının sonucudur.

a2 + 2ab + b2 = (a + b) 2

Faktör olarak sadece birinci ve üçüncü terimlerin karekökleri hesaplanır:

√ (16x2) = 4x

√ (252) = 5.

Sonra ortaya çıkan iki terim, işlemin işareti ile ayrılır ve tüm polinom kare şeklindedir:

16x2 + 40x + 252 = (4x + 5) 2.

Örnek 3

Faktör 27a3 - b3

çözüm

İfade, iki faktörün küpe yükseltildiği bir çıkarma işlemini temsil eder. Bunları çarpanlara ayırmak için, küp farkının kayda değer ürün formülü uygulanır:

a3 - b3 = (ab) _* (a2 + ab + b2)

Bu nedenle, faktörize etmek için, her bir binom teriminin kübik kökü ayıklanır ve birinci terimin karesiyle artı birinci terimin ürünü ikinci terimle ve ikinci terim kareyle çarpılır.

27a3 - b3

³√ (27a3) = 3a

³√ (-b3) = -b

27a3 - b3 = (3a - b) _* [(3a) 2 + 3ab + b2)]

27a3 - b3 = (3a - b) _* (9a2 + 3ab + b2)

Ruffini'nin yönetimi ile faktoring

Bu yöntem, ifadeyi daha düşük dereceli birkaç polinomla basitleştirmek için ikiden büyük bir polinomunuz olduğunda kullanılır.

Örnek 1

Faktör Q (x) = x4 - 9x2 + 4x + 12

çözüm

İlk önce bağımsız terim olan 12 bölen sayılara bakınız; bunlar ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 ve ± 12'dir.

Daha sonra, x, en düşükten en yükseğe bu değerlerle değiştirilir ve böylelikle bölmenin kesin olacağı değerlerle belirlenir; bu, gerisi 0 olmalıdır:

x = -1

Q (-1) = (-1) 4-9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 14 - 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8-0.

x = 2

Q (2) = 24 - 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0.

Ve böylece her bölücü için. Bu durumda bulunan faktörler x = -1 ve x = 2'dir.

Şimdi, Ruffini yöntemi, ifadenin katsayılarının, bölmenin kesin olması için bulunan faktörler arasında paylaştırılacağı şekilde uygulanır. Polinom terimleri en yüksekten en aşağıya üs olarak sıralanır; Sıralamada takip eden dereceye sahip bir terimin eksik olması durumunda, yerine bir 0 konur.

Katsayılar, aşağıdaki resimde görüldüğü gibi bir şemada bulunur.

İlk katsayı düşürülür ve bölen tarafından çarpılır. Bu durumda, ilk bölen -1'dir ve sonuç bir sonraki sütuna yerleştirilir. Daha sonra elde edilen sonuç ile katsayının değeri dikey olarak eklenir ve sonuç aşağıya yerleştirilir. Bu şekilde, işlem son sütuna kadar tekrar edilir.

Ardından aynı prosedür tekrarlanır, ancak ikinci bölenle (ki bu 2'dir) çünkü ifade hala basitleştirilebilir.

Böylece, elde edilen her kök için, polinomun bir terimi (x - a) olacaktır, burada "a" kökünün değeridir:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

Öte yandan, bu terimler Ruffini'nin 1: 1 ve -6 kurallarının geri kalanı ile çarpılmalıdır, ki bu bir notu temsil eden faktörlerdir. Bu şekilde oluşan ifade şöyledir: (x2 + x - 6).