Vektör Cebiri: Temeller, Büyüklükler, Vektörler

Vektör cebiri, doğrusal denklem sistemlerinin, vektörlerin, matrislerin, vektör uzaylarının ve onların lineer dönüşümlerinin sistemlerini incelemekten sorumlu bir matematik dalıdır. Mühendislik, diferansiyel denklemlerin çözülmesi, fonksiyonel analiz, işlem araştırması, bilgisayar grafikleri gibi alanlarla ilgilidir.

Doğrusal cebiri benimseyen bir başka alan da fiziktir, çünkü bu sayede fiziksel olayları incelemek ve bunları vektörlerin kullanımıyla açıklamak için geliştirilmiştir. Bu, evrenin daha iyi anlaşılmasını mümkün kılmıştır.

temeller

Vektör cebiri, kuaterniyonların (gerçek sayıların uzatılması) 1, i, j ve k çalışmalarının yanı sıra, vektörlerin bir araç olarak hizmet edeceğini fark eden Gibbs ve Heaviside tarafından desteklenen Kartezyen geometrisinden kaynaklanmıştır. çeşitli fiziksel olayları temsil eder.

Vektör cebiri üç temelde incelenmiştir:

geometrik

Vektörler, oryantasyonu olan çizgilerle temsil edilir ve toplama, çıkarma ve gerçek sayılarla çarpma gibi işlemler geometrik yöntemlerle tanımlanır.

analitik

Vektörlerin ve işlemlerinin tanımı, bileşen adı verilen sayılarla yapılır. Bu açıklama türü, bir koordinat sistemi kullanıldığı için geometrik bir gösterimin sonucudur.

aksiyom

Vektörlerin bir açıklaması, koordinat sisteminden veya herhangi bir geometrik temsil türünden bağımsız olarak yapılır.

Uzayda şekillerin incelenmesi, bir veya daha fazla boyutta olabilen bir referans sistemindeki temsilleri yoluyla yapılır. Ana sistemler arasında:

- Bir noktanın (O) orijini temsil ettiği, diğer noktanın (P) ölçeği (uzunluk) ve yönünü belirlediği bir çizgi olan tek boyutlu sistem:

- Bir nokta (O) orijininden geçen x ekseni ve y ekseni adı verilen iki dik çizgiden oluşan dikdörtgen koordinat sistemi (iki boyutlu); Bu şekilde, uçak kadran denilen dört bölgeye ayrılmıştır. Bu durumda, eksenler ve P arasındaki mesafeler ile düzlemdeki bir nokta (P) verilir.

- Polar koordinat sistemi (iki boyutlu). Bu durumda, sistem kutup adı verilen O noktasından (orijinli) ve kutup ekseni olarak adlandırılan O kökenli bir ışından oluşur. Bu durumda, düzlemin P noktası, kutup ve kutup eksenine referansla, orijin ile P noktası arasındaki mesafeden oluşan açı (Ɵ) ile verilir.

- Uzayda O noktasını oluşturan üç dik çizgiden (x, y, z) oluşan dikdörtgen üç boyutlu sistem. Üç koordinat düzlemi oluşturulmuştur: xy, xz ve yz; boşluk sekizgen adı verilen sekiz bölgeye bölünecek. Uzayın P noktasının referansı, düzlemler ve P arasındaki mesafelerden verilir.

büyüklükleri

Büyüklük, bazı fiziksel olaylarda olduğu gibi, sayısal bir değerle sayılabilen veya ölçülebilen bir fiziksel niceliktir; Bununla birlikte, bu fenomeni sayısal olmayan diğer faktörlerle tanımlayabilmek sıklıkla gereklidir. Bu yüzden büyüklükler iki türe ayrılır:

Skaler büyüklüğü

Sayısal olarak tanımlanan ve temsil edilen miktarlardır; yani, bir ölçü birimi ile birlikte bir modül. Örneğin:

a) Süre: 5 saniye.

b) Kütle: 10 kg.

c) Hacim: 40 ml.

d) Sıcaklık: 40 ºC.

Vektör büyüklüğü

Bir modül ile birlikte bir modül ile birlikte bir duyu ve yön ile tanımlanan ve temsil edilen miktarlardır. Örneğin:

a) Hız: (5ȋ - 3ĵ) m / s.

b) Hızlanma: 13 m / s2; S 45 ° E

c) Kuvvet: 280 N, 120º.

d) Ağırlık: -40 ĵ kg-f.

Vektör büyüklükleri grafiksel olarak vektörlerle temsil edilir.

Vektörler nedir?

Vektörler, vektör büyüklüğünün grafik gösterimleridir; yani, son uçları bir okun ucu olan düz çizginin parçalarıdır.

Bunlar modülü veya segment uzunluğu, okunun ucu ile gösterilen anlamı ve ait olduğu çizgiye göre yönü ile belirlenir. Bir vektörün kökeni aynı zamanda uygulama noktası olarak da bilinir.

Bir vektörün elemanları şunlardır:

modül

Bir birim ile birlikte gerçek bir sayı ile gösterilen, menşeden bir vektörün sonuna kadar olan mesafedir. Örneğin:

| OM | = | A | = A = 6 cm

adres

X ekseni (pozitif) ile vektör arasındaki açının yanı sıra kardinal noktaları (kuzey, güney, doğu ve batı) ölçüsüdür.

duyu

Vektörün sonunda bulunan ve nereye gittiğini gösteren ok ucu tarafından verilir.

Vektör sınıflandırma

Genellikle, vektörler şöyle sınıflandırılır:

Sabit vektör

Başvuru noktası (menşei) sabit olandır; yani, uzayda bir noktaya bağlı kaldığını, bunun içinde neden yerinden edilemeyeceğinin bir nedeni olduğunu söylüyor.

Ücretsiz vektör

Uzayda serbestçe hareket edebilir çünkü modülü, duyu veya yönünü değiştirmeden herhangi bir noktaya hareket eder.

Sürgülü vektör

Modülünü, yönünü veya yönünü değiştirmeden kaynağını etki alanı boyunca hareket ettirebilendir.

Vektör özellikleri

Vektörlerin ana özellikleri arasında şunlar vardır:

Equipolentes vektörleri

Bunlar aynı modüle sahip serbest vektörlerdir, yön (veya paraleldir) ve bir kayan vektör veya sabit bir vektör olduğunu algılarlar.

Eşdeğer Vektörler

İki vektör aynı yöne (veya paralel), aynı anlama geldiğinde ve farklı modüller ve uygulama noktalarına sahip olmalarına rağmen aynı etkiye neden olurlar.

Vektörlerin eşitliği

Aynı noktaları, yönleri ve hisleri vardır, başlangıç noktaları farklı olsa bile, paralel bir vektörün onu etkilemeden hareket etmesini sağlar.

Vektörlerin Karşısında

Aynı modül ve yöne sahip olanlardır, ancak anlamları terstir.

Vektör birimi

Modül üniteye (1) eşittir. Bu, vektörü modülüne bölerek elde edilir ve baz veya birim normalize edilmiş vektörleri kullanarak düzlem veya uzayda bir vektörün yönünü ve algısını belirlemek için kullanılır:

Boş vektör

Modülü 0'a eşit olandır; yani, menşe noktaları ve bitişleri aynı noktada çakışmaktadır.

Bir vektörün bileşenleri

Bir vektörün bileşenleri, referans sisteminin eksenleri üzerinde vektörün çıkıntılarının değerleridir; Vektörün ayrışmasına bağlı olarak, iki veya üç boyutlu eksende olabilen, sırasıyla iki veya üç bileşen elde edilecektir.

Bir vektörün bileşenleri, pozitif, negatif veya hatta sıfır (0) olabilen gerçek sayılardır.

Bu nedenle, xy (iki boyutlu) düzlemde dikdörtgen bir koordinat sisteminde ortaya çıkan bir vektörümüz have varsa, x eksenindeki çıkıntı Āx ve y eksenindeki çıkıntı Āy olur. Böylece, vektör bileşen vektörlerinin toplamı olarak ifade edilecektir.

Örnekler

İlk örnek

Kökten başlayan bir vektörümüz var ends ve uçlarının koordinatları verilmiştir. Böylece, vektör Ā = (Ā _x ; A _y ) = (4; 5) cm.

Eğer vektör Ā, üç boyutlu üçgen koordinat sisteminin (uzayda) x, y, z, başka bir noktaya (P) orijiniyle hareket ediyorsa, eksenlerindeki çıkıntılar Āx, Āy ve Āz; Böylece, vektör üç bileşenli vektörlerin toplamı olarak ifade edilecektir.

İkinci örnek

Kökten başlayan bir vektörümüz var ends ve uçlarının koordinatları verilmiştir. Böylece, vektör Ā = (A _x ; A _y; A _z ) = (4; 6; -3) cm.

Dikdörtgen koordinatlarına sahip vektörler, temel vektörleri cinsinden ifade edilebilir. Bunun için, sadece her koordinat, ilgili birim vektörüyle çarpılmalıdır, öyle ki, düzlem ve alan için aşağıdakiler olacaktır:

Uçak için: Ā = A _x i + A _ve j.

Alan için: Ā = A _x i + A _ve j + A _z k.

Vektörlerle yapılan işlemler

İvme, hız, yer değiştirme, kuvvet gibi bir modül, algı ve yön, diğerleri arasında birçok büyüklükler vardır.

Bunlar, bilimin çeşitli alanlarında uygulanır ve bunları uygulamak için bazı durumlarda toplama, çıkarma, çarpma ve vektörlerin ve skalerlerin bölünmesi gibi işlemleri yapmak gerekir.

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması tek bir cebirsel işlem olarak kabul edilir, çünkü çıkarma bir toplam olarak yazılabilir; örneğin, Ā ve Ē vektörlerinin çıkarılması şöyle ifade edilebilir:

Ā - Ē = Ā + (-Ē)

Vektörlerin toplanması ve çıkarılması için farklı yöntemler vardır: grafiksel veya analitik olabilirler.

Grafik yöntemleri

Bir vektörün bir modülü, algısı ve yönü olduğunda kullanılır. Bunu yapmak için, daha sonra sonuçların belirlenmesine yardımcı olacak bir şekil oluşturan çizgiler çizilir. En iyi bilinenler arasında aşağıdakiler göze çarpmaktadır:

Paralelkenar yöntemi

İki vektörün eklenmesi veya çıkarılması için, koordinat ekseni üzerinde ortak bir nokta seçilir - bu, vektörlerin başlangıç noktasını temsil eder - modülünü, yönünü ve yönünü korur.

Daha sonra bir paralelkenar oluşturmak için çizgiler vektörlere paralel olarak çizilir. Elde edilen vektör, her iki vektörün başlangıç noktasından paralelkenarın tepe noktasına kadar çıkan köşegendir:

Üçgen yöntemi

Bu yöntemde vektörler, modüllerini, yönlerini ve yönlerini koruyarak birbiri ardına yerleştirilir. Elde edilen vektör, ilk vektörün kökeni ile ikinci vektörün sonu arasındaki ilişki olacaktır:

Analitik yöntemler

Geometrik veya vektörel bir yöntemle iki veya daha fazla vektör ekleyebilir veya çıkarabilirsiniz:

Geometrik yöntem

İki vektör bir üçgen veya paralelkenar oluşturduğunda, elde edilen vektörün modülü ve yönü sinüs ve kosinüs kanunları kullanılarak belirlenebilir. Bu nedenle, kosinüs yasasını uygulayan ve üçgen yöntemiyle ortaya çıkan vektörün modülü:

Bu formülde β, R tarafının karşısındaki açıdır ve bu 180º - Ɵ'ye eşittir.

Buna karşılık, paralelkenar yöntemiyle elde edilen vektör modülü:

Elde edilen vektörün yönü, vektörlerden biri ile sonuçta meydana gelen açı (a) ile verilir.

Sinüs yasasına göre, vektörlerin eklenmesi veya çıkarılması, her üçgenin taraflarının açıların göğüsleriyle orantılı olduğunu bilerek, üçgen veya paralelkenar yöntemiyle de yapılabilir:

Vektör yöntemi

Bu iki şekilde yapılabilir: dikdörtgen koordinatlarına veya temel vektörlerine bağlı olarak.

Koordinatların orijinine eklenecek veya çıkarılacak vektörleri ve daha sonra düzlem (x, y) veya uzay (x, ve, z); Son olarak, bileşenleri cebirsel olarak eklenir. Yani, uçak için bu:

Elde edilen vektörün modülü:

Uzay için ise:

Elde edilen vektörün modülü:

Vektör toplamları yaparken, birkaç özellik uygulanır; bunlar:

- İlişkisel özellik: ilk önce iki vektör eklerken sonuçta değişmez ve ardından üçüncü bir vektör eklenir.

Değişmeli özellik: vektörlerin sırası, sonucu değiştirmez.

- Vektör dağılım özelliği: eğer bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her vektör için skaler çarpımına eşittir.

- Skaler dağılım özelliği: Eğer bir vektör iki skaler toplamıyla çarpılırsa, her skaler için vektörün çarpımına eşittir.

Vektörlerin çarpımı

Vektörlerin çarpımı veya çarpımı toplama veya çıkarma olarak yapılabilir, ancak bunu yaparken fiziksel anlamını kaybeder ve neredeyse hiçbir zaman uygulamalarda bulunmaz. Bu sebeple en sık kullanılan ürünler skaler ve vektörel ürünlerdir.

Skaler ürün

Aynı zamanda iki vektörün nokta ürünü olarak da bilinir. İki vektörün modülleri, aralarında oluşan küçük açının kosinüsüyle çarpıldığında, bir skaler elde edilir. Skaler ürünü iki vektör arasına yerleştirmek için, aralarına bir nokta konulur ve bu şöyle tanımlanabilir:

İki vektör arasında var olan açının değeri, paralel mi yoksa dikey mi olduğuna bağlı olacaktır; Yani, yapmanız gereken:

- Vektörler paralelse ve aynı anlama gelirse, kosinüs 0º = 1'dir.

- Vektörler paralelse ve zıt duyular varsa, kosinüs 180º = -1.

- Vektörler dikse kosinüs 90º = 0.

Bu açı aşağıdakileri bilerek de hesaplanabilir:

Skaler ürün aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Değişmeli özellik: vektörlerin sırası skaler değiştirmez.

- Dağıtım özelliği: eğer bir skaler iki vektörün toplamıyla çarpılırsa, her vektör için skaler çarpımına eşittir.

Vektör ürün

Vektör çarpımı ya da iki vektör A ve B'nin çarpım ürünü, yeni bir C vektörüyle sonuçlanacak ve vektörler arasında bir çapraz kullanılarak ifade edilecektir:

Yeni vektörün kendine has özellikleri olacak. Bu şekilde:

- Yön: Bu yeni vektör, orijinal vektörler tarafından belirlenen düzleme dik olacaktır.

- Anlam: bu, sağ elin kuralına göre belirlenir, burada A vektörü B'ye doğru döndürülür, burada dönüş yönü parmaklar ile işaretlenir ve baş parmağınızla vektörün anlamı işaretlenir.

- Modül: AxB vektörlerinin modüllerinin çarpımı ile belirlenir, bu vektörler arasında var olan en küçük açının sinüsüyle. İfade edilir: