Önemli ürünler: açıklama ve çözülen alıştırmalar
Dikkate değer ürünler, geleneksel olarak çözülmesi gerekmeyen, çok sayıda polinom çarpımının ifade edildiği cebirsel işlemlerdir, ancak belirli kuralların yardımıyla bunların sonuçlarını bulabilirsiniz.
Polinomlar kendileri ile çarpılır, bu nedenle çok sayıda terim ve değişkene sahip olabilirler. Süreci kısaltmak için, dikkat çeken ürünlerin çarpımına izin vermeksizin, çarpımların yapılmasını sağlayan kurallar kullanılır.
Kayda değer ürünler ve örnekler
Her dikkat çeken ürün, faktörler olarak adlandırılan, binomlar veya trinomlar gibi çeşitli terimlerdeki polinomlardan oluşan bir faktörizasyondan kaynaklanan bir formüldür.
Faktörler gücün temelidir ve üsleri vardır. Faktörler çoğaldığında, üstler eklenmelidir.
Bazı olağanüstü ürün formülleri vardır, bazıları polinomlara bağlı olarak diğerlerinden daha fazla kullanılır ve bunlar aşağıdaki gibidir:
Binom karesi
Terimlerin eklendiği veya çıkarıldığı iktidar şeklinde ifade edilen bir binomun kendi başına çarpımıdır:
a. Binom toplamı karesi: birinci terimin karesine eşittir, terimlerin çarpımına, artı ikinci terimin karesine eşittir. Aşağıdaki gibi ifade edilir:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b).
Aşağıdaki şekil, ürünün yukarıda belirtilen kurala göre nasıl geliştirildiğini göstermektedir. Sonuç, mükemmel bir karenin trinomialı olarak adlandırılır.
Örnek 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25.
Örnek 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
b. Kareye çıkarmanın binomu: Bir toplamın binomunun aynı kuralı uygulanır, ancak bu durumda ikinci terim negatif olur. Formülü şudur:
(a - b) 2 = [(a) + (- b)] 2
(a - b) 2 = a2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2.
Örnek 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x x 6) + 62
(2x - 6) 2 = 4x2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x2 - 24x + 36.
Konjuge binomların ürünü
İki binom, her birinin ikinci terimleri farklı işaretlere sahip olduğunda konjüge edilir, yani, birinci olanın pozitif ve ikinci olanınki veya tersi. Her monomy karesini yükselterek çözün ve çıkarın. Formülü şudur:
(a + b) * (a - b)
Aşağıdaki şekilde iki konjuge binomiyal ürünü geliştirilmiştir, burada sonucun kareler farkı olduğu gözlemlenir.
Örnek 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a2 - 9b2.
Ortak bir terimi olan iki binom ürün
En karmaşık ve az kullanılan dikkat çeken ürünlerden biri çünkü ortak bir terimi olan iki binomun çarpımı. Kural aşağıdakileri gösterir:
- Ortak terimin karesi.
- Ayrıca, ortak olmayan terimleri de ekleyin ve ardından bunları ortak terimle çarpın.
- Ayrıca yaygın olmayan terimlerin çarpımlarının toplamı.
Formülde gösterilmiştir: (x + a) * (x + b) ve resimde gösterildiği gibi geliştirilmiştir. Sonuç, mükemmel olmayan bir kare trinomialidir.
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
İkinci terimin (farklı terimin) negatif olma ve formülünün şu şekilde olma olasılığı vardır: (x + a) * (x - b).
Örnek 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x2 + 14x - 8.
Her iki farklı terimin de negatif olduğu durumda olabilir. Formülü şöyle olacaktır: (x - a) * (x - b).
Örnek 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6-5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b2 - 33b + 30.
Kare polinom
Bu durumda ikiden fazla terim vardır ve onu geliştirmek için, her biri bir karenin diğeriyle çarpımıyla kareye eklenir; onun formülü: (a + b + c) 2 ve işlemin sonucu kare bir trinomiyaldir.
Örnek 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy + 24xz + 16yz.
Küp binom
Olağanüstü karmaşık bir üründür. Geliştirmek için, binomu karesiyle aşağıdaki şekilde çarpın:
a. Bir toplamın küpüne binom için:
- Birinci terimin küpü, artı birinci terimin karesinin ikincisi ile üçlü.
- Artı, birinci terimin üçlü değeri, ikinci kare tarafından.
- Artı ikinci terimin küpü.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b) 3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b) 3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Örnek 1
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Çıkarma küpüne binom için:
- Birinci terimin küpü, birinci terimin karesinin ikincisi tarafından üç kat daha azdır.
- Artı, birinci terimin üçlü değeri, ikinci kare tarafından.
- İkinci terimin küpünden daha az.
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a2 - 2ab + b2)
(a - b) 3 = a3 - 2a2b + ab2 - ba2 + 2ab2 - b3
(a - b) 3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3.
Örnek 2
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b3 - 15b2 + 75b - 125.
Bir trinomial kova
Karesiyle çarparak gelişir. Bu çok dikkat çekici bir üründür, çünkü küpe yükseltilmiş 3 terim, artı terimlerin her biri ile çarpılmış her terim üç kez ve üç terimin toplamının altı katıdır. Daha iyi bir şekilde gördüm:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Örnek 1
Olağanüstü ürünlerin çözülmüş alıştırmaları
Egzersiz 1
Küp için aşağıdaki binomları geliştirin: (4x - 6) 3.
çözüm
Küp için bir binomun, küp için yükseltilmiş birinci terime eşit olduğunu, ilk terimin karesinin ikinciye oranla üç kat daha az olduğunu hatırlatarak; artı birinci terimin üçlüsü, ikinci kare ile, ikinci terimin küpü eksi.
(4x6) 3 = (4x) 3-3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2- (6) 2
(4x6) 3 = 64x3 - 3 (16x2) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4 - 6) 3 = 64x3 - 288x2 + 432x - 36.
Egzersiz 2
Aşağıdaki binomları geliştirin: (x + 3) (x + 8).
çözüm
Burada ortak bir terimin olduğu, x ve ikinci terimin pozitif olduğu bir binom vardır. Bunu geliştirmek için yalnızca ortak terimi, artı ortak olmayan terimlerin toplamını (3 ve 8) ve sonra da ortak terim ile çarpmayı ve ortak olmayan terimlerin çoğalmasının toplamını çarpmanız gerekir.
(x + 3) (x + 8) = x2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x2 + 11x + 24.
