Ardışık Türevler (Çözülmüş Alıştırmalarla)

Ardışık türevler, ikinci türevden sonra bir fonksiyonun türevleridir. Ardışık türevleri hesaplama işlemi şöyledir: f türevini elde edip elde edebileceğimiz f fonksiyonuna sahibiz. F türevine onu tekrar türetebiliriz (f ')' yi elde ederiz.

Bu yeni fonksiyona ikinci türev denir; ikinciden hesaplanan tüm türevler ardışıktır; Ayrıca, yüksek dereceli olarak adlandırılanlar, bir fonksiyon grafiğinin grafiği, bağıl uçlar için ikinci türev testi ve sonsuz serilerin belirlenmesi hakkında bilgi vermek gibi harika uygulamalara sahiptir.

tanım

Leibniz'in gösterimini kullanarak, "x" işlevinin "x" işlevinin türevinin dy / dx olduğunu biliyoruz. Leibniz gösterimini kullanarak "ve" nin ikinci türevini ifade etmek için şöyle yazıyoruz:

Genel olarak, ardışık türevleri, n'nin türev sırasını temsil ettiği Leibniz notasyonu ile aşağıdaki gibi ifade edebiliriz.

Kullanılan diğer gösterimler şunlardır:

Farklı gösterimleri görebildiğimiz bazı örnekler:

Örnek 1

F fonksiyonunun tüm türevlerini aşağıdaki şekilde tanımlayın:

Her zamanki türev tekniklerini kullanarak, f türevinin şöyle olduğuna sahibiz:

İşlemi tekrarlayarak, ikinci türevi, üçüncü türevi vb. Elde edebiliriz.

Dördüncü türevin sıfır olduğunu ve sıfırın türevinin sıfır olduğunu not edin, bu yüzden:

Örnek 2

Aşağıdaki fonksiyonun dördüncü türevini hesaplayın:

Verilen fonksiyonun türetilmesi sonucu:

Hız ve ivme

Türevin keşfedilmesine yol açan motivasyonlardan biri, anlık hız tanımını aramaktı. Resmi tanım şudur:

Y = f (t) grafiği, bir partikülün bir t anında yörüngesini tanımlayan bir fonksiyon olsun, ardından bir t anında hızını şöyle verir:

Bir parçacığın hızını elde ettikten sonra, aşağıdaki şekilde tanımlanan anlık ivmeyi hesaplayabiliriz:

Yolu y = f (t) ile verilen parçacığın anlık ivmesi:

Örnek 1

Bir parçacık pozisyon fonksiyonuna göre bir hat üzerinde hareket eder:

Burada "ve" metre cinsinden ve "t" saniye cinsinden ölçülür.

- Hızınız kaçta?

- Hızlanma 0 hangi anda?

«Ve» konum fonksiyonunu türetirken, hız ve ivmesinin sırasıyla:

İlk soruyu cevaplamak için, v fonksiyonunun ne zaman sıfır olacağını belirlemek yeterlidir; bu:

Aşağıdaki soruya benzer şekilde devam ediyoruz:

Örnek 2

Bir parçacık, aşağıdaki hareket denklemine göre bir çizgide hareket eder:

A = 0 olduğunda «t, y» ve «v» değerlerini belirleyin.

Hız ve ivmenin bilerek verildiğini bilmek

Türetmeye ve elde etmeye devam ediyoruz:

A = 0 yaparak, biz:

Bundan, t'nin a'nın sıfıra eşit olması değerinin t = 1 olduğunu tespit edebiliriz.

Ardından, konum fonksiyonunu ve hız fonksiyonunu t = 1 olarak değerlendirip, şunları yapmalıyız:

uygulamaları

Basitleştirilmiş türevlendirme

Ardışık türevler, örtük türevlerle de elde edilebilir.

örnek

Aşağıdaki elips verildiğinde, «ve» işaretini bulun:

Balta ile ilgili dolaylı olarak türetme:

Sonra, balta ile ilgili dolaylı olarak geri döndürerek bize verir:

Sonunda, biz var:

Bağıl biter

İkinci mertebeden türevlere verebileceğimiz diğer bir kullanım, bir fonksiyonun göreceli uçlarının hesaplanmasıdır.

Yerel ekstremler için ilk türevin ölçütü, (a, b) aralığında bir f fonksiyonunun sürekli olması durumunda ve f 'c' de iptal edilecek şekilde o aralığa ait bir c bulunduğunu söyler. kritik bir noktadır), bu üç durumdan biri oluşabilir:

- (a, c) ve f '(x) <0'a ait x için (c, b)' ye ait x için f '(x)> 0 ise, f (c) yerel maksimumdur.

- Eğer (c, b) 'ye ait x için f' (x) 0 ise, o zaman f (c) yerel bir minimumdur.

- Eğer f '(x) (a, c) ve (c, b) işaretlerinde aynı işarete sahipse, f (c)' nin yerel bir uç nokta olmadığı anlamına gelir.

İkinci türev ölçütünü kullanarak, fonksiyonun işaretinin yukarıda belirtilen aralıklarda ne olduğunu görmek zorunda kalmadan, bir fonksiyonun kritik bir sayısının yerel bir maksimum veya minimum olup olmadığını anlayabiliriz.

İkinci türetme kriteri bize, eğer f '(c) = 0 ise ve f' '(x)' in (a, b) 'da sürekli olduğunu, f' '(c)> 0' dan sonra f (c) 'ye geldiğini söyler. yerel bir minimumdur ve eğer f '' (c) <0 ise f (c) yerel bir maksimumdur.

Eğer f '' (c) = 0 ise hiçbir şey yapamayız.

örnek

F (x) = x4 + (4/3) x3 - 4x2 işlevi göz önüne alındığında, ikinci türev kriterini uygulayarak f'nin göreceli maksima ve minimumlarını bulun.

İlk önce f '(x) ve f' '(x)' i hesaplar ve şunlara sahibiz:

f '(x) = 4x3 + 4x2 - 8x

f '' (x) = 12x2 + 8x - 8

Şimdi, f '(x) = 0 ise, ve sadece 4x (x + 2) (x - 1) = 0 ise ve bu x = 0, x = 1 veya ox = - 2 olduğunda gerçekleşir.

Elde edilen kritik sayıların göreceli uç nokta olup olmadığını belirlemek için, f '' de değerlendirmek ve onun işaretini gözlemlemek yeterlidir.

f '' (0) = - 8, yani f (0) yerel bir maksimumdur.

f '' (1) = 12, yani f (1) yerel minimumdur.

f '' (- 2) = 24, yani f (- 2) yerel bir minimumdur.

Taylor serisi

F aşağıdaki gibi tanımlanmış bir fonksiyon olsun:

Bu fonksiyon, R> 0 yakınsama yarıçapına sahiptir ve (-R, R) deki tüm sıraların türevlerine sahiptir. F'nin ardışık türevleri bize şunları verir:

X = 0 alarak, cn'nin türevlerinin bir fonksiyonu olarak aşağıdaki gibi değerlerini elde edebiliriz:

F = (= f = 0 = f) işlevi olarak bir = 0 alırsak, işlevi aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

Şimdi, işlevi x = a'daki bir dizi güç olarak kabul edin:

Bir öncekine benzer bir analiz yaparsak, f fonksiyonunu şöyle yazmamız gerekir:

Bu seri, a'daki f'nin Taylor serisi olarak bilinir. A = 0 olduğunda Maclaurin serisi adı verilen özel bir durum söz konusudur. Bu tür diziler özellikle sayısal analizlerde büyük matematiksel öneme sahiptir, çünkü bunlar sayesinde ex, sin (x) ve cos (x) gibi bilgisayarlardaki işlevleri tanımlayabiliriz.