İkizkenar üçgen: özellikleri, formül ve alan, hesaplama

Bir ikizkenar üçgen, üçünün aynı ölçüye sahip olduğu ve üçüncü yüzün farklı bir ölçüye sahip olduğu üç tarafı olan bir çokgendir. Bu son tarafa baz denir. Bu özelliği nedeniyle, Yunanca'da "eşit bacaklar" anlamına gelen bu isim verildi.

Üçgenler, geometride en basit olduğu düşünülen çokgenlerdir, çünkü üç taraf, üç açı ve üç köşe tarafından oluşturulurlar. Diğer poligonlara göre en az yanlara ve açılara sahip olanlardır, ancak kullanımları çok geniştir.

İkizkenar üçgenlerin özellikleri

İkizler üçgeni, yanlarından iki tanesi birbirine uyduğundan (aynı uzunluğa sahip olduklarından) parametre olarak yan ölçüsü kullanılarak sınıflandırılmıştır.

İç açıların genliğine göre, ikizkenar üçgenler şöyle sınıflandırılır:

Dikdörtgen ikizkenar üçgen : yanlarından ikisi eşittir. Açılarından biri düz (90o) ve diğerleri eşittir (her biri 45o)
Oboscule üçgeni ikizkenar : yanlarından ikisi eşit. Açılarından biri geniş (> 90o).
İkizkenar akut üçgen : onun iki tarafı eşittir. Tüm açılar akuttur (<90o), ki burada ikisi aynı ölçüme sahiptir.

bileşenler

Ortanca : Bir tarafın orta noktasından ayrılan ve zıt tepe noktasına ulaşan bir çizgidir. Üç medyan, centroid veya centroid denilen bir noktada buluşuyor.
Bisektör : Her tepe noktasının açısını eşit büyüklükteki iki açıya bölen bir ışındır . Bu yüzden simetri ekseni olarak bilinir ve bu tip üçgenler sadece bir taneye sahiptir.
Dik bisector : Bunun ortasında çıkan üçgenin kenarına dik olan bir segmenttir. Üçgenin içinde üç tane arabuluculuk vardır ve ortasent denilen bir noktada aynı fikirdedir.
Yükseklik : tepe noktasından zıt tarafa giden çizgidir ve bu çizgi o tarafa diktir. Tüm üçgenlerin, ortosent denilen bir noktada çakışan üç yüksekliği vardır.

özellikleri

İkizkenar üçgenler tanımlanmış veya tanımlanmıştır, çünkü büyük matematikçiler tarafından önerilen teoremlerden kaynaklanan, kendilerini temsil eden birkaç özelliği vardır:

İç açıları

İç açıların toplamı her zaman 180o'ya eşittir.

Tarafların toplamı

İki tarafın önlemlerinin toplamı her zaman üçüncü tarafın ölçüsünden büyük olmalıdır, a + b> c.

Kongruent tarafları

İkizkenar üçgenler aynı ölçü veya uzunlukta iki tarafa sahip; yani, onlar uyumlu ve üçüncü taraf bunlardan farklı.

Kongruent açıları

İzoscel üçgenleri, izoagon üçgenleri olarak da bilinir, çünkü aynı ölçüme sahip iki açıları vardır (eşler). Bunlar, üçgenin tabanında, aynı uzunlukta kenarların karşısına yerleştirilmişlerdir.

Bu nedenle, bunu oluşturan teorem:

"Üçgenin iki uyumlu kenarı varsa, bu tarafların karşısındaki açılar da uyumlu olacaktır." Bu nedenle, bir üçgen ikizkenar ise, tabanlarının açıları uyumludur.

örnek:

Aşağıdaki şekilde ABC üçgeni gösterilmektedir. Bektörünü B açısının tepe noktasından tabana kadar izleyerek, üçgen BDA ve BDC'ye eşit iki üçgene bölünür:

Böylece, tepe B'nin açısı da iki eşit açıda bölünmüştür. Bisektör şimdi iki yeni üçgen arasında ortak olan taraf (BD) iken, AB ve BC tarafları uyumlu taraflardır. Bu uygunluk tarafı, açı, yan (LAL) durumudur.

Bu, A ve C tepe noktalarının açılarının aynı ölçüme sahip olduğunu göstermektedir, tıpkı BDA ve BDC üçgenleri uyumlu olduğundan, AD ve DC taraflarının da uyumlu olduğunu gösterdiği gibi

Yükseklik, medyan, bisector ve bisector çakışmaktadır

Tabanın karşısındaki tepe noktasından, ikizkenar üçgenin tabanının orta noktasına kadar çizilen çizgi aynı zamanda yükseklik, ortanca ve bisektörün yanı sıra bazın zıt açısına göre bisektördür.

Tüm bu segmentler kendilerini temsil edenle çakışıyor.

örnek:

Aşağıdaki şekilde, ABC üçgenini, tabanı BM ve CM olmak üzere iki bölüme ayıran bir M orta noktasıyla gösterilmektedir.

M noktasından zıt tepe noktasına bir segment çizdiğinizde, tanım gereği, A köşesine ve BC tarafına göre olan medyan AM elde edersiniz.

AM kesimi, ABC üçgenini iki eşit üçgene (AMB ve AMC) böldüğü için, yan, açı, yan eşzamanlılık durumunun olacağı ve bu nedenle AM'nin BÂC'nin bisektörü olacağı anlamına gelir.

Bu yüzden bisektör her zaman ortancaya eşit olacak ve tam tersi de olacaktır.

AM segmenti, AMB ve AMC üçgenleri için aynı ölçüme sahip olan açıları oluşturur; yani, her birinin ölçüsünün aşağıdaki gibi olacağı şekilde destekleyicidirler:

Med. (AMB) + Med. (AMC) = 180.

2 _* Med (AMC) = 180 °

Med. (AMC) = 180 ° -2

Med. (AMC) = 90'ıncı

AM bölümünün üçgen tabanına göre oluşturduğu açıların düz olduğu ve bu bölümün tabana tamamen dik olduğu anlaşılabilir.

Bu nedenle, M'nin orta nokta olduğunu bilerek, yüksekliği ve biseri temsil eder.

Bu nedenle düz çizgi AM:

BC'nin yüksekliğini temsil eder.
Bu orta.
BC'nin mediatrisinde bulunur.
Bu köşe açısının bisector olduğunu Â

Bağıl yükseklikler

Eşit taraflara göre yükseklikler de aynı ölçüye sahiptir.

İkizkenar üçgen iki eşit tarafa sahip olduğu için, kendi iki yükseklik de aynı olacaktır.

Ortocenter, barycenter, incenter ve circenter çakışıyor

Tabana göre yükseklik, ortanca, bisector ve bisector aynı anda aynı segment tarafından temsil edildiğinden ortosentre, centrocentric incenter ve circenter collinear noktaları olacak, yani aynı çizgide olacaklar:

Çevre nasıl hesaplanır?

Bir çokgenin çevresi, kenarların toplamı ile hesaplanır.

Bu durumda ikizkenar üçgen aynı ölçüde iki tarafa sahip olduğundan, çevresi aşağıdaki formülle hesaplanır:

P = 2 _* (yan a) + (yan b).

Yüksekliği nasıl hesaplanır?

Yükseklik, tabana dik olan çizgidir, üçgeni zıt tepe noktasına uzanarak iki eşit parçaya böler.

Yükseklik zıt ayağı (a), tabanın (b / 2) bitişiğindeki bacağına yarısı temsil eder ve "a" tarafı hipotenusu temsil eder.

Pisagor teoremini kullanarak, yüksekliğin değerini belirleyebilirsiniz:

a2 + b 2 = c 2

burada:

2 = yükseklik (saat).

b 2 = b / 2.

c 2 = a tarafı.

Pisagor teoreminde bu değerleri değiştirmek ve sahip olduğumuz yüksekliği temizlemek:

h2 + ( b / 2) 2 = a 2

h 2 + b 2/4 = a 2

h 2 = 2 - b 2/4

h = √ (2 - b 2/4).

Eş tarafların oluşturduğu açı biliniyorsa, yükseklik aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Alan nasıl hesaplanır?

Üçgenin alanı her zaman aynı formülle hesaplanır, tabanın yüksekliği ile çarpılır ve ikiye bölünür:

Üçgenin sadece iki tarafının ölçümleri ve bunlar arasında oluşan açının bilindiği durumlar vardır. Bu durumda, alanı belirlemek için trigonometrik oranları uygulamak gerekir:

Üçgenin tabanı nasıl hesaplanır?

İkizkenar üçgen iki eşit tarafa sahip olduğundan, tabanının değerini belirlemek için en azından boyunun veya açılarından birinin ölçüsünü bilmek gerekir.

Pisagor teoreminin yüksekliğini bilmek:

a2 + b2 = c2

burada:

a2 = yükseklik (saat)

c2 = a tarafı.

b2 = b / 2 bilinmemektedir.

Formül b2'yi temizledik ve yapmamız gereken:

b2 = a2 - c2

b = √ a2 - c2

Bu değer tabanın yarısına karşılık geldiğinden, ikizkenar üçgenin tabanının tam ölçüsünü elde etmek için iki ile çarpılmalıdır:

b = 2 _* (√ a2 - c2)

Sadece eşit taraflarının değerinin ve aralarındaki açının bilinmesi durumunda, trigonometri, tepe noktasından, ikizkenar üçgeni iki dik üçgene ayıran tabana doğru bir çizgi izleyerek uygulanır.

Bu şekilde, tabanın yarısı şu şekilde hesaplanır:

Aynı zamanda, sadece tabana zıt olan tepe noktasının yüksekliğinin ve açısının değerinin bilinmesi de mümkündür. Bu durumda trigonometri ile baz belirlenebilir:

eğitim

İlk egzersiz

İki ikizin üçgenin 10 cm, üçüncü yüzün 12 cm ölçüldüğünü bilerek, ikizkenar üçgen ABC bölgesini bulun.

çözüm

Üçgenin alanını bulmak için, Pisagor teoremiyle ilgili alanın formülünü kullanarak yüksekliği hesaplamak gerekir, çünkü eşit taraflar arasında oluşan açının değeri bilinmemektedir.

İki ikiz üçgen hakkında aşağıdaki verilere sahibiz:

Eşit taraflar (a) = 10 cm.
Taban (b) = 12 cm.

Formüldeki değerler değiştirilir:

İkinci alıştırma

Bir ikizkenar üçgenin iki eşit kenarının uzunluğu 42 cm, bu kenarların birleşimi 130 ° 'lik bir açı oluşturur. Üçüncü tarafın değerini, bu üçgenin alanını ve çevresini belirleyin.

çözüm

Bu durumda, tarafların ve aralarındaki açıların ölçüleri bilinmektedir.

Kayıp tarafın değerini, yani o üçgenin tabanını bilmek için, ona dik bir çizgi çizeriz, açıyı oluşturulan her sağ üçgen için birer iki eşit parçaya böleriz.

Eşit taraflar (a) = 42 cm.
Açı (Ɵ) = 130o

Şimdi trigonometri ile bazın yarısının değeri hesaplanır ve bu da hipotenüsün yarısına karşılık gelir:

Alanı hesaplamak için, trigonometri ya da Pisagor teoremi tarafından hesaplanabilen bu üçgenin yüksekliğinin bilinmesi gerekir, şimdi de tabanın değeri zaten belirlenmiştir.

Trigonometri ile şöyle olacaktır: