Analitik geometri: hangi çalışmalar, tarihçe, uygulamalar

Analitik geometri, belirli bir koordinat sisteminde temel cebir tekniklerini ve matematiksel analizleri uygulayarak çizgileri ve geometrik şekilleri inceler.

Sonuç olarak, analitik geometri, geometrik figürlerin tüm verilerini, yani hacmi, açıları, alanı, kesişme noktalarını, mesafelerini, diğerleri ile detaylı olarak analiz eden bir matematik dalıdır.

Analitik geometrinin temel özelliği, geometrik şekillerin formüllerle temsil edilmesine izin vermesidir.

Örneğin, daireler ikinci dereceden polinom denklemleriyle temsil edilirken, çizgiler birinci dereceden polinom denklemleriyle ifade edilir.

Analitik geometri, on yedinci yüzyılda, şu ana kadar hiçbir çözümü olmayan sorunlara cevap verme gereği ile ortaya çıkmıştır. Üst temsilcileri René Descartes ve Pierre de Fermat vardı.

Şu anda, birçok yazar, modern matematiğin başlangıcını temsil ettiği için matematik tarihinde devrimci bir yaratım olduğuna işaret etmektedir.

Analitik geometrinin tarihi

Analitik geometri terimi, Fransa'da, on yedinci yüzyılda, izolasyonda cebir ve geometri kullanılarak çözülemeyen problemlere cevap verilmesi gereği ile ortaya çıkmıştır, ancak çözüm, her ikisinin de birlikte kullanımıydı.

Analitik geometrinin ana temsilcileri

On yedinci yüzyılda, iki Fransız insan, yaşam şansı ile, analitik geometrinin yaratılmasıyla bir şekilde veya başka bir şekilde sona eren soruşturmalar yaptı. Bu insanlar Pierre de Fermat ve René Descartes idi.

Şu anda analitik geometrinin yaratıcısının René Descartes olduğu düşünülmektedir. Çünkü kitabını Fermat'tan önce ve Descartes ile birlikte derinlemesine analitik geometri konusuyla ilgileniyor.

Ancak, hem Fermat hem de Descartes, çizgilerin ve geometrik şekillerin denklemlerle ifade edilebileceğini ve denklemlerin çizgiler veya geometrik şekillerle ifade edilebileceğini keşfetti.

İkisi tarafından yapılan keşiflere göre, her ikisinin de analitik geometrinin yaratıcısı olduğu söylenebilir.

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat, 1601 doğumlu ve 1665'te ölen Fransız bir matematikçiydi. Hayatı boyunca, o sırada var olan ölçüm problemlerini çözmek için Öklid, Apollonius ve Pappus geometrisini inceledi.

Daha sonra, bu çalışmalar geometri oluşumunu serbest bıraktı. 1679'da ölümünden 14 yıl sonra yayınlanan " Düz ve sağlam yerlere giriş " (Ad Locos Planes ve Solidos Isagoge) adlı kitabında ifade edildi.

Pierre de Fermat, 1623'te, Apollonius teoremlerine geometrik yerlerdeki analitik geometriyi uyguladı. Ayrıca, analitik geometriyi ilk defa üç boyutlu uzaya uygulayan da o idi.

René Descartes

Cartesius olarak da bilinen, 31 Mart 1596'da Fransa'da doğup 1650 yılında ölen bir matematikçi, fizikçi ve filozof idi.

René Descartes, 1637'de " Doğru sebep kullanma ve bilimlerde gerçeği arama yöntemine ilişkin söylem " kitabını " Yöntem " olarak daha iyi bilinen ve oradan dünyaya analitik geometri kavramını tanıttı. Eklerinden biri "Geometri" idi.

Analitik geometrinin temel unsurları

Analitik geometri aşağıdaki unsurlardan oluşur:

Kartezyen koordinat sistemi

Bu sistem René Descartes'ın adını almıştır.

Ona isim veren ya da Kartezyen koordinat sistemini tamamlayan o değildi, ama gelecekteki bilginlerin bunu yapmasına izin veren pozitif sayılarla koordinatlardan bahseden oydu.

Bu sistem dikdörtgen koordinat sistemi ve kutupsal koordinat sisteminden oluşmaktadır.

Dikdörtgen koordinat sistemleri

Kesim noktasının ortak sıfır ile çakıştığı iki dikey sayısal çizgiden oluşan düzlemin dikdörtgen koordinat sistemleri olarak adlandırılır.

O zaman bu sistem yatay ve dikey bir çizgi ile uyumlu olacaktır.

Yatay çizgi, X'in ekseni veya abscissa'nın eksenidir. Dikey çizgi, Y ekseni veya koordinatların ekseni olacaktır.

Kutupsal koordinat sistemi

Bu sistem, bir çizginin sabit bir çizgiye ve çizgideki sabit bir noktaya göre göreceli konumunu doğrulamaktan sorumludur.

Çizginin kartezyen denklemi

Bu denklem, geçtiği yerde iki nokta bilindiğinde bir çizgiden elde edilir.

Düz çizgi

Sapmayan ve bu yüzden eğri veya açı içermeyen bir tanesidir.

konik

Bunlar sabit bir noktadan geçen düz çizgiler ve bir eğrinin noktaları tarafından tanımlanan eğrilerdir.

Elips, çevre, parabol ve hiperbol konik eğrilerdir. Bunların her biri aşağıda açıklanmaktadır.

kolan

Çevrenin merkezindeki, yani bir iç noktadaki eşitlik düzleminin tüm noktaları tarafından oluşturulan kapalı düz eğriye çevre denir.

kıssa

Sabit bir noktadan (netleme) ve sabit bir çizgiden (directrix) eşit olan uçağın noktalarının yeridir. Sonra, ilke ve odaklanma, benzetmeyi tanımlayan şeydir.

Parabol, bir generatrix'e paralel bir düzlem tarafından konik bir devrim yüzeyinin bir bölümü olarak elde edilebilir.

elips

Bir elips düzlemde iki (2) sabit noktaya (odak olarak adlandırılan) toplam uzaklık sabit olacak şekilde hareket ederken bir noktayı tanımlayan kapalı eğri olarak adlandırılır.

hiperbol

Hiperbol, iki sabit nokta (odaklar) arasındaki farkın sabit olduğu düzlem noktalarının yeri olarak tanımlanan eğridir.

Hiperbolün, odak ekseni adı verilen odaklardan geçen bir simetri ekseni vardır. Aynı zamanda, uç noktalarla sabit noktalara sahip olan segmentin mediatrisi olan bir tane daha vardır.

uygulamaları

Günlük yaşamın farklı alanlarında analitik geometrinin çeşitli uygulamaları vardır. Örneğin, analitik geometrinin temel unsurlarından biri olan parabolü bugün günlük olarak kullanılan araçların çoğunda bulabiliriz. Bu araçlardan bazıları şunlardır:

Uydu çanağı

Parabolik antenler, söz konusu antenin ekseni üzerinde dönen bir parabolün sonucu olarak üretilen bir yansıtıcıya sahiptir. Bu işlem sonucunda oluşturulan yüzeye paraboloid denir.

Paraboloidin bu kapasitesine bir parabolün optik özelliği veya yansıma özelliği denir ve bu sayede paraboloidin anteni oluşturan besleme mekanizmasından aldığı elektromanyetik dalgaları yansıtması mümkündür.

Asma köprüler

Bir ip homojen bir ağırlığa sahipken, ancak aynı zamanda ipin ağırlığından önemli ölçüde büyük olduğunda, sonuç bir parabol olacaktır.

Bu prensip, genellikle büyük çelik kablo yapıları tarafından desteklenen asma köprülerin yapımı için temeldir.

Asma köprülerdeki parabol ilkesi, San Francisco kentinde, Amerika Birleşik Devletleri'nde bulunan Golden Gate Köprüsü veya Japonya'da bulunan ve Adalar'ı birbirine bağlayan Akashi Boğazı'nın Büyük Köprüsü gibi yapılarda kullanılmıştır. Honshū ile Awaji, o ülkenin ana adası.

Astronomik analiz

Analitik geometrinin astronomi alanındaki çok özel ve belirleyici kullanımları da vardır. Bu durumda, merkez aşamasını alan analitik geometri unsuru elips; Johannes Kepler'in gezegenlerin hareketi yasası bunun bir yansımasıdır.

Kepler, matematikçi ve Alman gökbilimci, elipsin Mars hareketine daha iyi uyan bir eğri olduğunu belirledi; daha önce Copernicus tarafından önerilen dairesel modeli denemişti, ancak deneylerinin ortasında, elipsin çalıştığı gezegene tamamen benzeyen bir yörünge çizmeye hizmet ettiğini buldu.

Elips sayesinde, Kepler gezegenlerin eliptik yörüngelerde hareket ettiğini; Bu düşünce, Kepler'in sözde ikinci yasasının ilan edilmesiydi.

Daha sonra İngiliz fizikçi ve matematikçi Isaac Newton tarafından zenginleştirilen bu keşiften sonra gezegenlerin yörüngesel hareketlerini incelemek ve parçası olduğumuz evren hakkında sahip olduğumuz bilgiyi artırmak mümkündü.

Cassegrain teleskopu

Cassegrain teleskopu, mucit Fransız doğumlu fizikçi Laurent Cassegrain'den almıştır. Bu teleskopta, analitik geometrinin prensipleri kullanılır, çünkü esas olarak iki aynadan oluşur: ilki içbükey ve parabolik, ikincisi dışbükey ve hiperbolik olmakla karakterize edilir.

Bu aynaların yeri ve doğası, küresel sapma olarak bilinen kusurun gerçekleşmemesini sağlar; Bu kusur, ışık ışınlarının belirli bir mercek odağına yansımasını önler.

Cassegrain teleskopu, gezegensel gözlem için kullanışlıdır, aynı zamanda çok yönlü ve kullanımı kolaydır.