Öklid Teoremi: Formüller, Gösterme, Uygulama ve Alıştırmalar

Öklid teoremi, sağ üçgenin özelliklerini, birbirine benzeyen ve sırayla orijinal üçgene benzeyen iki yeni sağ üçgene ayıran bir çizgi çizerek gösterir; o zaman, orantılılık ilişkisi var.

Öklid, eski çağın en önemli matematikçilerinden ve geometrilerinden biriydi ve birçok önemli teorem gösterileri yaptı. En önemlilerinden biri, geniş bir uygulama alanı olan adını taşıyan kişidir.

Bu böyle oldu, çünkü bu teorem aracılığıyla, basitçe, bu bacakların hipotenustaki çıkıntılarıyla ilgili olduğu dik üçgende var olan geometrik ilişkileri açıklar.

Formüller ve gösteri

Öklid teoremi, her dik üçgende, bir çizgi çizildiğinde - ki bu, hipotenusa göre dik açının köşesine karşılık gelen yüksekliği temsil eden - iki dik üçgen orijinalinden oluşmasını önerir.

Bu üçgenler birbirine benzer olacak ve aynı zamanda orijinal üçgene de benzer olacaktır; bu, benzer taraflarının birbiriyle orantılı olduğu anlamına gelir:

Üç üçgenin açıları uyumludur; Başka bir deyişle, tepe noktasında 180 dereceye döndürüldüğünde, bir açının diğerine çakıştığını söylemek gerekir. Bu, herkesin eşit olacağı anlamına gelir.

Bu şekilde, üç üçgen arasında var olan benzerliği açılarının eşitliği ile de doğrulayabilirsiniz. Üçgenlerin benzerliğinden Euclid, bunların oranlarını iki teoremden alır:

- Yükseklik teoremi.

- Bacak teoremi.

Bu teorem geniş bir uygulamaya sahiptir. Antik dönemde, trigonometri için büyük bir ilerlemeyi temsil eden yükseklikleri veya mesafeleri hesaplamak için kullanılmıştır.

Halen mühendislik, fizik, kimya ve astronomi gibi matematiğe dayanan birçok alanda uygulanmaktadır.

Yükseklik teoremi

Bu teorem, herhangi bir dik üçgende, hipotenusa göre dik açıyla çizilen yüksekliğin, hipotenusu belirleyen bacakların çıkıntıları arasındaki geometrik orantılı ortalama (yükseklik karesi) olduğunu belirtir.

Yani, yüksekliğin karesi, hipotenuse oluşturan yansıtılan bacakların çarpımına eşit olacaktır:

h _c 2 = m _* n

gösteri

Yükseklik iki benzer sağ üçgen çizerken, C köşesinde dikdörtgen olan bir ABC üçgeni göz önüne alındığında, ADC ve BCD üretilir; bu nedenle, karşılık gelen tarafları orantılıdır:

Böylece segment CD'ye karşılık gelen h _c yüksekliği, AB = c hipotenüsüne karşılık gelir, bu yüzden şunları yapmalıyız:

Buna karşılık, bu karşılık gelir:

İki eşitlik üyesini çarpmak için hipoteni (h _c ) temizlemek;

s _{c *} s _{c =} m _* n

h _c 2 = m _* n

Böylece, hipotenüsün değeri şu şekilde verilir:

Bacak teoremi

Bu teorem, herhangi bir dik üçgende, her bacağın ölçüsünün, hipotenüsün ölçümü (tamamlandı) ile her birinin üzerine yansıması arasındaki geometrik orantılı ortalama (her bacağın karesi) olacağını belirtir:

b2 = c _* m

a2 = c _* n

gösteri

C köşesinde bir dikdörtgen olan bir ABC üçgeni göz önüne alındığında, hipotenüsü c olacak şekilde, yüksekliği (h) çizerken, sırasıyla m ve n segmentleri olan a ve b bacaklarının çıkıntıları belirlenir. hipotenüs.

Böylece, ABC sağ üçgeninde çizilen yüksekliğin, ADC ve BCD gibi iki benzer sağ üçgen oluşturduğu ve böylece karşılık gelen tarafların o gibi orantılı olduğu görülmüştür:

DB = n, CB bacağının hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.

AD = m, kateter AC'nin hipotenüs üzerindeki izdüşümüdür.

Sonra, hipotenüs c, çıkıntılarının bacaklarının toplamı ile belirlenir:

c = m + n

ADC ve BCD üçgenlerinin benzerliği nedeniyle:

Yukarıdakiler aynıdır:

İki eşitlik üyesini çoğaltmak için "a" bacağını silerek birinin:

a _* a = c _* n

a2 = c _* n

Böylece, "a" bacağının değeri şu şekilde verilir:

Benzer şekilde, ACB ve ADC üçgenlerinin benzerliği nedeniyle:

Yukarıdakilere eşittir:

İki eşitlik üyesini çoğaltmak için "b" bacağını temizleyerek birinin yapması gereken:

b _* b = c _* m

b2 = c _* m

Böylece, "b" bacağının değeri şu şekilde verilir:

Öklid teoremleri arasındaki ilişki

Yüksekliğe ve bacaklara referans veren teoremler birbirleriyle ilişkilidir, çünkü ikisinin de ölçümü, üçgenin dikotekine göre yapılır.

Öklid teoremleri arasındaki ilişki sayesinde, yükseklik değeri de bulunabilir; Bu, m ve n değerlerinin bacak teoreminden temizlenmesi ve yükseklik teoremindeki değerlerinin değiştirilmesiyle mümkündür. Bu şekilde, yükseklik, hipotenüs tarafından bölünen bacakların çarpımına eşittir:

b2 = c _* m

m = b2 ÷ c

a2 = c _* n

n = a2 ÷ c

Yükseklik teoreminde, myn değiştirilir:

h _c 2 = m _* n

h _c 2 = (b2 ÷ c) _* (a2 ÷ c)

h _c = (b2 _* a2) ÷ c

Çözülmüş egzersizler

Örnek 1

ABC üçgeni göz önüne alındığında, A'daki dikdörtgen, AB = 30 cm ve BD = 18 cm ise AC ve AD ölçüsünü belirleyin.

çözüm

Bu durumda, yansıtılan bacaklardan birinin (BD) ve orijinal üçgenin (AB) bacaklarından birinin ölçümlerine sahibiz. Bu şekilde, bacak bacağının değerini bulmak için bacak teoremi uygulanabilir.

AB2 = BD _* BC

(30) 2 = 18 _* BC

900 = 18 _* BC

BC = 900 ÷ 18

BC = 50 cm

CD kateterinin değeri BC = 50 olduğunu bilerek bulunabilir:

CD = BC - BD

CD = 50 - 18 = 32 cm

Şimdi katetüs AC'nin değerini belirlemek, tekrar bacak teoremini uygulamak mümkündür:

AC2 = CD _* BD

AC2 = 32 _* 50

AC2 = 160

AC = √1600 = 40 cm

Yüksekliğin değerini (AD) belirlemek için, yükseklik teoremi uygulanır, çünkü yansıtılan bacaklar CD ve BD'nin değerleri bilinir:

AD2 = 32 _* 18

AD2 = 576

AD = √576

AD = 24 cm

Örnek 2

Segmentlerin ölçümlerini bilerek, bir üçgen MNL yüksekliğinin (h) değerini, N cinsinden dikdörtgenini belirleyin:

NL = 10 cm

MN = 5 cm

PM = 2 cm

çözüm

Hipotenüs (PM) üzerine yansıtılan bacaklardan birinin ölçümünün yanı sıra orijinal üçgenin bacaklarının ölçümlerine sahipsiniz. Bu şekilde, bacak teoremi öngörülen diğer bacağın (LN) değerini bulmak için uygulanabilir:

NL2 = PM _* LM

(10) 2 = 5 _* LM

100 = 5 _* LM

PL = 100 ÷ 5 = 20

Bacakların ve hipotenüsün değerini zaten bildiğimiz gibi, yükseklik teoremleri ve bacakların ilişkisi ile, yükseklik değeri belirlenebilir:

NL = 10

MN = 5

LM = 20

h = (b2 _* a2) ÷ c.

h = (102 _* 52) 8 (20)

h = (100 _* 25) 5 (20)

h = 2500 ÷ 20